логарифм »

логарифмическое уравнение - страница 2

  • 5. Решите уравнение \( 25^{2x-x^2}-5^{2x-x^2}=20 \)
    6. Решите уравнение \(\lg(x^2-3)\cdot\lg x =0\)
    7. Найдите значение x, при котором числа \(\log_2(x-3) \) и \(\log_2(x+21) - \log_2 x \) равны.
    8. Определите абсциссу общей точки графика функции \( y=\log_{x+1}(3x+3) \) и прямой y=2


    Решение: 5. 25^(2x - x^2) - 5^(2x - x^2) = 20
    5^(2x - x^2) = t
    t > 0
    t^2 - t - 20 = 0
    t1+t2 = 1
    t1*t2 =-20
    t1 = 5, t2 = -4 - не подходит
    5^(2x - x^2) = 5
    2x - x^2 = 1
    x^2 - 2x + 1 = 0
    x1 + x2 = 2;
    x1 * x 2 = 1
    x1 = 1, x2 = 1
    Ответ: x = 1;
    6. lg(x^2 - 3) *lg(x) = 0
    x > 0
    x^2 - 3 > 0
    x > sqrt(3)
    Произведение двух чисел равно нулю только когда одно из них или оба сразу равны нулю.
    lg(x^2 - 3) = 0
    lg(x) = 0
    Оба уравнения решений не имеют, т. к. нет такой степени, возведение в которую превращало бы число в ноль.
    Ответ: решений нет.
    7. log2(x - 3) = log2(x + 21)  - log2(x)
    x - 3 > 0
    x + 21 > 0 
    x > 0
    x > 3
    log2(x - 3) = log2((x + 21)/x))
    x - 3 = (x + 21)/x
    x^2 - 3x = x + 21
    x^2 -4x - 21 = 0
    x1 + x2 = 4
    x1 * x2 = -21
    x1 = 7, x2 = -3 - не подходит по ОДЗ.
    Ответ: х = 7
    8. log(x+1)(3x + 3) = 2
    3x + 3 > 0
    x + 1 > 0
    x + 1 != 1
    x > -1, x != 0
    log(x+1)(3) + log(x+1)(x+1) = 2
    log(x+1)(3) = 1
    x + 1 = 3
    x = 2
    Ответ: x = 2

  • Решить логарифмические уравнения 9. \( \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 \)
    10. \(\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 \)


    Решение: 9)
    ОДЗ: x≠3
    $$ 9-2^x\ > \ 0 \\ -2^x\ > \ -9 \\ 2^x\ < \ 9 \\ \\ log _{2}(9-2^x)=3-x \\ \\ \\ 9-2^x=2^{3-x} \\ \\ 9-2^x-2^{3-x}=0 \\ \\ 9-2^x- \frac{8}{2^x}=0 \\ \\ y=2^x \\ \\ 9-y- \frac{8}{y}=0 \\ \\ 9y-y^2-8=0 \\ y^2-9y+8=0 \\ D=81-32=49 \\ y_{1}= \frac{9-7}{2}=1 \\ \\ y_{2}= \frac{9+7}{2}=8 $$
    При у=1
    $$ 2^x=1 \\ x=0 $$
    При у=8
    $$ 2^x=8 \\ x=3 $$
    не подходит по ОДЗ.
    Ответ: 0
    10)
    ОДЗ: 5-x>0
      -x>-5
      x<5
    35-x³>0
    -x³> -35
    x³ < 35
    x<∛35
    x<3.27
    В итоге ОДЗ: x∈(-∞; ∛35)
    $$ lg(5-x)-lg(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }=0 \\ \\ lg \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=10^0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=1 \\ \\ 5-x=(35-x^3)^{ \frac{1}{3} } \\ (5-x)^3=35-x^3 \\ 125-75x+15x^2-x^3-35+x^3=0 \\ 15x^2-75x+90=0 \\ x^2-5x+6=0 \\ D=25-24=1 \\ x_{1}= \frac{5-1}{2}=2 \\ \\ x_{2}= \frac{5+1}{2}=3 $$
    Ответ: 2; 3.

  • Решить логарифмические уравнения. 1) \(\log_4\frac{1}{x^2} +\log_4\sqrt x=-3 \)
    2) \(\lg10x\cdot\lg0,1x=3 \)
    3) \(\log_{0,5}(2x-3)-\frac{1}{2}\log_{0,5}(2x+3)=0 \)
    4) \(\log_2(x^2-3x+10)=3 \)
    5) \( \log_3^2 x-\log_3 x =2 \)


    Решение: 1) log(4,1/x^2) представим как -2log(4,x), log(4,^/x) как 1/2 log(4,x). ответ 16
    2) представим lg10x как сумму lg10+lgx, а lg0,1x как lg0,1+lgx. Ответ: x1=100, x2=0,01
    3)log(0,5,2x-3)-1/2*log(0,5,2x+3)=0
    -log(2,2x-3)+1/2*log(2,2x+3)=0 вносим во второй логарифм 1/2, получаем корень квадратный
    2х-3=^\/2x+3|
    при 2x+3>0 2x+3=2x-3 не имеет смысла
    при 2x+3<0 4x=0 x=0
    4) приравняем значение под знаком log восьми(ибо 2^3=8 по опред-ю). решаем кв. уравнение(х1=2 х2=1)
    5) введём t=log(3,x). решаем кв. уравнение относительно t(то бите t^2-t-2=0) ответ х1=-2 х2=1

  • Решить логарифмические уравнения: 1) \( \log_{0,3}(-x^2+5x+7)=\log_{0,3}(10x-7) \)
    2) \(\log_2(x^2+x-1)=\log_2(-x+7) \)
    3) \(\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31) \)


    Решение: Если в уравнениях основания логарифмов равны, то их можно опускать.

    1)$$ log_{0,3}(-x^{2}+5x+7)=log_{0,3}(10x+7) \\ -x^{2}+5x+7-10x-7=0 \\ -x^{2}-5x=0 \\ -x(x+5)=0 \\ x_1=0,x_2=-5 $$

    2) Логарифмы опускаем,

    $$ x^{2}+x-1=-x+7 \\ x^{2}+x-1+x-7=0 \\ x^{2}+2x-8=0 \\ D=4+32=6^{2} \\ x_1=\frac{-2+6}{2}=2, x_2=-4 $$ 3)$$ -x^{2}+4x+5=-x-31 \\ -x^{2}+4x+5+x+31=0 \\ -x^{2}+5x+36=0 \\ D=25+4 \cdot36=169=13^{2} \\ x_1=\frac{-5+13}{-2}=-4, x_2=9 $$

    ОдЗ: то что в скобках логарифма должно быть больше 0

    Если в уравнениях основания логарифмов равны, то их можно опускать.

    1)

    ОД3  10x+7>0

    -x^2+5x+7>0

    не удовлетворяет одз

    ответ х=0

    2) Логарифмы опускаем,

    одз x^2+x-1>0

    x<7

    оба корня удовлетворяют одз

    3) одз -x^2+4x+5>0 <=>x>-1 x<5

      x<-31

    тут нет решений так как в одз не входит ни одно число

    P.S Решение выше неверное, там не учитывалось одз

  • Решить логарифмические уравнения \( log_4(x+2)^2-2log_\frac{1}{4}(x+2)=8 \)
    \( (log_3(x-1)^2-2)lg(4-x)=0 \)
    \( 3^{log^2_{3}x}+x^{log_3x}=162 \)


    Решение: 1)$$ log_4(x+2)^2-2log_\frac{1}{4}(x+2)=8 \\ 2log_4(x+2) + 2log_4(x+2)=8\\4log_4(x+2)=8\\log_4(x+2)=2\\x+2=4^2\\x=14 $$
    Ответ: 14
    2)$$ (log_3(x-1)^2-2)lg(4-x)=0\\2(log_3(x-1)-1)lg(4-x) $$
    доп. условие
    1$$ log_3(x-1)=1 $$ или $$ lg(4-x)=0 \\ x-1=3 $$ или $$ 4-x=1 \\ x=4 $$ или $$ x=3 \\ x=4 $$ не подходит по доп. условию
    Ответ: 3
    3)$$ 3^{log^2_{3}x}+x^{log_3x}=162 \\ 3^{log_3x*log_3x}+x^{log_3x}=162\\x^{log_3x}+x^{log_3x}=162\\x^{log_3x}=81\\x^{log_3x}=x^{log_x81}\\log_3x=log_x3^4\\log_3x=4\frac{1}{log_3x}\\log^2_3x=4 \\ log_3x=2 $$ и $$ log_3x=-2 \\ x=9 $$ и $$ x=\frac{1}{9} $$
    1/9 не подходит...
    Ответ: 9

<< < 12 3 4 > >>