логарифм »

логарифмическое уравнение - страница 4

  • Решите логарифмические уравнения:
    1) \( 3 lg^{2}( x-1) -10lg( x-1) +3=0 \)
    2) \( \frac{1}{5-lgx} + \frac{2}{1+lgx} =1 \)
    3) \( lg^{2}(100x) + lg^{10x}=14+ lg \frac{1}{x} \)
    4) \( lg^{2} x- 2lgx= lg^{2}100-1 \)


    Решение: 3*lg²(x-1)-10*lg(x-1)+3=0
    lg(x-1)=t ⇒
    3t²-10t+3=0 D=64
    t₁=3 lg(x-1)=3 x-1=10³ x₁=1001
    t₂=1/3 lg(x-1)=1/3 x-1=∛10 x₂=∛10+1
    1/(5-lgx)+2/(1+lgx)=1
    1+lgx+10-2lgx=-lg²x+4lgx+5
    lg²x-5lgx+6=0
    lgx=t ⇒
    t²-5t+6=0 D=1
    t₁=2 lgx=2 x₁=10²=100
    t₂=3 lgx=3 x₂=10³=1000
    lg²x-2lgx=lg²100-1
    lg²x-2lgx=2²-1
    lg²x-2lgx-3=0
    lgx=t
    t²-2t-3=0 D-16
    t₁=3 lgx=3 x=1000
    t₂=-1 lgx=-1 x=1/10.

  • решить логарифмические уравнения )

    lgx-lg11=lg19-lg(30-x)

    lgx=2-lg5


    Решение: lgx-lg11=lg19-lg(30-x) ОДЗ x>0 ; 30-x > 0 ; x < 30 ; 0 < x <30

    lg x/11 = lg 19/(3-x)

    так как основания логарифмов равны (10)

    x/11 = 19/(30-x)

    x(30-x) = 19*11

    -x^2 +30x -209 =0

    x^2 -30x +209 =0

    x1 =11 ; x2=19 входят в ОДЗ

    lgx=2-lg5 ОДЗ x>0 ;

    lgx=lg100-lg5

    lgx=lg(100/5) = lg20

    так как основания логарифмов равны (10)

    x=20  входят в ОДЗ

  • решить логарифмические уравнения
    1) log3(x+5)=2
    2) log 1/5(2x+7)=-2
    3) log6(x^2+8)=log(6x-1)
    4) log3 x+2logx 27-5=0


    Решение: 1. log₃(x+5)=2. x+5>0, x>-5
    x+5=3², x+5=9
    x=4
    2. log₁/₅(2x+7)=-2. 2x+7>0, x>-3,5
    2x+7=(1/5)⁻²
    2x+7=25
    x=9
    3. log₆(x²+8)=log₆(6x-1)
    {x²+8>0
    6x-1>0, x>1/6
    x²+8=6x-1
    x²-6x+9=0, (x-3)²=0
    x=3
    4. log₃x+2log_x 27 -=0
    log₃x+2*(log₃27/log₃x)-5=0
    log₃x+6/log₃x-5=0
    log₃x=t, t≠0
    t²-5t+6=0
    t₁=2, t₂=3
    1. t₁=2, log₃x=2, x₁=9
    2. t₂=3, log₃x=3. x₂=27

  • Тема логарифмические уравнения и неравенства. \(\log_2(x^2+2x-3) \leq \log_2(x+9)\)


    Решение: Сначала ОДЗ х² +2х - 3 больше 0
      х + 9 больше 0
    Первое неравенство имеет решение:(-∞;-3)∨(2;+∞)
    второе неравенство имеет решение х больше -9
    ОДЗ х∈(-9; -3)∨(2; +∞)
    Теперь само решение. Потенцируем. Т. к 2 больше 1, при потенцировании сохраняется знак неравенства
    х² + 2х - 3 ≤ х + 9
    х² +х -12 ≤ 0
    х∈ [ -4; 3]
    Учитывая ОДЗ, пишем ответ:
    х∈[ -4; -3)∨(2; 3]Сначала ОДЗ х х - больше   х больше  Первое неравенство имеет решение - - второе неравенство имеет решение х больше - ОДЗ х - - Теперь само решение. Потенцируем. Т. к больше...

  • Решить уравнения, используя указанные способы: -преобразование и потенцирование в) \(\log_4\log_2x +\log_2\log_4x=2\)
    Решите неравенство: а) \(\log_{0,5}\log_6\frac{x^2+x}{x+4}\leq 0\)
    б) \(\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1}-1}{x}\geq 0\)
    Решите показательное уравнение, используя в решении указанный способ: -разложение на множители: б) \(x^2\cdot 2^{\sqrt{-x}} +4=2^{\sqrt{-x}}+4x^2\); -введение новой переменной: в) \(4^{x-\sqrt{x^2-5}}-12\cdot 2^{x-1-\sqrt{x^2-5}}+8 =0\)
    г) \(3^{2x+1}+3^{1-2x}-7(3^x+3^{-x})=4\)
    ж) \((\sqrt{5+2\sqrt6})^x +(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=10\)


    Решение: В) перейдем к основанию 2
    (og(2)log(2)x)/2+(log(2)log(2)x)/2=2
    2log(2)log(2)x=4
    log(2)log(2)x=2
    log(2)x=4
    x=16
    a) ОДЗ
    x(x+1)/(x+4)>0
    x=0 x=-1 x=-4
      _ + _ +
    -(-4)-(-1)-(0)-
    x∈(-4;-1) U (0;∞)
    log(6)[(x²+x)/(x+4)]≥1 (основание меньше 1, знак меняется)
    (x²+x)/(x+4)≥6
    (x²+x)/(x+4)-6≥0
    (x²+x-6x-24)/(x+4)≥0
    (x²-5x-24)/(x+4)≥0
    x²-5x-24=0
    x1+x2=5 U x1*x2=-24⇒x1=-3 U x2=8
    x+4=0⇒x=-4
      _ + _ +
    -(-4)-[-3]-[8]-
    x∈(-4;-3] U [8;∞)
    б) ОДЗ
    1,5*2^x-1>0⇒1,5*2^x>1⇒2^x>2/3⇒x>log(2)(2/3)
    {x>0
    {log(2)(1,5*2^x-1)≥0⇒1,5*2^x-1≥1⇒1,5*2^x≥2⇒2^x≥4/3⇒x≥log(2)(4/3)
    б) ОДЗ x<0
    x²*2^√-x+4-2^√-x-4x²=0
    2^√-x*(x²-1)-4(x²-1)=0
    (x²-1)*(2^√-x-4)=0
    x²-1=0
    x²=1
    x=-1
    x=1∉ОДз
    2^√-x-4=0
    2^√-x=4
    √-x=2
    -x=4
    x=-4
    в) ОДЗ x²-5≥0⇒x≤-√5 U x≥√5
    4^(x-√(x²-5))-6*2^(x-√(x²-5))+8=0
    2^(x-√(x²-5))=a
    a²-6a+8=0
    a1+a2=6 U a1*a2=8
    a1=2⇒2^(x-√(x²-5))=2⇒x-√(x²-5)=1
    x-1=√(x²-5)
    x²-2x+1=x²-5
    -2x=-6
    x=3
    a2=4⇒2^(x-√(x²-5))=4
    x-√(x²-5)=2
    x-2=√(x²-5)
    x²-4x+4=x²-5
    -4x=-9
    x=2,25
    г)(3^x+3^-x)²=3^2x+3^-2x -2⇒3^2x+3^-2x=(3^x+3^-x)²-2
    3(3^x+3^-x)²-6-7(3^x+3^-x)-4=0
    3^x+3^-x=a
    3a²-7a-10=0
    D=49+120=169
    a1=(7-13)/6=-1⇒3^x+3^-x=-1 нет решения, т. к. 3^x и 3^-x принимают только положительные значения
    a2=(7+13)/6=10/3⇒3^x+3^-x=10/3
    3^x=b
    b+1/b-10/3=0
    3b²-10b+3=0
    D=100-36=64
    b1=(10-8)/6=1/3⇒3^x=1/3⇒x=-1
    b²=(10+8)/6=3⇒3^x=3⇒x=1
    ж)(√(5+2√6))^x=a⇒(√(5-2√6))^x=1/a
    a+1/a-10=0
    a²-10a+1=0
    D=100-4=96
    √D=4√6
    a1=(10-4√6)/2=5-2√6⇒(√(5+2√6))^x=5-2√6⇒x=-1
    a2=5+2√6⇒(√(5+2√6))^x=5+2√6⇒x=1
    a) ОДЗ x²-3≥0⇒x≤-√3 U x≥√3
    9^(√(x²-3)-28/3*3^√(x²-3)+3<0
    3^√(x²-3)=a
    a²-28a/3+3<0
    3a²-28a+9<0
    D=784-108=676
    a1=(28-26)/6=1/3⇒3^√(x²-3)=1/3⇒√(x²-3)=-1 нет решения
    a2=(28+26)/6=9⇒3^(x²-3)=9⇒√(x²-3)=2
    x²-3=4
    x²=7
    x=-√7 U x=√7

<< < 234 5 6 > >>