График логарифмической функции

Логарифмической функцией называется функция вида

y = logax,

где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1.

Формула y = logax выражает то же самое, что и формула

аy= х. (1)

Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией

у = аx (2)

Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Поэтому логарифмическая функция y = logax называется обратной к показательной функции у = аx.

Формула (1) получается из формулы (2), если в последней переменные величины х и у поменять местами. Отсюда следует, что значения логарифмической функции y = logax легко получить из соответствующих значений показательной функции у = аx, если то, что для показательной функции было у-ом, для логарифмической функции рассматривать как х, а то, «то для показательной функции было х-ом, для логарифмической функции рассматривать как у.


Рассмотрим графики следующих функций:

у = log2x, у = log10x, у = log1/2 x и у = log1/10 x

На первом рисунке вы видите графики функций у = log2x и у = log10x.

графики функций y = log_2(x) и y = log_10(x)

Ниже - графики функций у = log1/2 x и у = log1/10 x.

графики функций y = log_{1/2}(x) и y = log_{1/10}(x)

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Когда х - > 0, то логарифмическая кривая y = logax неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает. Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых.


Для сравнения графика логарифмической функции y = logax с графиком соответствующей ей показательной функции у = аx обратимся к рисункам ниже (а = 2) и (а = 1/2).

графики логарифмической и показательной функций при a=2

сравнение графиков при a=1/2

Как видно из этих рисунков, графики логарифмической функции и соответствующей ей показательной функции симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Если приведенный рисунок перегнуть по этой биссектрисе, то графики функций у = 2x и у = log2 x наложатся друг на друга.



« назад