логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение $\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2 -3 =\log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3 -\log_4(x+6)^3 $

Решение: У логарифмов выносим степень и у основания логарифмов то же выносим степень получаеться -3log(x+2)-3=-3log(4-x)-3log(6+x) сокращаем на -3
Log(x+2)+1=log(4-x)+log(6+x) переносим в одну сторону и там по свойствам логарифма получаем
Log(x+2)/((4-x)(6+x))=-1 так как у нас оснащаете логарифма 4 то (x+2)/((4-x)(6+x))=1/4 отсюда
4х+8=(4-х)(6+х) и решаем это уравнение
Логарифмическое уравнение:
$ log_{3} ( x^{2}-6x+17)=2 $

Решение:
Log{3} (x² -6x+17) =2 ;
Log{3} (x² -6x+17) =Log{3} 3² ;
x² -6x+17 = 3² ; * * * x² -6x+17 = 3² >0 * * *
x² -6x+8 = 0 ;
x₁ = 2
x₂ = 4
Логарифмическое уравнение:
1) lgx-2lg3=lg7-lg(16-x)
2) $ log_{4}^{2} x+5log_{4} x-6=0 $
Неравенство:
3) $ log_{2} (x-1) <log_{2} (2x-y) $

Решение: 1) lg x - 2lg 3 = lg 7 - lg(16-x)
Область определения
{ x>0
{ x<16
x€(0;16)
lg x - lg 9 = lg 7 - lg(16-x)
lg(x/9) = lg(7/(16-x))
x/9 = 7/(16-x)
x(16-x)=7*9
x^2-16x+63=0
(x-7)(x-9)=0
x1=7; x2=9
2) Область определения
x>0
Замена log_4(x)=y
y^2+5y-6=0
(y-6)(y+1)=0
y1=log_4(x)=-1; x1=4^(-1)=1/4
y2=log_4(x)=6; x2=4^6=4096
3) Функция y=log_2(x) возрастающая на всем промежутке области определения.
Поэтому
x-1<2x-y
{ y{ x>1
{ y<2x
Учитывая первые два неравенства, третье будет выполняться всегда, поэтому его можно опустить.
{ x>1
{ y
Срочно решите логарифмические уравнения: a)$ \log_2(x-4)=3$; b) $\log_2x + \log_2(x-3)=2 $

Решение:
а) (х-4)=9, х = 13
б) log х * (х-3) = 2
log х^2 - 3x = 2
х^2 - 3x = 1
х^2 - 3x -1=0

$$ log_{2} (x-4)= 3 \\ log_{2} (x-4)= log_{2} 2^{3} \\ (x-4)= 2^{3} \\ x-4= 8 \\ x= 8+4 \\ x= 12 \\ log_{2} x + log_{2} ( x-3) = 2 \\ log_{2}( x*( x-3)) = log_{2} 2^{2} \\ x*( x-3) = 2^{2} \\ x^{2} -3x = 4 \\ x^{2} -3x - 4=0 $$
Подбором по формулам Виета
$$ x_{1} =4 \\ x_{2} =-1 $$
Решить логарифмические уравнения:
1) log2(x-5)-log2(2x+5)=3log2 2
2)lg^(2)x-lgx-6=0 (подстановка log2x=y)
3)2^x+2^(x-2)+2^(x-3)=11\\4 <-(дробь)
4)9*3^2x-28*3^x+3=0 (подстановка 3^x=y)

Решение: 1. log2(x-5)\(2x+5)=log2 8
(x-5)\2x+5)=8
x-5=16x+40
15x=-45
x=-3
2. lgx=t
t^2-t-6=0 t1=3, t2=-2
lgx=3 lgx=-2
x1=1000 x2=0,01
3. 2^x+(2^x)\4+(2^x)\8=11\4 умножаем все уравнение на 8 и подставляем вместо 2^x=t
8t+2t+t=22
11t=22
t=2
2^x=2
x=1
4. 9y^2-28y+3=0
y1=1\9 3^x=1\9
x1=-2
y2=3 3^x=3
x2=1
Решить логарифмические уравнения: 4) $\log_{27}(3x^2+4x-4)=\frac{1}{3}$
5) $ \log_5 x - \lg x = \log_{100} 16 $

Решение: 4) log₂₇(3x²+4x-4)=1/3
одз:3x²+4x-4>0
3x²+4x-4=0
x1=-2 x2=2/3
+ - +
//////////////////////////(-2)-(2/3)//////////////////////////
x∈(-∞;-2)∪(2/3;-∞)
log₂₇(3x²+4x-4)=log₂₇(27^(1/3))
(3x²+4x-4)=3
3x²+4x-7=0
D=16-4·3(-7)=16+84=100
x1=(-4-10)/6=-7/3 ∈ (-∞;-2)∪(2/3;-∞)
x2=(-4+10)/6=1 ∈ (-∞;-2)∪(2/3;-∞)
5) log₅x-lgx=log₁₀₀16
одз: x>0
(lgx)/lg5=(lg16)/2
lgx=lg5·(lg16)/2
lgx=lg5·(lg4)
x=5^(lg4)
Решить логарифмические уравнения : 1) $\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=\log_{\frac{1}{2}}(6x+8) $
2) $\log_2(3x+1) \log_3 x=\log_3 x $
3) $ \log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2 $
4) $\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 $
5) $ \log_3^2x+7\log_3 x +10 =0 $

Решение: 1.3x-1=6x+8, 3x-6x=8+1,3x=9, x=9/(-3)=-3
При х=-3 log₀,₅(3x-1) не имеет смысла.
Ответ: нет корней
2.log₂(3x+1)·log₂x-log₂x=0, log₂x ( log₂(3x+1)-1)=0, log₂x=0, x₁=2⁰=1
log₂(3x+1)-1=0, log₂(3x+1)=1, 3x+1=2¹, 3x+1=2, 3x=2-1, 3x=1, x₂=1/3.
3.(x-2)(x+6)=3², x²+4x-12-9=0, x²+4x-21=0, D=16-4*(-21)=16+84=100
√D=10, x₁=(-4+10)/2=3, x₂=(-4-10)/2=-7 не является корнем, т. к. при х=-7
log₃(x+6) не имеет смысла, как log₃(x-2)
Ответ: х=3
4. (3х-1)/(х+5)=5, 3х-1=5(х-5), 3х-1=5х+25, 3х-5х=25+1,2х=26, х= -13-не подходит по смыслу.
Ответ: нет корней
5. По определению логарифма имеем: х²-7=2, х²=9, х₁=-3, х₂=3
Ответ: -3 и 3
Решите логарифмические уравнения: 1) $\log_3 x=2-\log_{\frac{1}{3}}2 $
2) $\log_{\frac{1}{2}}x -\log_2 x =2$
3) $ 3\cdot\log_5^2 x +\log_5 x=4 $
4) $\log_3 \log_2(x+3) =1 $
5) $\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}(x+1)=1 $

Решение: 1
x>0
log(3)x=2+log(3)2
log(3)x=log(3)18
x=18
2
x>0
-log(2)x-log(2)x=2
-2log(20x=2
log(20x=-1
x=0,5
3
x>0
log(5)x=a
3a²+a-4=0
D=1+48=49
a1=(-1-7)/6=-4/3⇒log(5)x=-4/3⇒1/5∛5
a2=(-1+7)/6=1⇒log(50x=1⇒x=5
4
x>-3
log(3)log(2)(x+3)=1
log(2)(x+3)=3
x+3=8
x=5
5
x>-1
log(1/2)(x²+x)=1
x²+x=0,5
2x²+2x-1=0
D=4+8=12
x1=(-2-2√3)/4=-0,5(1+√3) не удов усл
x2=0,5(√3-1)
5. Решите уравнение $ 25^{2x-x^2}-5^{2x-x^2}=20 $
6. Решите уравнение $\lg(x^2-3)\cdot\lg x =0$
7. Найдите значение x, при котором числа $\log_2(x-3) $ и $\log_2(x+21) - \log_2 x $ равны.
8. Определите абсциссу общей точки графика функции $ y=\log_{x+1}(3x+3) $ и прямой y=2

Решение: 5. 25^(2x - x^2) - 5^(2x - x^2) = 20
5^(2x - x^2) = t
t > 0
t^2 - t - 20 = 0
t1+t2 = 1
t1*t2 =-20
t1 = 5, t2 = -4 - не подходит
5^(2x - x^2) = 5
2x - x^2 = 1
x^2 - 2x + 1 = 0
x1 + x2 = 2;
x1 * x 2 = 1
x1 = 1, x2 = 1
Ответ: x = 1;
6. lg(x^2 - 3) *lg(x) = 0
x > 0
x^2 - 3 > 0
x > sqrt(3)
Произведение двух чисел равно нулю только когда одно из них или оба сразу равны нулю.
lg(x^2 - 3) = 0
lg(x) = 0
Оба уравнения решений не имеют, т. к. нет такой степени, возведение в которую превращало бы число в ноль.
Ответ: решений нет.
7. log2(x - 3) = log2(x + 21) - log2(x)
x - 3 > 0
x + 21 > 0
x > 0
x > 3
log2(x - 3) = log2((x + 21)/x))
x - 3 = (x + 21)/x
x^2 - 3x = x + 21
x^2 -4x - 21 = 0
x1 + x2 = 4
x1 * x2 = -21
x1 = 7, x2 = -3 - не подходит по ОДЗ.
Ответ: х = 7
8. log(x+1)(3x + 3) = 2
3x + 3 > 0
x + 1 > 0
x + 1 != 1
x > -1, x != 0
log(x+1)(3) + log(x+1)(x+1) = 2
log(x+1)(3) = 1
x + 1 = 3
x = 2
Ответ: x = 2
Решить логарифмические уравнения 9. $ \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 $
10. $\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 $

Решение: 9)
ОДЗ: x≠3
$$ 9-2^x\ > \ 0 \\ -2^x\ > \ -9 \\ 2^x\ < \ 9 \\ \\ log _{2}(9-2^x)=3-x \\ \\ \\ 9-2^x=2^{3-x} \\ \\ 9-2^x-2^{3-x}=0 \\ \\ 9-2^x- \frac{8}{2^x}=0 \\ \\ y=2^x \\ \\ 9-y- \frac{8}{y}=0 \\ \\ 9y-y^2-8=0 \\ y^2-9y+8=0 \\ D=81-32=49 \\ y_{1}= \frac{9-7}{2}=1 \\ \\ y_{2}= \frac{9+7}{2}=8 $$
При у=1
$$ 2^x=1 \\ x=0 $$
При у=8
$$ 2^x=8 \\ x=3 $$
не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
10)
ОДЗ: 5-x>0
-x>-5
x<5
35-x³>0
-x³> -35
x³ < 35
x<∛35
x<3.27
В итоге ОДЗ: x∈(-∞; ∛35)
$$ lg(5-x)-lg(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }=0 \\ \\ lg \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=10^0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=1 \\ \\ 5-x=(35-x^3)^{ \frac{1}{3} } \\ (5-x)^3=35-x^3 \\ 125-75x+15x^2-x^3-35+x^3=0 \\ 15x^2-75x+90=0 \\ x^2-5x+6=0 \\ D=25-24=1 \\ x_{1}= \frac{5-1}{2}=2 \\ \\ x_{2}= \frac{5+1}{2}=3 $$
Ответ: 2; 3.

1 2 3 > >>

логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение \(\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2 -3 =\log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3 -\log_4(x+6)^3 \)

Логарифмическое уравнение:
\( log_{3} ( x^{2}-6x+17)=2 \)

Логарифмическое уравнение:
1) lgx-2lg3=lg7-lg(16-x)
2) \( log_{4}^{2} x+5log_{4} x-6=0 \)
Неравенство:
3) \( log_{2} (x-1) <log_{2} (2x-y) \)

Срочно решите логарифмические уравнения: a)\( \log_2(x-4)=3\); b) \(\log_2x + \log_2(x-3)=2 \)

Решить логарифмические уравнения:
1) log2(x-5)-log2(2x+5)=3log2 2
2)lg^(2)x-lgx-6=0 (подстановка log2x=y)
3)2^x+2^(x-2)+2^(x-3)=11\\4 <-(дробь)
4)93^2x-283^x+3=0 (подстановка 3^x=y)

Решить логарифмические уравнения: 4) \(\log_{27}(3x^2+4x-4)=\frac{1}{3}\)
5) \( \log_5 x - \lg x = \log_{100} 16 \)

Решить логарифмические уравнения : 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=\log_{\frac{1}{2}}(6x+8) \)
2) \(\log_2(3x+1) \log_3 x=\log_3 x \)
3) \( \log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2 \)
4) \(\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 \)
5) \( \log_3^2x+7\log_3 x +10 =0 \)

Решите логарифмические уравнения: 1) \(\log_3 x=2-\log_{\frac{1}{3}}2 \)
2) \(\log_{\frac{1}{2}}x -\log_2 x =2\)
3) \( 3\cdot\log_5^2 x +\log_5 x=4 \)
4) \(\log_3 \log_2(x+3) =1 \)
5) \(\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}(x+1)=1 \)

Решить логарифмические уравнения 9. \( \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 \)
10. \(\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 \)

логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение \(\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2 -3 =\log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3 -\log_4(x+6)^3 \)

Логарифмическое уравнение:﻿\( log_{3} ( x^{2}-6x+17)=2 \)

Логарифмическое уравнение:1) lgx-2lg3=lg7-lg(16-x)2) \( log_{4}^{2} x+5log_{4} x-6=0 \)Неравенство:3) \( log_{2} (x-1) <log_{2} (2x-y) \)

Срочно решите логарифмические уравнения: a)\( \log_2(x-4)=3\); b) \(\log_2x + \log_2(x-3)=2 \)

Решить логарифмические уравнения: 1) log2(x-5)-log2(2x+5)=3log2 2 2)lg^(2)x-lgx-6=0 (подстановка log2x=y) 3)2^x+2^(x-2)+2^(x-3)=11\\4 <-(дробь) 4)9*3^2x-28*3^x+3=0 (подстановка 3^x=y)

Решить логарифмические уравнения: 4) \(\log_{27}(3x^2+4x-4)=\frac{1}{3}\) 5) \( \log_5 x - \lg x = \log_{100} 16 \)

Решить логарифмические уравнения : 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=\log_{\frac{1}{2}}(6x+8) \)2) \(\log_2(3x+1) \log_3 x=\log_3 x \)3) \( \log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2 \)4) \(\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 \)5) \( \log_3^2x+7\log_3 x +10 =0 \)

Решите логарифмические уравнения: 1) \(\log_3 x=2-\log_{\frac{1}{3}}2 \)2) \(\log_{\frac{1}{2}}x -\log_2 x =2\)3) \( 3\cdot\log_5^2 x +\log_5 x=4 \)4) \(\log_3 \log_2(x+3) =1 \)5) \(\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}(x+1)=1 \)

Решить логарифмические уравнения 9. \( \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 \)10. \(\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 \)

Логарифмическое уравнение:
\( log_{3} ( x^{2}-6x+17)=2 \)

Логарифмическое уравнение:
1) lgx-2lg3=lg7-lg(16-x)
2) \( log_{4}^{2} x+5log_{4} x-6=0 \)
Неравенство:
3) \( log_{2} (x-1) <log_{2} (2x-y) \)

Решить логарифмические уравнения:
1) log2(x-5)-log2(2x+5)=3log2 2
2)lg^(2)x-lgx-6=0 (подстановка log2x=y)
3)2^x+2^(x-2)+2^(x-3)=11\\4 <-(дробь)
4)93^2x-283^x+3=0 (подстановка 3^x=y)

Решить логарифмические уравнения: 4) \(\log_{27}(3x^2+4x-4)=\frac{1}{3}\)
5) \( \log_5 x - \lg x = \log_{100} 16 \)

Решить логарифмические уравнения : 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=\log_{\frac{1}{2}}(6x+8) \)
2) \(\log_2(3x+1) \log_3 x=\log_3 x \)
3) \( \log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2 \)
4) \(\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 \)
5) \( \log_3^2x+7\log_3 x +10 =0 \)

Решите логарифмические уравнения: 1) \(\log_3 x=2-\log_{\frac{1}{3}}2 \)
2) \(\log_{\frac{1}{2}}x -\log_2 x =2\)
3) \( 3\cdot\log_5^2 x +\log_5 x=4 \)
4) \(\log_3 \log_2(x+3) =1 \)
5) \(\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}(x+1)=1 \)

Решить логарифмические уравнения 9. \( \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 \)
10. \(\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 \)