Как решать логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные величины под знаком логарифма. К таким относятся, например, уравнения

log2 x = 5, logx (x - 1) = 0

и т. д. Так же как и показательные, логарифмические уравнения являются трансцендентными.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

loga x = b, (1)

где а и b - данные числа, а х - неизвестная величина. Если а - положительное и не равное единице число, то такое уравнение имеет единственный корень

х = аb.

Решение более сложных логарифмических уравнений, как правило, сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1). Поясним это на некоторых частных примерах.

  1. Решить уравнение

    logx(x2 - 3x + 6) =2.

    По определению логарифма из этого уравнения следует, что x2 = x2 - 3x + 6, откуда х = 2.

    Проверка. При х = 2

    logx(x2 - 3x + 6) = log2 (4 - 6 + 6) = log2 4 = 2.

    Значит, х = 2 - корень данного уравнения. Ответ, х = 2.

  2. Решить уравнение

    lg (x2 -17) = lg (x + 3).

    Решение подобных уравнений основано на следующем свойстве логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Из этого свойства логарифмов вытекает, что если только данное уравнение имеет корни, то они должны удовлетворять уравнению

    x2 -17 = x + 3,

    откуда

    x1 = 5, x2 = - 4.

    Проверка. При х = 5

    lg (x2 -17) = lg 8; lg (x + 3) = lg 8.

    Значит, х = 5 - корень данного уравнения. При х = -4 левая и правая части данного уравнения не определены, поскольку x2- 17= - 1 < 0 и x + 3 = - 1 < 0. Следовательно, х = - 4 не есть корень этого уравнения.

    Ответ, х = 5.

    Рассмотрим еще одно уравнение

    21g (x- 1) = 1/21g x5 - lg √x (2)

    Выполним следующие преобразования:

    21g (x- 1) = 1g (x- 1)2,

    1/21g x5 - lg √x = lg x5/2 - lg x1/2 = lg x5/2/ x1/2= lg x2.

    Таким образом, исходя из уравнения (2), мы пришли к уравнению

    1g (x- 1)2 = lg x2. (3)

    Из него вытекает, что (x- 1)2 = x2, или х = 1/2. Но при х = 1/2 левая часть уравнения (2) не определена (х - 1 = - 1/2 <0); следовательно, данное уравнение не имеет корней.

    Заметим, однако, что для уравнения (3) число 1/2 является корнем. Таким образом, уравнения (2) и (3) не эквивалентны друг другу. Это лишний раз говорит о том, что при решении логарифмических уравнений необходимо делать проверку полученных значений. Среди них часто оказываются «посторонние» корни.

  3. Некоторые логарифмические уравнения сводятся к алгебраическим уравнениям посредством введения новой неизвестной величины. Если, например, в уравнении

    log3 2 x - 3log3 x - 10 = 0

    log3 x обозначить через у, то оно сведется к квадратному уравнению у2 - 3у - 10 = 0, откуда y1 = - 2, y2 = 5. Вспоминая, что у = log3 x, получаем: если log3 x = - 2, то x = 1/9; если же log3 x = 5, то х = 243.

    Проверкой легко установить, что оба эти значения х удовлетворяют данному уравнению.

    Ответ. x1 = 1/9 ; x2 = 243.

  4. Некоторые уравнения решаются путем почленного логарифмирования. Пусть, например, дано уравнение $$ x^{\lg x -1} = \lg 100 $$

    Прологарифмируем это уравнение почленно:

    $$ \lg x^{\lg x -1} = \lg 100 $$

    (lg x- 1) lg x = 2.

    Обозначая lg x буквой у, мы приходим к квадратному уравнению

    у2 - у - 2 = 0,

    имеющему корни y1 = - 1, y2 = 2. Вспоминая, что у = lg x, получаем: либо lg x = - 1, и тогда х = 0,1; либо lg x = 2, и тогда x =100. Проверка. При х = 0,1

    $$ x^{\lg x -1} = 0,1^{-1-1} =0,1^{-2} = 100 $$

    следовательно, х = 0,1 - корень данного уравнения.

    При х = 100

    $$ x^{\lg x -1} = 100^{2-1} = 100 $$

    так что х = 100 - также корень уравнения.

    Ответ. x1= 0,1; x2 = 100.

  5. При решении некоторых логарифмических уравнений оказывается полезным использовать формулу перехода от одного основания логарифмов к другому: $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

    Решим, например, уравнение

    log2 x + log3 x =1.

    Для этого от логарифмов по основаниям 2 и 3 перейдем к логарифмам по основанию 10:

    log2 x = lg x/lg2 , log3 x = lg x/lg3 ,

    Тогда данное уравнение примет вид:

    lg x/lg2 + lg x/lg3 =1

    откуда

    $$ \lg x = \frac{\lg2 \cdot \lg3}{\lg2+\lg3} = \frac{\lg2 \cdot \lg3}{\lg6} $$ Поэтому $$ x=10^{\frac{\lg2 \cdot \lg3}{\lg6}} = (10^{\lg2})^{\frac{\lg3}{\lg6}}=2^{\frac{\lg3}{\lg6}}$$

    При необходимости это значение х можно определить с помощью таблиц логарифмов.

    Проверка. При найденном значении х

    $$ \log_2 x = \frac{\lg x}{\lg 2} = \frac{1}{\lg2}\cdot\lg(10^{\frac{\lg2 \cdot \lg3}{\lg6}})= \frac{1}{\lg2}\cdot\frac{\lg2 \cdot \lg3}{\lg6} = \frac{\lg3}{\lg6} $$

    Аналогично,

    $$ \log_3 x = \frac{\lg2}{\lg6} $$

    Поэтому

    $$ \log_2 x + \log_3 x = \frac{\lg3}{\lg6}+\frac{\lg2}{\lg6} = \frac{\lg3+\lg2}{\lg6}=\frac{\lg6}{\lg6}=1 $$

    Значит, найденное значение х является корнем данного уравнения.

    Ответ, \( x=2^{\frac{\lg3}{\lg6}} \)

    Рассмотрим еще одно уравнение:

    log2 x + log x 2 = 2

    Поскольку

    log x 2 = 1 / log2 x

    то, обозначая log2 x через у, получаем:

    y + 1/y = 2,

    откуда у = 1. Следовательно, log2 x = 1 и х = 2. Проверка показывает, что х = 2 есть корень данного уравнения.

    О т в е т. х = 2.



« назад