решение уравнений » найдите все корни уравнения
  • Известно, что сумма кубов действительных корней квадратного уравнения

    x² - px – 9q = 0 равна 2008.
    Найдите все возможные натуральные значения p и q.


    Решение: $$ {x_1}^3+{x_2}^3=2008; $$
    $$ x^2-px-9q=0;{x_1}+{x_2}=p;{x_1}*{x_2}=-9q; $$
    $$ ({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+3{x_1}^2{x_2}+3{x_1}{x_2}^2+{x_2}^3; $$
    $$ ({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+{x_2}^3+3{x_1}{x_2}({x_1}+{x_2}); $$
    $$ p^3=2008+3*(-9q)*p; $$
    $$ p^3=2008-27pq; $$
    $$ q= \frac{2008-p^3}{27p}; $$ Т. к. p и q принимают натуральные значения, то подходит условие  при $$ 0 < p < \sqrt[3]{2008}; q>0 $$ 
    условия: при $$ p<0;q<0 $$ и  при $$ p > \sqrt[3]{2008}; q<0 $$ не подходят 
    подходит одна пара чисел: p=4, q=18.

  • Найдите сумму действительных корней уравнения (x^2+5x+5)*(x^2+x+5)=5x^2


    Решение: Убедимся подстановкой, что х = 0 не является корнем данного уравнения (5*5≠0).
    Делим обе части уравнения на х², получим уравнение:
    $$ \frac{x^2+5x+5}{x} * \frac{x^2+x+5}{x} =5 $$
    $$ (x+5+ \frac{5}{x})(x+1+ \frac{5}{x}) =5 $$
    Замена: $$ x+\frac{5}{x}=t $$
    t² + 6t + 5 = 5
    t² + 6t = 0
    t(t + 6) = 0
    t = 0 или t = -6
    Вернёмся к х:
    1) $$ x+ \frac{5}{x}=0\ => \ x^2+5=0\ => \oslash $$
    2) $$ x+ \frac{5}{x}=-6\ => \ x^2+6x+5=0\ =\ > \ x_1=-1,\ x_2=-5 $$
    Ответ: -1; -5.

  • Найдите сумму действительных корней уравнения: (х^2+23х+23)(х^2+х+23)=23х^2


    Решение: Разделим левую и правую части уравнения на $$ x^2 $$
    $$ ( x+\frac{23}{x} +23)(x+ \frac{23}{x} +1)-23=0 $$
    Пусть $$ x+ \frac{23}{x} =t $$, тогда получим
    $$ (t+23)(t+1)-23=0\\ t^2+24t=0\\ t_1=0\\ t_2=-24 $$

    Возвращаемся к замене
    $$ x+ \frac{23}{x} =-24|\cdot x\\ x^2+24x+23=0 $$
    По т. Виета: $$ x_1=-23; x_2=-1 $$

    $$ x+ \frac{23}{x} =0|\cdot x\\ x^2+23=0 $$
    Уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения имеет положительное значение.

    Сумма действительных корней: $$ x_1+x_2=-23-1=-24 $$

    Ответ: $$ -24 $$

  • 1. Решите уравнение

    $$ 4^{log_4(x-6)}=x^2-12x+36 $$

    4. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения, если их несколько: $$ \sqrt{3x^2+3x+21} -5 = x $$


    Решение: 1. $$ (x-6)^{log_{4}4} = x^{2} -12x+36 $$

      $$ x-6= x^{2} -12x+36 $$

      $$ x^{2} -13x+36=0 $$

      D=49

      $$ x_{1}=10 x_{2}=3 $$

    4. $$ 3x^{2}+3x+21-25=x^{2} $$

    $$ 2x^{2}+3x-4=0 $$

     D=25 

     $$ x_{1}=0.5 x_{2}=-2 $$

     $$ x_{1}*x_{2}=-1 $$

  • 1)Докажите, что уравнение x^2+bx+c=0 имеет 2 различных действительных корня, если 0.25+с<0.5b

    2)Найдите наименьшее значение выражения

    кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13)

    3)Пусть x1 и x2 - корни уравнения x(2x-3)=1. Найдите $$ {x_1^2(1+x_2)}^{-1}+ {x_2^2(1+x_1)}^{-1} $$


    Решение: 1) 0,25 + c <0,5b 4c< 2b-1     (1)

    D = b^2 -4c >0

    b^2 > 4c

    Если мы теперь заменим 4с на выражение заведомо большее, а именно (2b-1), и докажем что неравенство для дискриминанта верно для любого b, то задача будет доказана.

    b^2 > 2b-1

    (b-1)^2 >0     Вообще то (b-1)^2>=0. Но для неравенства b^2 > 4c знак уже будет строго больше для любого b. Значит при соблюдении условия (1) дискриминант положителен. То есть уравнение имеет два различных действительных корня.  Ч.Т.Д

    2)кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13) = кор[(x-2)^2  +  (y+1)^2] +

    + кор[(x+2)^2  +  (y-3)^2].

    Под корнями стоят заведомо неотрицательные числа. И приравняв 0 подкоренные выражения, получим две точки: (2; -1) и (-2; 3). Проверим значение выражения в этих точках и выберем минимальное:

    Z(2; -1) = 4кор2.

    Z(-2; 3) = 4кор2

    Ответ: 4кор2   (если строго, то надо считать частные производные ф-ии Z(x,y), приравнивать их нулю и исследовать критические точки. Данное решение - чисто на интуитивном уровне. Ответ может быть другим.)

    3) 2x^2 - 3x - 1 = 0 x^2 - 3x/2 - 1/2 = 0   x1x2 = -1/2, x1+x2 = 3/2

    Преобразуем искомое выражение:

    (x1^2 + x1^3 + x2^2 + x2^3) / (1+x1+x2+x1x2) = ((x1^3 + x2^3) +((x1+x2)^2-

    - 2x1x2))/(1+x1+x2+x1x2) = ((x1+x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2) + (9/4 + 1))/(1+3/2 -1/2) = ((3/2)((x1+x2)^2 -3x1x2)  + 13/4) /2 = ((3/2)(9/4  +  3/2) + 13/4) /2 = 71/16

    Ответ: 71/16

  • График функции y=f(x) симметричен относительно прямой x=4 и уравнение f(x)=0 имеет 7 различных действительных корней. Найдите сумму этихкорней?


    Решение: Нули функции - это такое значение х, при котором функция y=f(x) равна нулю (то есть график функции пересекается с осью Х) .
    Для того, чтобы найти нули функции, надо функцию приравнять к нулю.
    Например, дана функция f(x) = х2 – 4 (икс в квадрате минус четыре)
    Приравниваем к нулю:
    х2 – 4 = 0
    А теперь решаем как квадратное уравнение, находим х (первое) = - 2, х (второе) = 2
    При этих значениях х функция y=f(x) = 0

    Этоможно сделать и графически. Просто построить функцию по точкам иначертить, точки пересечения графика с осью Х и будут нулями функции.

  • Найдите действительные корни уравнения: 2x^5+4x^4-5x^3-10x^2-7x-14=0 ; 4x^4-3x^3-8x^2+3x+4=0


    Решение: 1)2x^4(x+2)-5x²(x+2)-7(x+2)=0
    (x+2)(2x^4-5x²-7)=0
    x+2=0⇒x=-2
    2x^4-5x^2-7=0
    x²=a
    2a²-5a-7=0
    D=25+56=81
    a1=(5-9)/4=-1⇒x²=-1 нет решения
    a2=(5+9)/4=14/4⇒x²=7/2⇒x1=√14/2 U x=-√14/2
    x={-√14/2;√14/2}
    2)Разделим на х²
    4x²-3x-8+3/x+4/x²=0
    4(x²+1/x²)-3(x-1/x)-8
    4(x-1/x)²+8-3(x-1/x)-8=0
    x-1/x=a
    4a²-3a=0
    a(4a-3)=0
    a=0⇒x-1/x=0⇒(x²-1)/x=0⇒x²-1=0⇒x²=1⇒x=-1 U x=1
    4a-3=0⇒a=3/4⇒x-1/x=3/4⇒(4x²-3x-1)/4x=0
    4x²-3x-4=0
    D=9+64=73
    x1=(3-√73)/8
    x2=(3+√73)/8

    x x - x x - x x x - x - x x - x - x - x a a - a- D a - - x - нет решенияa x x U x - x - 
 Разделим на х x - x- x x x x - x- x - x- x - x- x - x- x a a - a a a- a x- x x - x x...
  • Найдите действительные корни уравнения 2х в кубе +7х в квадрате +4х + 3=0


    Решение: В уравнениях такого сорта корнями являются делители свободного члена. А это +-1 и +-3
    положительные числа не стоит проверять ( 0 не получится) .
    Будем проверять -1 и -3
    а) х = -1
    2·(-1)³ +7·(-1)² +4·(-1) +3 = 0(ложное равенство)
    б) х = -3
    2·(-3)³ + 7·(-3)² +4·(-3) +3=0 (истинное равенство)
    -54 +63 -12 +3
    Ответ: -3

  • Найдите действительные корни уравнения: |х²-х|=2


    Решение: $$ x^2-x=2 $$ или $$ x^2-x=-2 $$

    Первое уравнение:

    $$ x^2-x=2 $$
    $$ x^2-x-2=0 $$

    $$ \left \{ {{x_1+x_2=1} \atop {x_*x_2=-2}} \right. $$

    $$ \left \{ {{x_1=-1} \atop {x_2=2}} \right. $$

    Второе уравнение:

    $$ x^2-x=-2 $$
    $$ x^2-x+2=0 $$
    $$ D=1-4*2=1-8=-7 < 0 $$, значит, уравнение не имеет действительных корней.

    Ответ: $$ x_1=-1; x_2=2 $$

  • №1.Не решая квадратное уравнение х^2-204х+16=0, найдите значение выражения корень из х1, корень из х2, где х1-больший, а х2- меньший корень этого уравнения.
    №2. При каком значении параметра a уравнение 5(а+4)х^2-10х+а=0 имеет действительные корни одного знака.
    №3. Найдите все натуральные m, n, которые являются решениями уравнения 5^n-5^m=600.


    Решение: 1)
    Не решая квадратное уравнение х^2-204х+16=0 ???
    тогда по теореме Виета
    произведение корней уравнения равно 16
    произведение квадратных корней из корней уравнения равно 4 - это ответ
    2)
    №2. При каком значении параметра a уравнение 5(а+4)х^2-10х+а=0 имеет действительные корни одного знака.
    D=100-4*a*5(а+4)=100-20a^2-80a=-20*(a^2+4a-5)>0
    -5 < a < 4
    корни одного знака когда их произведение больше нуля
    воспользуемся теоремой Виета
    значит а/(а+4)>0 значит а>0 или а<-4

    ответ a є (-5;-4) U (0;4)
    3)
    5^n-5^m=600
    5^m*(5^(n-m)-1)=600=1*600=5*120=25*24
    a)
    5^m=1
    ; m=0
    5^(n-m)-1
    =600; - натуральных корней не имеет
    b)
    5^m=5
    ; m=1
    5^(n-m)-1
    =120; - натуральных корней не имеет
    c)
    5^m=25
    ; m=2
    5^(n-m)-1
    =24;
    n-m
    =2
    n=4

    ответ n=4 m=2

1 2 3 > >>