логарифм »

логарифмическое уравнение - страница 6

  • Решите логарифмическое уравнение\( log3(4x-3)- \frac{5}{log3(4x-3)+3}-1=0 \)


    Решение: $$ log_3(4x-3)- \frac{5}{log_3(4x-3)+3}-1=0; $$
    ОДЗ: $$ \left \{ {{4x-3>0} \atop {log_3(4x-3)+3 = 0}} \right. \left \{ {{x> \frac{3}{4} } \atop {x = \frac{41}{54} }} \right. \\ log_3(4x-3)=t; \\ t- \frac{5}{t+3}-1=0; \mid*(t+3) \\ t(t+3)-5-(t+3)=0; \\ t^2+2t-8=0;D_1=9;t_1=-4;t_2=2; \\ log_3(4x-3)=-4;4x-3=3^{-4};4x=3 \frac{1}{81};x= \frac{61}{81}>\frac{3}{4}; \\ log_3(4x-3)=2;4x-3=3^2;4x=12;x=3>\frac{3}{4}. $$
    Ответ: $$ x= \frac{61}{81},x=3. $$

  • Решите логарифмические уравнения a) \(\frac{\log_2x+5}{\log_2x-1}+1=0\)
    b) \( \frac{7\log_3x-15}{5\log_3x+3}+1=0 \)


    Решение: (log2(x)+5)/(log2(x)-1) + 1 = 0
     Замена переменных
     log2(x) = y
     (y+5)/(y-1) + 1 = 0
     (y + 5 + y - 1)/(y - 1) = 0
     (2y + 4)/(y  -1) = 0
     ОДЗ: y =/= 1
     2y + 4 = 0
     y = -2
     Находим х
     log2(x) = -2
     x = 2^(-2) = 1/4 = 0,25
     (7*log3(x) - 15)/(5*log3(x) + 3) + 1 = 0
     Замена переменных
     у = log3(x)
     (7y - 15)/(5y + 3) + 1 = 0
     (7y - 15 + 5y + 3)/(5y + 3) = 0
     (12y - 12)/(5y + 3) = 0
     ОДЗ: y =/= -3/5
     12y - 12 = 0
     y  = 1
     Находим х
     log3(x) = 1
     x = 3^1 = 3

  • Решите логарифмическое уравнение \(2\lg x^2 -\lg^2(-x)=4 \)


    Решение: $$ ОДЗ \\ -x>0 \\ x<0 \\ 2*2lg(-x)-(lg(-x))^2=4 \\ (lg(-x))^2-4lg(-x)+4=0 \\ a=lg(-x) \\ a^2-4a+4=0 \\ (a-2)^2=0 \\ a=2 \\ lg(-x)=2 \\ lg(-x)=lg 100 \\ -x=100 \\ x=-100 $$

  • Решите одно логарифмическое уравнение log2(x+3) + log2 (x+2) > log2 6


    Решение: Log2(x+3)(x+2) > log2 6
    log2(x^2 +5x+6) > log2 6
    x^2+ 5x+6>6
    x^2 +5x>0
    x(x+5)>0
    (-∞;-5) и (0;+∞)

    $$ \log _{10}\left(2\right)\left(x+3\right)+\log _{10}\left(2\right)\left(x+2\right)\ > \\ \log _{10}\left(26\right) 5\log _{10}\left(2\right)+2x\log _{10}\left(2\right) > \\ \log _{10}\left(26\right) 5\log _{10}\left(2\right)+2x\log _{10}\left(2\right)-5\log _{10}\left(2\right) > \\ \log _{10}\left(26\right)-5\log _{10}\left(2\right) 2x\log _{10}\left(2\right) > \\ \log _{10}\left(\frac{13}{16}\right) $$

  • Если k число корней уравнения \(\log_{9x}\frac{9}{x} + \frac{1}{\log_x^29}=1 \) и x_0 больший корень, то значение выражения \(\frac{k+2x_0}{2}\)


    Решение: ОДЗ: 9x>0 9x≠1 x≠1
      x>0 x≠1/9
    x∈(0; 1/9)U(1/9; 1)U(1; +∞)
    $$ log_{9x}9-log_{9x}x+ \frac{1}{log_{x}^29}=1 \\ \\ \frac{1}{log_{9}9x}- \frac{1}{log_{x}9x}+ \frac{1}{log_{x}^29}=1 \\ \\ \frac{1}{log_{9}9+log_{9}x}- \frac{1}{log_{x}9+log_{x}x}+ \frac{1}{log_{x}^29}=1 \\ \\ \frac{1}{1+ \frac{1}{log_{x}9} }- \frac{1}{1+log_{x}9}+ \frac{1}{log_{x}^29}=1 \\ y=log_{x}9 \\ \\ \frac{1}{1+ \frac{1}{y} }- \frac{1}{1+y}+ \frac{1}{y^2}=1 \\ \\ \frac{y}{1+y}- \frac{1}{1+y}+ \frac{1}{y^2}=1 \\ \\ y^3-y^2+1+y=y^2(1+y) \\ y^3-y^3-y^2-y^2+y+1=0 \\ -2y^2+y+1=0 \\ 2y^2-y-1=0 \\ D=1+8=9 \\ y_{1}= \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4}=- \frac{1}{2} \\ y_{2}= \frac{1+3}{4}=1 $$
    При y=-1/2
    $$ log_{x}9=- \frac{1}{2} \\ \\ x^{- \frac{1}{2} }=9 \\ \\ \frac{1}{ \sqrt{x} } =9 \\ \\ \sqrt{x} = \frac{1}{9} \\ \\ x= \frac{1}{81} $$
    При y=1
    $$ log_{x}9=1 \\ x=9 $$
    k=2
    x₀=9
    $$ \frac{k+2x_{0}}{2}= \frac{2+2*9}{2}=10 $$
    Ответ: 2) 10.

  • Решите логарифмическое уравнение lg(x^2-9)=lg(4x+3)


    Решение: Lg(x²-9)=lg(4x+3)
    выражения под логарифмом должны быть положительными
    1) x²-9>0
    (x-3)(x+3)>0
    x<-3 или x>3
    2) 4x+3>0
    x>-3/4=-0,75
    Объединяя 1) и 2) получим x>3
    Теперь решаем
    x²-9=4x+3
    x²-9-4x-3=0
    x²-4x-12=0
    D=4²+4*12=4(4+12)=4*16
    √D=2*4=8
    x₁=(4-8)/2=-1 <3 -отбрасываем
    x₂=(4+8)/2=6
    Ответ: х=6

<< < 456