Тождественные выражения. Тождественное преобразование

Тождественными выражениями называют алгебраические выражения, которые при любых значениях входящих в них переменных приобретают одинаковое значение. Например, тождественны выражения \(x\cdot x\) и \(x^2\), т. к. они равны между собой при любых значениях x. Соответственно, тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных: \(x\cdot x = x^2\).

Когда надо подчеркнуть тождественность выражений в отличие от их равенства, используется математический знак "тождественно равно": ≡. Запись f(x) = g(x)+1 может рассматриваться как уравнение относительно x, которое надо решить, т. е. определить те значения x, при которых данная запись превращается в истинное равенство. Запись f(x) ≡ g(x)+1 — это утверждение, что функции f(x) и g(x)+1 совпадают при всех значениях x, т. е. фактически, это определение функции f(x) через функцию g(x).

Тождественным преобразованием в алгебре называется любая замена алгебраического выражения другим тождественным выражением. Значения получаемых при тождественных преобразованиях выражений совпадают при всех значениях входящих в них переменных, однако алгебраическая форма записи выражений может значительно различаться. Целью тождественных преобразований обычно является приведение выражения к такой форме, в которой упрощается решение поставленной задачи.

Например, если стоит задача узнать, при каких значениях x выражение \(x^2 − 2x + 1\) обращается в нуль, достаточно заметить, что данное выражение тождественно \((x − 1)^2\). Сразу становится ясно, что ответ будет x=1, что было совершенно неочевидно в исходной записи. Важно знать, что тождественное преобразование должно сохранять не только значение выражения при любом значении переменных, но и его область определения. Например, часто применяемая операция сокращения алгебраической дроби несет опасность изменения области определения, если сокращаемое подвыражение при некоторых значениях переменных обращается в нуль.

Например:

 Кажется, что теперь можно сократить дробь на  (x − 1):

 но такое преобразование не будет тождественным. Дело в том, что подвыражение (x − 1) обращается в нуль при x=1. При этом значении x исходное выражение не имеет смысла, т. е. точка x=1 не входит в область определения исходного выражения. Между тем, результирующее выражение (x + 1) такого ограничения не содержит. И хотя при всех остальных значениях x исходное и результирующее выражения совпадают, они не тождественны, так как различаются в одной точке: при x=1 исходное выражение не определено, а результирующее равно 2. Чтобы последнее преобразование было тождественным, необходимо добавить к результирующему выражению ограничение: (x2 + 2x + 1) / (x − 1) ≡ (x + 1), x≠1.