решить квадратное уравнение через дискриминант - страница 2
x^4 - 5x^2 - 36 = 0, решить через дискриминант.
Решение: Х^2 обозначаем переменной х^2=t
t^2+5t-36=0
D=5^2-4*(-36)=25+144=169
t1=(-5-13)/2=-9; t2=(-5+13)/2=4
t1=-9 не существует.
t2=4. То есть, х1=2, а х2=-2.
Ответ: х1=2, х2=-2.1)Пусть x^2=y,(y>=0) тогда
y^2-5y-36=0
D=25+144=169=13^2
y1=(5+13)/2=9
y2=(5-13)/2= - 4-не удовлетворяет условию
2) если y=9, то x=3или x=-3
Один экскаватор может выкопать котлован на 3 дня быстрее другого экскаватора, вместе могут выкопать котлован за 2 дня. За какое время каждый сможет выкопать котлован?
Решение: Составим уравнение:1/х и 1/ (х-3) - это производительность
далее так:
Время равно объем работ разделить на общую производительность
1 / ( 1/х + 1/ (х-3) ) = 2
1/х + 1/ (х-3) = 1/2
приводим к общему знаменателю
x^2 - 3x = 2x -6 + 2x x^2 -7x +6 = 0 D=25 x1=6 и х2 = 1 ( но не удовл., так как х-3=-2, а время не может быть отрицательным)
то есть время первого 6, а время второго 6-3 = 3
Как решить квадратное уравнение графическим способом если дискриминант меньше нуля?
Решение: Если дискриминант меньше нуля, то график квадратичной функции не пересекает ось ОХ.
Строите график квадратичной функции (ищете вершину параболы $$ x_0= \frac{-b}{2a},y_0=y(x_0) $$), если а<0, то ветви направлены вниз, если а>0, то ветви направлены вверх.
График будет располагаться либо ниже оси ОХ, либо выше неё.
Но всё равно, это квадратичное уравнение не будет иметь решения.Докажите, что выражение 9x2+8y-6xy+y2+18-24x принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y.
Я применил группировку 9x2+8y-6xy+y2+18-24x=9x2-6xy+y2+8y-24x+18=(3x-y)2+8(y-3x)+18 ... Получился квадратный многочлен со смешанной переменной (3x-y).
Можно было бы заменить (3x-y) на t и решить уравнение через дискриминант или построить параболу, но НУЖНО аналитически показать, что выражение положительно при всех значениях x и y
Решение: Для начала приравнять к какой-нибудь величине, например А
Нужно сгруппировать 9х2 -6ху и у29х2 - 6ху + у2 = (3х - у) ^2 (скобка в квадрате)
В результате получится
(3х - у) ^2 + 8у + 18 - 24х = А
(3х - у) ^2 = А - 8у - 18 + 24х
(3х - у) ^2 = А - (8у + 18 - 24х)
Левая часть уравнения при любых обстоятельствах есть величина положительная, т.к. степень 2 (любая степень с четным значением), следовательно правая часть тоже будет величина положительная
Решение неполных и полных (через дискриминант) квадратных уравнений : 1) 9x + 8x² = -1
2) 3+3x² = 4x 3) 25 - 10x + x² = 0 4) 4x -4x² = 1 5) 3x² - 4 = 0 6) 9x² + 8 =18x 7) 2x = -x² - 1 8) 20x + 25x² = -4 9) -1 -4x² = 0 10) 0,3x - x² = 0 11) 12 - 17x - 5x² = 0
Решение: 1)8x²+9x+1=0a=8 b=9 c= 1
D = 9²-4 *8*1=81-32=49
D>0, 2корня
x1= -1/8
x2= -1
2) 3x²-4x+3=0
a=3 b=-4 c = 3
D= (-4)²-4*3*3=16-36=-20
D<0, корней нет
3) x²-10x +25=0
a=1 b=-10 c=25
D= (-10)²-4*1*25=100-100=0
D=0, 1корень
x= 5
4) -4x²+4x-1=0
D=4²-4*(-4)*(-1)=16-16=0
D=0 1корень
x=1/2
5) не получилось=)
6) 9x²-18x+8=0
D=(-18)²-4*9*8=324-288=36
x1=1целая 3/9
x2= 6/9
7)x²+2x+1=0
D= 2²-4*1*1=4-4=0
D=0, 1корень
x= -1
8)25x²+20x+4=0
D=20²-4*25*4=400-400=0
D=0, 1 корень
x= - 2/5
9) -4x²+1 = 0
-4x²=-1
x²= 1/4
х1= 1/2
х2 = -1/2
10) -х²+0,3х=0
D=(0,3)²-4*(-1)*0=0,09
x1= 0
x2=0,6
11)-5x²-17x+12=0
D=(-17)²-4 *(-5)*12=289+240=529
x1= -4
x2 = 3/5