Разложение на простые множители

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово "множители", то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово "простые" означает, что каждый множитель является простым числом. Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2, 7, 7 и 23.

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу.

В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2, 3 и 5, оно равно 30, таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5. Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5. Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3. А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Простые числа - это такие натуральные числа, которые делятся на 1 и на само себя: 2; 3; 5; 7; 11 и т. д. (кроме единицы);
Составные числа - все остальные натуральные числа, у них больше 2-х делителей: 4 (делится на 1; 4; 2); 6 (делится на 1; 6; 2; 3).

Возникает следующий вопрос: "А какие вообще числа можно разложить на простые множители?"

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди целых положительных чисел, больших единицы. Учитывая этот факт и правила умножения целых чисел, можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1.

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и само себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b, то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b, что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики, которая утверждает, что любое целое число a, которое больше 1, можно разложить на произведение простых множителей p1, p2, …, pn, при этом разложение имеет вид a=p1·p2·…·pn, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей.

Чтобы разложить число на простые множители, надо:

• записать его слева от вертикальной черты;
• справа от черты записать первый делитель числа - самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
• в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
• справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
• слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
• для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д. пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
• делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Возьмем любое число, например 24, оно делится на 2, получается 12, дальше опять ищем малое(целое) кратное на которое делится данное число, 12/2=6; 6/2=3; 3/3=1 и ответ получается 2,2,2,3