решение уравнений » решить квадратное уравнение через дискриминант
  • Решите,через дискриминант можно, а можно и нет: (3х-1)(3х+1)-2х(1+4х)=-2


    Решение: Раскрываем скобки
    9х"+3х-3х-1-2х-8х+2=0
    перенесли все цифры в одну часть, чтобы сразу привести подобные. Приводим
    9х"-10х+1=0
    Д=в"- 4ас=(-10)"-4*9*1=100-36=64
    далее ищем корни
    Х один=1,5
    Х два=2/12 или 1/6

  • Как применить формулу дискриминанта?


    Решение: Найти корень уравнения $$ 4x^2+3x-10=0 $$, если их несколько, то указать сумму. 

    Сразу вернёмся к формуле, по которой собственно и находятся корни квадратного уравнения (уравнения вида $$ ax^2+bx+c=0 $$): 
    $$ x_{1,2}=\frac{-bб\sqrt{D}}{2a} $$, дискриминант же расписывается по-своему: $$ \sqrt{D}=\sqrt{b^2-4ac} $$. Дискриминант как бы заслужил своё отдельное внимание, ведь именно при его вычислении люди нередко допускают ошибки. Теперь – решаем

    $$ 4x^2+3x-10=0 $$, отсюда: $$ a=4;b=3;c=-10 $$, значит
    $$ \sqrt{D}=\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{3^2-4*4*(-10)}=\sqrt{9+160}=\sqrt{169}=13 $$
    мы получили $$ \sqrt{D}=13 $$; это как в алгебраических выражениях – ты складываете буквы, подставляете вместо них какие-то числа и считываете ответ, так вот здесь тоже самое

    возвращаемся к формуле корней квадратного уравнения: 
    $$ x_{1,2}=\frac{-b\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+13}{2*4}\to\left[\begin{array}{ccc}x_1=\frac{-3+13}{8}=\frac{5}{4} \\ x_2=\frac{-3-13}{8}=-2\end{array}\right. $$
    оба корни действительны и являются решением данного уравнения: $$ \frac{5}{4}+(-2)=-0,75 $$

    Ответ: сумма корней квадратного уравнения $$ 4x^2+3x-10=0$$ равна $$ -\frac{3}{4}$$

  • Дискриминант x²-8x-7=0, (3x=1)(x-2)=6, (x2=1)²-15=2(x²+1), x²-4x-5=0


    Решение: 1) D=64-4*1*7=6^2
      X=8+-6/2
    x1=7 x2=1

    2) 3x^2-5x-8=0
    D=25-4*3*(-8)=11^2
    X= 5+-11/6
    x1=8/3 x2=-1
    3)x^4+2x^2+1-15=2x^2+2
    x^4=16
    x1=2 x2=-2
    4) D=16-4*1*(-5)=6^2
    X= 4+-6/2
    x1=5 x2=-1
  • Решите дискриминант, по алгебре 9 класс: x^4 - 7x^2 - 18 = 0


    Решение: X4-7x2-18=0
    Пусть x2=t,тогда
    t2-7t-18=0
    Д=b2-4ac=49-4*1*(-18)=49+72=121
    t1=7-11:2=-3:2=-1,5
    t2=7+11:2=18:2=9
    1)x2=-1,5
    не имеет смысла
    2)x2=9
    x1=3
    x2=-3
    Ответ:x1=3;x2=-3

    X²-7x-18=0
    а=1; в=7; с=-18;
    по формуле:D=в
    ²- 4а·с
    решаем:D=7²-4·1·(-18)=49+72=121
    находим корни уравнения по формуле: х1=-в+√D/2a; х2=-в-√D/2a
    x1=7+√121/2=7+11/2=9;
    х2=7-√121/2=7-11/2=-2
      ответ: х1=9; х2=-2

  • Решите через дискриминант: 4х^2-9x-2=0


    Решение: 4х^2-9x-2=0
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
    Ищем дискриминант:D=(-9)^2-4*4*(-2)=81-4*4*(-2)=81-16*(-2)=81-(-16*2)=81-(-32)=81+32=113;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня
    :x_1=(√113-(-9))/(2*4)=(√113+9)/(2*4)=(√113+9)/8=√113/8+9/8=√113/8+1.125≈2.45376822659183;
    x_2=(-√113-(-9))/(2*4)=(-√113+9)/(2*4)=(-√113+9)/8=-√113/8+9/8=-∛113/8+1.125≈-0.20376822659183.

  • x^4 - 5x^2 - 36 = 0, решить через дискриминант.


    Решение: Х^2 обозначаем переменной х^2=t 
    t^2+5t-36=0 
    D=5^2-4*(-36)=25+144=169 
    t1=(-5-13)/2=-9; t2=(-5+13)/2=4 
    t1=-9 не существует. 
    t2=4. То есть, х1=2, а х2=-2. 
    Ответ: х1=2, х2=-2. 

    1)Пусть x^2=y,(y>=0) тогда
    y^2-5y-36=0
    D=25+144=169=13^2
    y1=(5+13)/2=9
    y2=(5-13)/2= - 4-не удовлетворяет условию
    2) если y=9, то x=3или x=-3

  • Один экскаватор может выкопать котлован на 3 дня быстрее другого экскаватора, вместе могут выкопать котлован за 2 дня. За какое время каждый сможет выкопать котлован?


    Решение: Составим уравнение:

    1/х и 1/ (х-3) - это производительность

    далее так: 

    Время равно объем работ разделить на общую производительность

    1 / ( 1/х + 1/ (х-3) ) = 2

    1/х + 1/ (х-3) = 1/2 

    приводим к общему знаменателю

    x^2 - 3x = 2x -6 + 2x x^2 -7x +6 = 0 D=25 x1=6 и х2 = 1 ( но не удовл., так как х-3=-2, а время не может быть отрицательным)

    то есть время первого 6, а время второго 6-3 = 3 

  • Как решить квадратное уравнение графическим способом если дискриминант меньше нуля?


    Решение: Если дискриминант меньше нуля, то график квадратичной функции не пересекает ось ОХ.
     Строите график квадратичной функции (ищете вершину параболы $$ x_0= \frac{-b}{2a},y_0=y(x_0) $$), если а<0, то ветви направлены вниз, если а>0, то ветви направлены вверх. 
    График будет располагаться либо ниже оси ОХ, либо выше неё.
    Но всё равно, это квадратичное уравнение не будет иметь решения.

  • Докажите, что выражение 9x2+8y-6xy+y2+18-24x принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y.
    Я применил группировку 9x2+8y-6xy+y2+18-24x=9x2-6xy+y2+8y-24x+18=(3x-y)2+8(y-3x)+18 ... Получился квадратный многочлен со смешанной переменной (3x-y).
    Можно было бы заменить (3x-y) на t и решить уравнение через дискриминант или построить параболу, но НУЖНО аналитически показать, что выражение положительно при всех значениях x и y


    Решение: Для начала приравнять к какой-нибудь величине, например А
    Нужно сгруппировать 9х2   -6ху   и   у2

    9х2 - 6ху + у2 = (3х - у) ^2 (скобка в квадрате)

    В результате получится

    (3х - у) ^2 + 8у + 18 - 24х = А

    (3х - у) ^2 = А - 8у - 18 + 24х

    (3х - у) ^2 = А - (8у + 18 - 24х)

    Левая часть уравнения при любых обстоятельствах есть величина положительная, т.к. степень 2 (любая степень с четным значением), следовательно правая часть тоже будет величина положительная

  • Решение неполных и полных (через дискриминант) квадратных уравнений : 1) 9x + 8x² = -1

    2) 3+3x² = 4x 3) 25 - 10x + x² = 0 4) 4x -4x² = 1 5) 3x² - 4 = 0 6) 9x² + 8 =18x 7) 2x = -x² - 1 8) 20x + 25x² = -4 9) -1 -4x² = 0 10) 0,3x - x² = 0 11) 12 - 17x - 5x² = 0


    Решение: 1)8x²+9x+1=0

    a=8 b=9 c= 1

    D = 9²-4 *8*1=81-32=49

    D>0, 2корня

    x1= -1/8

    x2= -1

    2) 3x²-4x+3=0

    a=3 b=-4 c = 3

    D= (-4)²-4*3*3=16-36=-20

    D<0, корней нет

    3) x²-10x +25=0

    a=1 b=-10 c=25

    D= (-10)²-4*1*25=100-100=0

    D=0, 1корень

    x= 5

    4) -4x²+4x-1=0

    D=4²-4*(-4)*(-1)=16-16=0

    D=0 1корень

    x=1/2

    5) не получилось=)

    6) 9x²-18x+8=0

    D=(-18)²-4*9*8=324-288=36

    x1=1целая 3/9

    x2= 6/9

    7)x²+2x+1=0

    D= 2²-4*1*1=4-4=0

    D=0, 1корень

    x=  -1

    8)25x²+20x+4=0

    D=20²-4*25*4=400-400=0

    D=0, 1 корень

    x= - 2/5

    9) -4x²+1 = 0

    -4x²=-1

    x²= 1/4

    х1= 1/2

    х2 = -1/2

    10)  -х²+0,3х=0

    D=(0,3)²-4*(-1)*0=0,09

    x1= 0

    x2=0,6

    11)-5x²-17x+12=0

    D=(-17)²-4 *(-5)*12=289+240=529

    x1= -4

    x2 = 3/5

1 2 3 > >>