График логарифмической функции

Логарифмической функцией называется функция вида

y = log_ax,

где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1.

Формула y = log_ax выражает то же самое, что и формула

а^y= х. (1)

Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией

у = а^x (2)

Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Поэтому логарифмическая функция y = log_ax называется обратной к показательной функции у = а^x.

Формула (1) получается из формулы (2), если в последней переменные величины х и у поменять местами. Отсюда следует, что значения логарифмической функции y = log_ax легко получить из соответствующих значений показательной функции у = а^x, если то, что для показательной функции было у-ом, для логарифмической функции рассматривать как х, а то, «то для показательной функции было х-ом, для логарифмической функции рассматривать как у.

Рассмотрим графики следующих функций:

у = log₂x, у = log₁₀x, у = log_1/2x и у = log_1/10x

На первом рисунке вы видите графики функций у = log₂x и у = log₁₀x.

графики функций y = log_2(x) и y = log_10(x)

Ниже - графики функций у = log_1/2x и у = log_1/10x.

$графики функций y = log_{1/2}(x) и y = log_{1/10}(x)$

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Когда х - > 0, то логарифмическая кривая y = log_ax неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает. Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых.

Для сравнения графика логарифмической функции y = log_ax с графиком соответствующей ей показательной функции у = а^x обратимся к рисункам ниже (а = 2) и (а = ¹/₂).

графики логарифмической и показательной функций при a=2

сравнение графиков при a=1/2

Как видно из этих рисунков, графики логарифмической функции и соответствующей ей показательной функции симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Если приведенный рисунок перегнуть по этой биссектрисе, то графики функций у = 2^x и у = log₂ x наложатся друг на друга.

Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости...
Решение: Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией $ y = ax, a > 0 $ на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку $ A $, — это площадь фигуры под точкой $ A $ до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры,... Подробнее »

Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство х^2/f(x)>64*f(1/x)...
Решение: Дана функция:$$ f(x)=x^{-3} $$А, теперь, у нас есть неравенство:$$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 $$Вопрос: как я получил функцию $$ x^3 $$ в функции $$ f(\frac{1}{x}) $$.Чтобы было легче понять, подставим вместо f - y. Получим:$$ \frac{1}{y}=x^{-3} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{x^3} \\ y=x^3 $$Остальное решаем:$$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 \\ \frac{x^2}{\frac{1}{x^3}}>64x^3 \\ x^6>64x^3 \\ x^3>64 \\ x>4 $$Ответ: x>4 Дана функция f(x)... Подробнее »

Используя свойства непрерывности функции,докажите что эти уравнения имеют корни в данном промежутке 1) x^6-5x+1=0 1< и равно x< и равно 2 2) sinx-x+1=0 0< и равно x< и равно п...
Решение: Очень просто делается, я всегда так нахожу приблизительные корни уравнений, если не могу решить его аналитически.Нужно проверить, что на концах отрезка значения имеют разные знаки.Тогда где-то внутри отрезка значение будет = 0, так как функция непрерывна.1) x^6 - 5x + 1 = 0F(1) = 1 - 5 + 1 = -3 < 0; F(2) = 64... Подробнее »

Докажите, что функция а) у=х^2-2х-1 неограниченная( ограниченная снизу) б)3-/x+2/=у неограниченная ( ограниченна с верху) (/./-это модуль )...
Решение: Это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому она имеет некоторую нижнюю границу, это вершину:$$ y=x^2-2x-1\\x=-\cfrac{b}{2a}=1\\y(1)=-2\\A(1;-2) $$Эта точка и является нижней границей.$$ 3-|x+2|=y $$ - Данная функция ограничена сверху, так как знак модуля, отразит ее вниз, наибольшей верхней точкой, является точка с координатами:$$ A(-2;3) $$Что и требовалось доказать... Подробнее »

Чему равен предел (lim) числа 3 в степени 1-n и почему?...
Решение: Lim3^(1-n)Распишем 3^(1-n) =3^1 / 3^nТак как, n стремится к бесконечности то получаем, что 3^n бесконечно большое чисто,а число 3 делим на бесконечно большое число, значит получаем 0.и так Lim0=0 ^-степеньи под lim не забывайте подписывать, что n стремится к бесконечности. ... Подробнее »

Найти предел, не используя правило Лопиталя: предел дроби (х+3)/(х+4) в степени (-2х), где х стремится к бесконечности $ \lim_{x \to \infty} ((x+3)/(x+4))^{-2x} $...
Решение: $$ \lim_{x \to \infty}( \frac{x+3}{x+4} )^{-2x}= \lim_{x \to \infty}( \frac{x+4-1}{x+4} )^{-2x}= \\ = \lim_{x \to \infty}( 1-\frac{1}{x+4} )^{-2x}=\lim_{x \to \infty}( 1+\frac{1}{-(x+4)} )^{-(x+4) \frac{2x}{x+4} }= \\ =e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x+4} }=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x/x}{x/x+4/x} }=e^2 $$... Подробнее »

Теория