логарифм »

логарифмическое уравнение - страница 3

  • Решить логарифмические уравнения \(log_{7}(x-1)*log_{7}x=log_{7}x \);
    \(\frac{1}{2}lg(x^2+x-5)=lg5x+lg \frac{1}{5x}\)


    Решение: 1.
    $$ log_{7}(x-1)*log_{7}x=log_{7}x \\ \\ x\ > \ 0 \\ x-1\ > \ 0 \\ x\ > \ 1 \\ log_{7}(x-1)= \frac{log_{7}x}{log_{7}x} \\ log_{7}(x-1)=1 \\ x-1 =7^1 \\ [tex]x=8 $$ $$ \\ $$
    Ответ: 8
    2.
    $$ \frac{1}{2}lg(x^2+x-5)=lg5x+lg \frac{1}{5x} \\ \\ $$
    ОДЗ:
    1) x²+x-5>0
    2) 5x>0
    3) $$ \frac{1}{5x}\ > \ 0 \\ lg(x^2+x-5)^{ \frac{1}{2} }=lg(5x* \frac{1}{5x} ) \\ lg \sqrt{x^2+x-5}=lg 1 \\ \sqrt{x^2+x-5} =1 \\ x^2+x-5=1 \\ x^2+x-5-1=0 \\ x^2+x-6=0 \\ D=1+24=25 \\ x_{1}= \frac{-1-5}{2}=-3 \\ x_{2}= \frac{-1+5}{2}=2 $$
    Проверка корней по ОДЗ:
    х=-3
    1) (-3)² -3-5>0
      1>0 - верно
    2) 5*(-3)>0
      -15>0 - не верно
    х= -3 - не подходит
    х=2
    1) 2² +2-5>0
      1>0 - верно
    2) 5*2>0
      10>0 - верно
    3) 1/(5*2)>0
      0.1>0 - верно
    х=2 - подходит
    Ответ: 2.

  • Логарифмические уравнения
    log_0.2 ( x^3+5x^2+6x+1) = log_0.2 (-x^3+2x^2+3x)


    Решение: ОДЗ:$$ \left \{ {{x^3+5x^2+6x+1>0} \atop {-x^3+2x^2+3x>0}} \right. $$
       Решать не будем, так как сложная система
    Решим уравнение и сделаем проверку.
    $$ log_{0.2}( x^3+5x^2+6x+1) = log_{0.2}(-x^3+2x^2+3x) \\ x^3+5x^2+6x+1= -x^3+2x^2+3x \\ 2x^3+3x^2+3x+1=0 $$
    (2x+1)(x²+x+1)=0
    2x+1=0  или  х²+х+1=0
    х=-1/2  D=1-4<0- уравнение не имеет корней
    Проверка удовлетворения найденного значения х=-1/2 системе, задающей ОДЗ
    $$ \left \{ {{(- \frac{1}{2})^3+5(- \frac{1}{2}) ^2+6(- \frac{1}{2})+1>0} \atop {-(- \frac{1}{2})^3+2(- \frac{1}{2})^2+3(- \frac{1}{2})>0}} \right.\Rightarrow\left \{ {{(- \frac{1}{8})+5(\frac{1}{4})-6( \frac{1}{2})+1>0} \atop { \frac{1}{8}+2\cdot \frac{1}{4}- \frac{3}{2}>0}} \right. $$
    оба неравенства неверны. х=-1/2 не является корнем уравнения
    Ответ. нет корней

  • Логарифмические уравнения: \(\begin{cases}4^{x+y} =2^{y-x}\\4^{3\log_{\sqrt2}x}=y^4 -5\end{cases}\)


    Решение: Давайте попробуем преобразовывать каждое уравнение системы.
    1.$$ 4^{x+y}=2^{y-x}; 2^{2(x+y)}=2^{y-x}; 2x+2y=y-x; y=-3x; $$ уже лучше, теперь попробуем преобразовать второе уравнение системы
    2.$$ 4^{3log_ \sqrt{2}}x=2^{6log_ 2^{ \frac{1}{2} }x}=2^{12log_2x}=(2^{log_2x})^{12}=x^{12}; x^{12}=y^4-5; $$
    Получаем эквивалентную систему $$ \left \{ {{y=-3x} \atop {x^{12}=y^4-5}} \right. $$. Вопрос в том, что делать дальше - конечно же, подставить из 1 во 2 уравнение. $$ x^{12}=(-3x)^4-5; x^{12}=81x^4-5; x^{12}-81x^4+5=0; $$ вот здесь трудно сказать, что вообще делать, очевидна замена переменной $$ t=x^3; t^3-81t+5=0; $$ Делители свободного члена корнями являться не будут. Можно сказать приближенные корни: 
    $$ t_1=-9,0307; t_2=0,0617; t_3=8,969; $$

  • Логарифмическое уравнение: a)log_1/2(3x-1)=1 b)log_2(2x-1)+log_2(3x-2)=0


    Решение: $$ \\\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=1\\ 3x-1>0\\ 3x>1\\ x>\frac{1}{3}\\\\ \Big(\frac{1}{2}\Big)^1=3x-1\\ \frac{1}{2}=3x-1\\ 3x=\frac{3}{2}\\ x=\frac{1}{2} \\ \\\log_2(2x-1)+\log_2(3x-2)=0\\ 2x-1>0 \wedge 3x-2>0\\ 2x>1 \wedge 3x>2\\ x>\frac{1}{2} \wedge x>\frac{2}{3}\\ x>\frac{2}{3}\\\\ \log_2(2x-1)(3x-2)=0\\ 2^0=6x^2-4x-3x+2\\ 1=6x^2-7x+2\\ 6x^2-7x+1=0\\ 6x^2-6x-x+1=0\\ 6x(x-1)-1(x-1)=0\\ (6x-1)(x-1)=0\\ x=\frac{1}{6} \vee x=1\\\\ \frac{1}{6}ot>\frac{2}{3}\\ \underline{x=1}\\ $$

  • Логарифмическое уравнение \(log _{3} (81^{x} + 3^{2x})=3log_{27}90\)


    Решение: $$ log _{3} (81^{x} + 3^{2x})=3log_{27}90 \\ log _{3} (81^{x} + 3^{2x})=log_{3}90 \\ 81^{x} + 3^{2x}=90 \\ 3^{4x} + 3^{2x}=90 \\ 3^{2x}(3^{2x}+1)=90 $$
    Введем замену $$ t=3^{2x} \\ t^2+t-90=0 \\ (t-9)(t+10)=0 \\ t=9 $$ или $$ t=-10 $$
    Вернемся к замене: т. к. любое число в степени не может быть отрицательным, то ответ -10 отбрасываем
    $$ 3^{2x}=9 \\ 2x=2 $$
    x=1 - корень ураввнения

  • Логарифмические уравнения и неравенства.

    Решите уравнения :     lg(x-1)+lg(x-2.5) = 1.


    Решение: lg(x-1)+lg(x-2.5) = 1. Так как в этом ур-е представлена сумма логарифмов с одинаковым основанием, то сложение заменяется умножением, а логарифм с основанием выносится за скобку. Таким образом, получаем следующее: 
     lg((x-1)*(x-2.5)) = 1. Теперь, 1 заменяем на lg10. Получаем:
    lg((x-1)*(x-2.5)) = lg10. У нас получились логарифмы с одинаковым основанием. 
    x^2-2.5x-x+2.5=10. Дальше уже несложно решить...

  • логарифмическое уравнение\( \frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1 \)


    Решение: $$ \\\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1\\ 5-\lg xot=0\wedge 1+\lg xot=0\\ \lg xot=5 \wedge \lg xot=-1\\ xot=10^5 \wedge xot =10^{-1}\\ xot=10000 \wedge xot = \frac{1}{10}\\ \frac{1+\lg x}{(5-\lg x)(1+\lg x)}+\frac{2(5-\lg x)}{(5-\lg x)(1+\lg x)}=1\\ \frac{1+\lg x+10-2\lg x}{5+5\lg x-\lg x-\lg^2 x}=1\\ \frac{-\lg x+11}{-\lg^2x+4\lg x+5}=1\\ -\lg x+11=-\lg^2x+4\lg x+5\\ \lg^2 x-5 \lg x+6=0\\ $$

    t=lg x

    t²-5t+6=0

    Δ=(-5)²-4*1*6

    Δ=25-24

    Δ=1

    √Δ=1

    t₁=(-(-5)-1)/(2*1)

    t₁=4/2

    t₁=2

    t₂=(-(-5)+1)/(2*1)

    t₂=6/2

    t₂=3

    lg x=2

    x=10²

    x=100

    lg x=3

    x=10³

    x=1000

    x=100 ∨ x=1000

    frac - lg x frac lg x - lg xot wedge lg xot lg xot wedge lg xot - xot wedge xot - xot wedge xot frac frac lg x - lg x lg x frac - lg x - lg x lg x frac lg x - lg x lg x- lg x...

  • Логарифмическое уравнение \(\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2 -3 =\log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3 -\log_4(x+6)^3 \)


    Решение: У логарифмов выносим степень и у основания логарифмов то же выносим степень получаеться -3log(x+2)-3=-3log(4-x)-3log(6+x) сокращаем на -3
    Log(x+2)+1=log(4-x)+log(6+x) переносим в одну сторону и там по свойствам логарифма получаем
    Log(x+2)/((4-x)(6+x))=-1 так как у нас оснащаете логарифма 4 то (x+2)/((4-x)(6+x))=1/4 отсюда
    4х+8=(4-х)(6+х) и решаем это уравнение

  • Логарифмическое уравнение:
    \( log_{3} ( x^{2}-6x+17)=2 \)


    Решение:

    Log{3} (x² -6x+17) =2 ;
    Log{3} (x² -6x+17) =Log{3} 3² ;
    x² -6x+17 = 3² ; * * * x² -6x+17 = 3²  >0 * * *
    x² -6x+8 = 0 ;  
    x₁  = 2 
    x₂  = 4

    Log x - x Log x - x Log x - x    x - x     gt x - x     x      x    ...

  • Логарифмическое уравнение:
    1) lgx-2lg3=lg7-lg(16-x)
    2) \( log_{4}^{2} x+5log_{4} x-6=0 \)
    Неравенство:
    3) \( log_{2} (x-1) <log_{2} (2x-y) \)


    Решение: 1) lg x - 2lg 3 = lg 7 - lg(16-x)
    Область определения
    { x>0
    { x<16
    x€(0;16)
    lg x - lg 9 = lg 7 - lg(16-x)
    lg(x/9) = lg(7/(16-x))
    x/9 = 7/(16-x)
    x(16-x)=7*9
    x^2-16x+63=0
    (x-7)(x-9)=0
    x1=7; x2=9
    2) Область определения
    x>0
    Замена log_4(x)=y
    y^2+5y-6=0
    (y-6)(y+1)=0
    y1=log_4(x)=-1; x1=4^(-1)=1/4
    y2=log_4(x)=6; x2=4^6=4096
    3) Функция y=log_2(x) возрастающая на всем промежутке области определения.
    Поэтому
    x-1<2x-y
    { y{ x>1
    { y<2x
    Учитывая первые два неравенства, третье будет выполняться всегда, поэтому его можно опустить.
    { x>1
    { y

<< < 123 4 5 > >>