Свойства логарифмической функции

Рассмотрим основные свойства логарифмической функции

y = log_ax (1)

Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.

Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел.

Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение \(\log_a b\) определено. Как мы знаем, \(\log_a b\) есть не что иное, как корень уравнения

а^z = b (2)

Если а и b - положительные числа, причем а ≠ 1, то такое уравнение по свойствам показательной функции всегда имеет и притом только один корень. Этим корнем и является \(\log_a b\). Следовательно, \(\log_a b\) в данном случае определен.

Покажем теперь, что если b < 0, то выражение \(\log_a b\) не определено.

Действительно, если бы это выражение имело смысл, то оно давало бы корень уравнения (2); в таком случае должно было бы выполняться равенство

На самом же деле это равенство не выполняется, поскольку левая его часть представляет собой положительное, а правая - отрицательное число или нуль.

Итак, выражение \(\log_a b\) (а > 0, а ≠ 1) определено для всех положительных значений b, но не определено ни для какого отрицательного значения b, ни для b = 0. А это и означает, что областью определения функции y = log_ax является множество всех положительных чисел.

1-е свойство логарифмической функции доказано. Геометрическая интерпретация этого свойства заключается и том, что график функции y = log_ax целиком расположен в правой полуплоскости, которая соответствует только положительным значениям х (см. рис.).

Свойство 2. Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел.

Это означает, что выражение log_ax при различных значениях х может принимать любые числовые значения.

Пусть b - произвольное действительное число. Покажем, что существует число х, которое удовлетворяет условию

log_ax = b. (3)

Тем самым и будет доказано свойство 2.

Соотношение (3) означает то же самое, что и соотношение

а^b = x.

Число а - положительное. А степень любого положительного числа с произвольным показателем всегда определена. Поэтому, выбрав в качестве искомого значения х число а^b , мы и удовлетворим условию (3).

Свойство 3. При а > 1 логарифмическая функция y = log_ax является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.

Пусть а > 1 и х₂ > х₁. Докажем, что

log_ax₂ > log_ax₁ .

Для доказательства предположим противное: log_ax₂ < log_ax₁ или log_ax₂ = log_ax₁. При а > 1 показательная функция у = а^x монотонно возрастает. Поэтому из условия log_ax₂< log_ax₁ вытекает, что а ^{loga x2} < а ^{loga x1}, Но а ^{loga x2} = x₂ , а ^{loga x1} = x₁. Следовательно, x₂ < x₁. А это противоречит условию, согласно которому x₂ > x₁, К противоречию приводит и другое предположение: log_ax₂ = log_ax₁. В этом случае должно было бы быть а ^{loga x2} < а ^{loga x1} или x₂ = x₁. Остается признать, что

log_ax₂ > log_ax₁.

Тем самым мы доказали, что при а > 1 функция у = log_ax является монотонно возрастающей.

Случай, когда а < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

3-e свойство логарифмической функции допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 график функции у = log_ax с ростом х все выше и выше поднимается (см. рис.), а при а < 1 он с ростом х все ниже и ниже опускается (см. рис.).

Следствие. Если логарифмы двух чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от 1, равны, то равны и сами эти числа.

Другими словами, из условия

log_ax = log_ay (a > 0, а =/= 1)

вытекает, что

х = у.

Действительно, если бы одно из чисел х и у было больше другого, то в силу монотонности логарифмической функции одно из чисел log_ax и log_ay было бы больше другого. Но это не так. Следовательно, х = у.

Свойство 4. При х =1 логарифмическая функция у = log_ax принимает значение, равное нулю.

Графически это означает, что независимо от а кривая у = log_ax пересекается с осью х в точке с абсциссой х = 1 (см. рис.).

Для доказательства 4-го свойства достаточно заметить, что при любом положительном а

а⁰ = 1.

Поэтому log_a 1 = 0.

Свойство 5. Пусть а > 1. Тогда при х > 1 функция у = log_ax принимает положительные, а при 0 < х < 1 - отрицательные значения.

Если же 0 < а < 1, то, наоборот, при х > 1 функция у = log_ax принимает отрицательные, а при 0 < х < 1 - положительные значения.

Это свойство логарифмической функции также допускает простую графическую интерпретацию. Пусть, например, а >1. Тогда та часть кривой у = log_ax, которая соответствует значениям х > 1, располагается выше оси х, а та часть этой кривой, которая соответствует значениям 0 < х < 1, находится ниже оси х (см. рис.). Аналогично может быть интерпретирован и случай, когда a < 1 (рис.).

5-е свойство логарифмической функции является простым следствием 3-го и 4-го свойств. Для определенности рассмотрим случай, когда а > 1. Тогда по 3-му свойству функция у = log_ax будет монотонно возрастающей. Поэтому если х > 1,то log_ax > log_a 1. Но по 4-му свойству log_a 1= 0. Следовательно, при х >1 log_ax > 0. При х < 1 log_ax < log_a1, то есть log_ax < 0.

Аналогично может быть рассмотрен и случай, когда а < 1.

К рассмотренным пяти свойствам логарифмической функции мы без доказательства добавим еще одно свойство, справедливость которого наглядно отражается на рисунках выше.

Свойство 6. Если а >1, то при х -> 0 значения функции у = log_ax неограниченно убывают (у -> - ∞). Если 0 < а < 1, то при х -> 0 значения функции у = log_ax неограниченно возрастают (у -> ∞).