найдите все корни уравнения
Известно, что сумма кубов действительных корней квадратного уравнения
x² - px – 9q = 0 равна 2008.
Найдите все возможные натуральные значения p и q.
Решение: $$ {x_1}^3+{x_2}^3=2008; $$
$$ x^2-px-9q=0;{x_1}+{x_2}=p;{x_1}*{x_2}=-9q; $$
$$ ({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+3{x_1}^2{x_2}+3{x_1}{x_2}^2+{x_2}^3; $$
$$ ({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+{x_2}^3+3{x_1}{x_2}({x_1}+{x_2}); $$
$$ p^3=2008+3*(-9q)*p; $$
$$ p^3=2008-27pq; $$
$$ q= \frac{2008-p^3}{27p}; $$ Т. к. p и q принимают натуральные значения, то подходит условие при $$ 0 < p < \sqrt[3]{2008}; q>0 $$
условия: при $$ p<0;q<0 $$ и при $$ p > \sqrt[3]{2008}; q<0 $$ не подходят
подходит одна пара чисел: p=4, q=18.Найдите сумму действительных корней уравнения (x^2+5x+5)*(x^2+x+5)=5x^2
Решение: Убедимся подстановкой, что х = 0 не является корнем данного уравнения (5*5≠0).
Делим обе части уравнения на х², получим уравнение:
$$ \frac{x^2+5x+5}{x} * \frac{x^2+x+5}{x} =5 $$
$$ (x+5+ \frac{5}{x})(x+1+ \frac{5}{x}) =5 $$
Замена: $$ x+\frac{5}{x}=t $$
t² + 6t + 5 = 5
t² + 6t = 0
t(t + 6) = 0
t = 0 или t = -6
Вернёмся к х:
1) $$ x+ \frac{5}{x}=0\ => \ x^2+5=0\ => \oslash $$
2) $$ x+ \frac{5}{x}=-6\ => \ x^2+6x+5=0\ =\ > \ x_1=-1,\ x_2=-5 $$
Ответ: -1; -5.Найдите сумму действительных корней уравнения: (х^2+23х+23)(х^2+х+23)=23х^2
Решение: Разделим левую и правую части уравнения на $$ x^2 $$
$$ ( x+\frac{23}{x} +23)(x+ \frac{23}{x} +1)-23=0 $$
Пусть $$ x+ \frac{23}{x} =t $$, тогда получим
$$ (t+23)(t+1)-23=0\\ t^2+24t=0\\ t_1=0\\ t_2=-24 $$
Возвращаемся к замене
$$ x+ \frac{23}{x} =-24|\cdot x\\ x^2+24x+23=0 $$
По т. Виета: $$ x_1=-23; x_2=-1 $$
$$ x+ \frac{23}{x} =0|\cdot x\\ x^2+23=0 $$
Уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения имеет положительное значение.
Сумма действительных корней: $$ x_1+x_2=-23-1=-24 $$
Ответ: $$ -24 $$
1. Решите уравнение
$$ 4^{log_4(x-6)}=x^2-12x+36 $$
4. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения, если их несколько: $$ \sqrt{3x^2+3x+21} -5 = x $$
Решение: 1. $$ (x-6)^{log_{4}4} = x^{2} -12x+36 $$$$ x-6= x^{2} -12x+36 $$
$$ x^{2} -13x+36=0 $$
D=49
$$ x_{1}=10 x_{2}=3 $$
4. $$ 3x^{2}+3x+21-25=x^{2} $$
$$ 2x^{2}+3x-4=0 $$
D=25
$$ x_{1}=0.5 x_{2}=-2 $$
$$ x_{1}*x_{2}=-1 $$
1)Докажите, что уравнение x^2+bx+c=0 имеет 2 различных действительных корня, если 0.25+с<0.5b
2)Найдите наименьшее значение выражения
кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13)
3)Пусть x1 и x2 - корни уравнения x(2x-3)=1. Найдите $$ {x_1^2(1+x_2)}^{-1}+ {x_2^2(1+x_1)}^{-1} $$
Решение: 1) 0,25 + c <0,5b 4c< 2b-1 (1)D = b^2 -4c >0
b^2 > 4c
Если мы теперь заменим 4с на выражение заведомо большее, а именно (2b-1), и докажем что неравенство для дискриминанта верно для любого b, то задача будет доказана.
b^2 > 2b-1
(b-1)^2 >0 Вообще то (b-1)^2>=0. Но для неравенства b^2 > 4c знак уже будет строго больше для любого b. Значит при соблюдении условия (1) дискриминант положителен. То есть уравнение имеет два различных действительных корня. Ч.Т.Д
2)кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13) = кор[(x-2)^2 + (y+1)^2] +
+ кор[(x+2)^2 + (y-3)^2].
Под корнями стоят заведомо неотрицательные числа. И приравняв 0 подкоренные выражения, получим две точки: (2; -1) и (-2; 3). Проверим значение выражения в этих точках и выберем минимальное:
Z(2; -1) = 4кор2.
Z(-2; 3) = 4кор2
Ответ: 4кор2 (если строго, то надо считать частные производные ф-ии Z(x,y), приравнивать их нулю и исследовать критические точки. Данное решение - чисто на интуитивном уровне. Ответ может быть другим.)
3) 2x^2 - 3x - 1 = 0 x^2 - 3x/2 - 1/2 = 0 x1x2 = -1/2, x1+x2 = 3/2
Преобразуем искомое выражение:
(x1^2 + x1^3 + x2^2 + x2^3) / (1+x1+x2+x1x2) = ((x1^3 + x2^3) +((x1+x2)^2-
- 2x1x2))/(1+x1+x2+x1x2) = ((x1+x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2) + (9/4 + 1))/(1+3/2 -1/2) = ((3/2)((x1+x2)^2 -3x1x2) + 13/4) /2 = ((3/2)(9/4 + 3/2) + 13/4) /2 = 71/16
Ответ: 71/16
