найдите все корни уравнения - страница 2
1.Решить уравнение (если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите меньший из них) |5х+2| = 3 –3х.
2.Сколько корней имеет уравнение |1-2х| + |3х+2| + |х| = 5?
3.Найдите наименьшее натуральное решение неравенства |х²-3х-7| >3.
4.Найдите количество целых решений неравенства |2х-1| + х < 5.
5.Найдите наименьшее целое решение неравенства |х²-5х+6| > |х²-7х+12|.
Решение: 1.
При х≥-2/5 выражение больше 0. Тогда, 5х+2=3-3х; 8х=1; х=1/8.При х<-2/5 выражение меньше 0. Тогда -5х-2=3-3х;2х=-5; х=-2,5.
Ответ: х=-2,5. (-2,5<1/8).
2.
3.
x^2+2*1,5x+2,25-2,25-7=(x+1,5)^2-9,25. Парабола, у которой та часть, которая меньше 0, отражена относительно оси "х".
Решаем два уравнения:
x^2-3x-7-3=0; Решения этого уравнения - х1=5, х2=-2.
-x^2+3x+7-3=0; Решения этого уравнения - х3=4, х4=-1.
Область решения неравенства: х∈(-∞,-2)∨(-1,4)∨(5,+∞).
Наименьшее натуральное число в этих интервалах: 1.
1) √12*√320/√602) Найти все корни уравнения 4x^2-25=0
3) Решите неравенство -(12c+3)<-6(c-1) В ответе укажите наименьшее целое решение
4) Найдите все корни уравнения 2x^2 = 90 - 7x
Решение: 1.
√12*√320 / √60 = √320 / √5 = √64 = 8.
2.
4x²-25 = 0
(2x-5)(2x+5) = 0
↓ ↓
2x-5=0 2x+5=0
2x=5 2x= -5
x = 2,5 x = -2,5
Ответ : -2,5 ; 2,5.
3.
-(12c+3) < -6(c-1)
-12с-3 < -6c+6
-12c+6c < 6+3
-6c < 9
c > 1,5
(наименьшее целое значение = 2)
4.
2x² = 90 - 7x
2х²+7х = 90
x(2x+7) = 90
↓ ↓
x=90 2x+7=90
2x=83
x = 41,5
Ответ : 41,5 ; 90.Уравнение 2x^2-x-1=0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения \( х_1^4х_2^2 + х_1^2х_2^4 \), не решая уравнения.
Решение:2x^2-x-1=0
x1+x2=1/2
x1x2=-1/2
x1^4x2^2+x1^2x2^4=x1^2x2^2(x1^2+x2^2)=x1²x2²(x1²+2x1x2+x2²-2x1x2)=(x1x2)²[(x1+x2)²-2x1x2] = (-1/2)²[(1/2²)-2(-1/2)]=1/4(1/4+1)=5/16Уравнение 2x^2+5x+1=0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения x1*x2^2+x1^2*x2.
Решение: 2x^2+5x+1=0Д=5^2-4*2*1=25-8=17
x1=(-5+√17)/4
x2=(-5-√17)/4
$$ x_1*x_2^2+x_1^2*x_2=\\=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}*(\frac{-5-\sqrt{17}}{4})^2+(\frac{-5+\sqrt{17}}{4})^2*\frac{-5-\sqrt{17}}{4}=\\=-\frac{5-\sqrt{17}}{4}*(-\frac{5+\sqrt{17}}{4})^2+(-\frac{5-\sqrt{17}}{4})^2*(-\frac{5+\sqrt{17}}{4})=\\ =-\frac{5-\sqrt{17}}{4}*(-\frac{5+\sqrt{17}}{4})*((-\frac{5+\sqrt{17}}{4})+(-\frac{5-\sqrt{17}}{4}))=\\ =\frac{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}{16}*(-\frac{5+\sqrt{17}+5-\sqrt{17}}{4})=\\ =\frac{25-(\sqrt{17})^2}{16}*(-\frac{10}{4})=\frac{25-17}{16}*(-\frac{10}{4}) $$
$$ =\frac{8}{16}*(-\frac{10}{4})=\frac{1}{2}*(-\frac{5}{2})=-\frac{5}{4}\ $$
$$ 2x^2+5x+1=0\\ x_1*x_2 = \frac{1}{2}\\ x_1+x_2 = -\frac{5}{2}\\ x_1+x_2 = -\frac{5}{2} | * x_1*x_2\\ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = -\frac{5}{2}*x_1*x_2\\ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = -\frac{5}{2}*\frac{1}{2}\\ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = -\frac{5}{4} $$
Найдите корни уравнения, принадлежащие данному промежутку 2 sin φ =√3, φ ∈ [-2П; 2П]
Решение:$$ 2\sin\phi= \sqrt{3 } \\ \sin\phi= \frac{ \sqrt{3 } }{2} \\ \phi_1= \frac{ \pi }{3} +2\pi \\ \phi_2= \frac{2 \pi }{3} +2\pi n; \\ n\in Z $$
$$ \\ -2 \pi \leq \frac{ \pi }{3} +2\pi n \leq 2 \pi \\ -2 \leq \frac{1}{3} +2 n \leq 2 \\ - \frac{7}{3} \leq2 n \leq \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{6} \leq n \leq \frac{5}{6} \\ n=-1: \phi= \frac{ \pi }{3} -2 \pi = -\frac{5 \pi }{3} \\ n=0: \phi= \frac{ \pi }{3} -0= \frac{ \pi }{3} $$
$$ -2 \pi \leq \frac{2 \pi }{3} +2\pi n \leq 2 \pi \\ -2 \leq \frac{2}{3} +2 n \leq 2 \\ - \frac{8}{3} \leq2 n \leq \frac{4}{3} \\ - \frac{4}{3} \leq n \leq \frac{2}{3} \\ n=-1: \phi= \frac{2 \pi }{3} -2 \pi = -\frac{4 \pi }{3} \\ n=0: \phi= \frac{2 \pi }{3} -0= \frac{ 2\pi }{3} $$
Ответ: -5п/3, -4п/3, п/3, 2п/3
Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку. cosφ=1, φ∈[-π;5π];
Решение: Решение: φ=2πn, n∈Z n=0,φ=2π*0=0 n=1,φ=2π n=2,φ=2π*2=4πНайдите корни уравнения, принадлежащие данному промежутку 2cos φ=√2, φ Є [-4π; 0]
Решение: Cosφ = √2 / 2
φ = ±arccos(√2 / 2) + 2пk, kЄZ
φ = ±п/4 + 2пk, kЄZ
-4п<=φ<=0 (по условию)
-4п<=п/4 + 2пk<=0 или -4п<=(-п/4) + 2пk<=0
-9п/4<= 2пk<=-п/4 -7п/4<=2пk<=п/4
-9/8<=k<=-1/8 -7/8<=k<=1/8
k=1 k=0
Подставляем значения k в наше значение угла, учитывая, что каждое относиться к этому выражению со своим знаком, 1-й k к выражению со знаком "+", 2-й со знаком "-" при п/4
φ = п/4 + 2п*1, kЄZ φ = -п/4 + 2п*0, kЄZ
φ = 9п/4, kЄZ φ = -п/4, kЄZ
Получили 2 значения угла с учетом промежутка, заданного условием.Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку sinx=-1, x принадлежит [0; 4п]
Решение: 3п/2 первый оборот. 7п/2- второй оборот
Период функции равен 2п, поэтому здесь нужно найти корни двух одинаковых графиков у=sinx от о до 4п, на рисунке корни отмечены точкой
Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку: $$ 2sinx= \sqrt{3}, \\ x[-2 \pi;2 \pi ] $$
У меня получились точки: \( \frac{ \pi }{3}; -\frac{5 \pi }{3} ; \frac{2 \pi }{3}; -\frac{4\pi}{3} \)
В первых двух ответах использовал формулу \( arcsina+2 \pi n \)
, во вторых двух - формулу \( \pi -arcsina+2 \pi n \)
Решение: $$ 2\sin x= \sqrt{3} \\ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x=(-1)^k \arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2} + \pi k, \\ k\in Z\\ x=(-1)^k \frac{ \pi }{3} + \pi k, \\ k\in Z $$
Чтобы было удобнее решать неравенство распишем одну серию ответов через две:
$$ \left[\begin{array}$ x=\arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2}+2 \pi m, \\ m\in Z \\ x= \pi -\arcsin\frac{ \sqrt{3} }{2}+2 \pi n, \\ n\in Z \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}$ x=\frac{ \pi }{3}+2 \pi m, \\ m\in Z \\ x=\frac{2 \pi }{3}+2 \pi n, \\ n\in Z \end{array}\right. $$
Рассматриваем первую серию:
$$ -2 \pi \leq \frac{ \pi }{3} +2 \pi m \leq 2 \pi \\ -2 \leq \frac{1 }{3} +2 m \leq 2 \\ -1 \leq \frac{1 }{6} + m \leq 1 \\ -1-\frac{1 }{6} \leq m \leq 1-\frac{1 }{6} \\ -\frac{7 }{6} \leq m \leq \frac{5 }{6} \\ m=-1: \\ x= \frac{ \pi }{3} -2 \pi = \frac{ \pi -6 \pi }{3} =- \frac{5 \pi }{3} \\ m=0: \\ x= \frac{ \pi }{3} +0= \frac{ \pi }{3} $$
Вторая серия:
$$ -2 \pi \leq \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq 2 \pi \\ -2 \leq \frac{2 }{3} +2 n \leq 2 \\ -1 \leq \frac{1 }{3} + n \leq 1 \\ -1-\frac{1 }{3} \leq n \leq 1-\frac{1 }{3} \\ -\frac{4 }{3} \leq n \leq \frac{2 }{3} \\ n=-1: \\ x= \frac{2 \pi }{3} -2 \pi = \frac{ 2\pi -6 \pi }{3} =- \frac{4 \pi }{3} \\ n=0: \\ x= \frac{ 2\pi }{3} +0= \frac{ 2\pi }{3} $$
Ответ: -5π/3; -4π/3; π/3; 2π/3Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку: $$ tgx=1, \\ x(\frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2} ) \\ \ cosx=- \frac{ \sqrt{3} }{2}, \\ x[- \pi ;\pi] $$
Во втором уравнении по формуле косинуса плюс-минус arccosa + 2πn получаю 5π/6, что принадлежит отрезку по условию. Чтобы получить следующее решение надо же прибавить или отнять период косинуса, т.е. 2π?
-5π/6 - если представить график функции, то он входит в отрезок [-π;π]. А как -5π/6 получить вычислением?
Решение: $$ \mathrm{tg}x=1 \\ x= \frac{ \pi }{4} + \pi n, \\ n\in Z \\ \frac{ \pi }{2} < \frac{ \pi }{4} + \pi n < \frac{ 3\pi }{2} \\ \frac{ 1 }{2} < \frac{1 }{4} + n < \frac{ 3 }{2} \\ \frac{ 1 }{2}-\frac{1 }{4} < n < \frac{ 3 }{2}-\frac{1 }{4} \\ \frac{1 }{4} < n < \frac{ 5 }{4} \\ n=1: \\ x=\frac{ \pi }{4} + \pi =\frac{ 5\pi }{4} $$
Ответ: 5π/4
$$ \cos x=- \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\pm \frac{5 \pi }{6}+2\pi n, \\ n \in Z \\ \left[\begin{array}$-\pi \leq \frac{5\pi}{6}+2\pi k\leq\pi \\ -\pi \leq-\frac{5\pi}{6}+2\pi m\leq\pi \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}$-1\leq\frac{5}{6}+2k\leq1 \\ -1\leq-\frac{5}{6}+2m \leq1\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}$-1-\frac{5 }{6}\leq2k\leq1-\frac{5}{6} \\ -1+\frac{5}{6}\leq2m\leq1+\frac{5}{6} \end{array}\right. $$
$$ \left[\begin{array}$-\frac{11}{6}\leq2k\leq\frac{1}{6}\\ -\frac{1}{6}\leq2m\leq\frac{11}{6} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}$-\frac{11}{12}\leq k\leq\frac{1}{12}\\ -\frac{1}{12}\leq m\leq\frac{11}{12} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}$k=0: \\ x_1= \frac{5 \pi }{6}+0= \frac{5 \pi }{6} \\ m=0: \\ x_2= -\frac{5 \pi }{6}+0= -\frac{5 \pi }{6} \end{array}\right. $$
Ответ: -5π/6; 5π/6
