логарифм »

логарифмическое уравнение - страница 5

  • Решите логарифмическое уравнение:
    log2x + log2 (x - 3) = 2


    Решение: $$ log_{2}(x(x-3))=log_{2}2^2 $$ ОДЗ:

    $$ log_{2}(x^2-3x)=log_{2}4 $$ $$ \left \{ {{x>0} \atop {x>3}} \right. \\ x^2-3x=4 \\ x^2-3x-4=0 $$ x>3

    $$ D=9+16=25 \\ x_{1}=\frac{3+5}{2}=4 \\ x_{2}=\frac{3-5}{2}=-1 $$ - не удовлетворяет ОДЗ

    Ответ: 4

    log x x- log ОДЗ log x - x log left x atop x right. x - x x - x- x D x frac x frac - - - не удовлетворяет ОДЗ Ответ...

  • Решите логарифмическое уравнение log3(2x+1)=log3 13+1


    Решение: ОДЗ
    2x+1>0
    2x>-1
    x>-0,5
    log(3)(2x+1)=log(3)39
    2x+1=39
    2x=38
    x=19

    $$ log_3(2x+1)=log_3 13+1 $$
    ОДЗ:
    $$ 2x+1\ > \ 0 \\ 2x\ > \ -1 \\ x\ > \ -0.5 $$
    -(-0.5)-
      //////////////////////////
    $$ x \in (-0.5;+\infty) \\ log_3(2x+1)=log_3 13+log_33 \\ log_3(2x+1)=log_339 \\ 2x+1=39 \\ 2x=38 \\ x=19 $$
    Ответ: 19

  • Логарифмическое уравнение \(x^{\log_4(x)} = 2^{3(\log_4(x)+3)}\)


    Решение: Левая часть.
    х^log₄x=?
    log₄x = logₓ/logₓ4 = 1/logₓ4 = (logₓ4)⁻¹
    x^(logₓ4)⁻¹ = (x^logₓ4)⁻¹ = 4⁻¹ = 1/4
    правая часть.
    2^(3log₄x +9) = 2^3log₄x * 2⁹= (4⁰⁾⁵)^3log₄x * 2⁹ = 4^1,5log₄x * 2⁹ =
    =(4^log₄x)¹⁾⁵ * 2⁹ = x¹⁾⁵ *2⁹
    само уравнение: 1/4 = х¹⁾⁵ *2⁹, 
      х¹⁾⁵= 1/4 : 2⁹ = 2⁻¹¹
      х¹⁾⁵ = 2⁻¹¹ | ²
      x³ = 2⁻²²
      x = ∛2⁻²²=1/ ∛2²²= 1/128∛2

  • Решите логарифмическое уравнение log3x-6logx3=1


    Решение: Log(b) или log(e,b)- натуральный логарифм числа b
    log(10,b) - десятичный логарифм числа b
    log(a,b) - логарифм b по основанию a

    log3x-6*1/log3x=1

    (log3x)²-6=log3x

    (log3x)²-log3x-6=0

    пусть    log3x=t          t²-t-6=0           t1+t2=1     

                                                              t1*t2=-6

                                                                    t1=3       t2=-2

    log3x=3       x=3³     x=27

    log3x=-2       x=3^-2=1/9

    Ответ:  х1=27     х2=1/9

  • Число корней уравнения \(\sqrt{x+2}\cdot \lg(3x^2+5x-11) = 0 \) равно ...?


    Решение: Решение
    √(x + 2) * lg(3x² + 5x - 11) = 0
    1) √(x + 1) = 0, x + 1 = 0
    x₁ = - 1
    2) lg(3x² + 5x - 11) = 0
     3x² + 5x - 11 = 10°
     3x² + 5x - 11 - 1 = 0
     3x² + 5x - 12 = 0
    D = 25 + 4*3*12 = 25 + 144 = 169
    x₂ = (- 5 - 13)/6
    x₂ = - 3
    x₃= (- 5 + 13)/6
    x₂ = 8/6
    x₃ = 4/3
    Проверка:
    x₂ = - 3
    lg [3(- 3)² + 5(- 3) - 11] = lg (27 - 15 - 11) = lg 1 = 0
    верно
    x₃ = 4/3
    lg [3(4/3)² + 5*(4/3) - 11]  = lg (16/3 + 20/3 - 11) = lg(36/3 - 11) = 
    = lg (12 - 11) = lg 1 = 0
    верно
    Ответ: Уравнение имеет 3 корня.
    x₁ = - 1 ; x₂ = - 3 ; x₃ = 4/3 = 1 (1/3)

  • Решите логарифмическое уравнение a) \(\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)=-2;\)
    b) \(\log_2\frac{8}{x} -\log_2\sqrt{2x} =-0,5\)


    Решение: А)
    ОДЗ: x²+6x>0
      x(x+6)>0
      x=0 x= -6
      + - +
    - -6 - 0 -
    \\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\
    x∈(-∞; -6)U(0; +∞)
    x²+6x=(1/4)⁻²
    x²+6x=16
    x²+6x-16=0
    D=36+64=100
    x₁=(-6-10)/2=-8
    x₂=(-6+10)/2=2
    Ответ; -8; 2.
    б) ОДЗ:
    1) 8/х >0
      x>0
    2) √(2x)>0
      x>0
    8/(x*√(2x))=2^(-0.5)
    8/√(2x³)=1/√2
    √(2x³)=8√2
    2x³=64*2
    x³=64
    x³=4³
    x=4
    Ответ: 4

  • Решите логарифмическое уравнение
    Lg(7x-9)^2+lg(3x-4)^2=2


    Решение: Lg(7x-9)²+lg(3x-4)²=2
    7x-9>0⇒x>9/7;x>1.2857;
    3x-4>0;⇒x>4/3;x>1.333
    x>1.3333
    2·lg(7x-9)+2·lg(3x-4)=2⇒2·[lg(7x-9)+lg(3x-4)]=2⇒
    lg(7x-9)+lg(3x-4)=1;⇒
    lg(7x-9)(3x-4)=lg10⇒
    (7x-9)(3x-4)=10⇒ 21x²-27x-28x+36=10⇒
    21x²-55x+26=0
    x₁,₂=(55⁺₋√(55²-4·21·26))/42=(55⁺₋√841)/42=(55⁺₋29)/42;
    x₁=(55+29)/42=2;x₁>1.3333
    x₂=(55-29)/42=26/42=13/21=0.6191 не подходит, x₂<1.333Lg x- lg x- x- x x . x- x x . x . lg x- lg x- lg x- lg x- lg x- lg x- lg x- x- lg x- x- x - x- x x - x x - x x . x - .  не подходит x...

  • Решите логарифмическое уравнение. \(4\log_2(x+5) -\log_2(x+1)^4 =4 \)


    Решение: Везде основание логарифма равно 2, поэтому писать его не буду.
    4log(x+5)-log(x+1)^4=4;
    4log(x+5)-4log(x+1)=4;
    log(x+5)-log(x+1)=1;
    log(x+5)-log(x+1)=1;
    log((x+5)/(x+1))=1; теперь можно избавиться от логарифмов
    (x+5)/(x+1)=2;
    x+5=2x+2;
    x=3; x<>-1; x<>-5;Везде основание логарифма равно поэтому писать его не буду. log x -log x log x - log x log x -log x log x -log x log x x теперь можно избавиться от логарифмов x x x x x x- x-...

  • Решите логарифмическое уравнение:
    〖log〗_3(x+3)= 〖log〗_3(2x^2-4)- 〖log〗_3x


    Решение: $$ \log_3(x+3)+\log_3x=\log (2x^2-4);\\ \left \{ \begin{array}{^} \log_3(x^2+3x)=\log_3(2x^2-4);\\ x>0; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{^} x^2+3x=2x^2-4;\\ x>0;\\ 2x^2-4>0; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{^} x^2-3x-4=0;\\ x>\sqrt2; \end{array} \right. $$
    В последней системе из первого уравнения получаем два корня: (-1) и 4.1 не подходит из-за ограничения x>√2 (получается логарифм от отрицательного числа), 4 - подходит.
    Ответ: 4.

  • Решите логарифмическое уравнение
    \( log _{x^{3}-9 x^{2} +27x-27 } (9-x) \geq 0 \)


    Решение:
    log_(x-3)^3)  (9-x)  ≥ 0 
    1/3*log_(x-3)  (9-x)  ≥ 0 ;  x∈(3;4) U ( 4;9)  [x-3>0,  x-3 ≠ 1, 9-x>0]
    log_(x-3)  (9-x)  ≥ 0
       log_(x-3)  (9-x)  ≥ log_(x-3)  1 
    выделяем два случая
    a)  x∈(3;4)  [ 0< x< 1]
       9-x ≤ 1
      x ≥ 8, но учитывая, что x∈(3;4)  == нет  решения
    b)  x∈(4;9)  х-3 > 1
     9-x  ≥  1
       x ≤ 8, но учитывая, что  x∈(4;9)  получим  x ∈(4;8]
    ответ :  x ∈(4;8]

<< < 345 6 > >>