найти действительные корни уравнения
Выполнить деление многочленов:
(х4+х3+х2-х-2):(х3+х-2)
2. Найти действительные корни уравнения:2х4+3х3-10х2-5х-6=0
3. Решить уравнение:4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х2+х-6)
4. Решить систему уравнений: 2х2-у=2,Х-у=1.
5. Решить задачу:
Площадь прямоугольного треугольника равна 15см2, а сумма его катетов равна 11см. Найти катеты.
Решение: 1. х4+х3+х2-х-2:х3+х-2- Ответ: х+1
х4+х2-2х
-----------------
х3+х-2
-
х3+х-2
----------
0
2. 2х4+3х3-10х2-5х-6=0
х=2 32+24-40-10-6=0
2х4+3х3-10х2-5х-6:х-2
- Ответ: 2х3+7х2+4х+3
2х4-4х3
----------
7х3-10х2-5х-6
-
7х3-14х2
----------------------
4х2-5х-6
-
4х2-8х
--------------
3х-6
-
3х-6
-----------
0
2х3+7х2+4х+3=0
х=-3
2х3+7х2+4х+3:х+3
- Ответ: 2х2+х+1
2х3+6х2
-----------
х2+4х+3
-
х2+3х
----------
х+3
-
х+3
------
0
2х2+х+1
D = 1-8=-7 корень из дискриминанта не извлекается.
Ответ: 2, -3
3. 4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х2+х-6)
решаем квадратное уравнение х2+х-6 и найдя х1=2, х2=-3 раскладываем кв.ур. по формуле, получаем:
4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х-2)(х+3) умножаем все части уравнения на (х-2)(х+3)
4х3+12х2-4х2+8х=9х+2
переносим все из правой части в левую и упрощаем:
4х3+8х2-х-2=0
х=-2 -32+32+2-2=0
4х3+8х2-х-2:х+2
- Ответ:4х2-1
4х3+8х2
-----------
-х-2
-
-х-2
------
0
4х2-1=0 мы можем разложить левую часть уравнения формуле разности квадрата:
(2х-1)(2х+1)=0
По свойству: если произведение 2-х или более множителей равно нулю, то хотя бы одно из этих множителей равно нулю. Используя это свойство, приравниваем каждую из скобок к нулю:
2х-1=0 или 2х+1=0
2х=1 2х=-1
х=0,5 х=-0,5
Ответ: х1=-2, х2=0,5, х3=-0,5
4. 2х2-у=2, 2х2-х-1=0 <----- все это системами
Х-у=1. y=х-1
решаем кв. ур.:
2х2-х-1=0
D=1+8=9 корень из D = 3
х1= (1-3)/4 или х2=(1+3)/4
х1=-0,5 х2=1
y1=-0,5-1=-1,5 y2=1-1=0
Ответ:(-0,5;-1,5);(1;0).
5. (ху)/2=15 ху=30 <------- системами
х+у=11 х+у=11
х1=5 или х2=6
у1=6 х1=5
Ответ:(5;6);(6;5)
Какая вероятность того, что корни квадратного уравнения х^2+2*b*x+c=0, действительные числа?
Решение: Найдем дискриминант
D = 4b^2 - 4c = 4(b^2 - c)
Корни (или один корень) будут действительными, если D >= 0, то есть
b^2 - c >= 0
b^2 >= c
b ∈ (-oo; -√c] U [√c; +oo)
Итак, получаем: корни уравнения действительны, если
b ∈ (-oo; -√c] U [√c; +oo)
И корни комплексные, еслиb ∈ (-√c; √c)
Первые два промежутка - бесконечно большие, а второй - ограниченный.
Поэтому вероятность, что b попадет в один из первых промежутков, равна 1.
Ответ: вероятность равна 1.Число действительных корней уравнения x^3+3x^2-4x=12
A) нет корней
В)2
С)3
D)4
Решение: X^3-3x^2-4x+12=0
(x^3-x^2) -(4x -12)=0
группируем 2 скобки
x^2 (3-x) - 4( x - 3)=0
выносим числа за скобки, так как получаются 2 одинаковые скобки
(x-3) (x^2-4) =0
выносим скобку за скобку
(x-3) (x-2) (x+2) =0
расписываем квадрат скобку , как разность квадратов
x-+=0 или х-2=0 или х+2=0
и получилось решенное уравнение.
х=-3 х=2 х=-2
Ответ: C)3Найти сумму действительных корней уравнения:
$$ x^{4}-2x^{2}-12x-8=0 $$
Решение: Используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что левая часть уравнения разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один из них через $$ x^2+px+q $$, другой - через $$ x^2+rx+s $$.Задача сводится к нахождению p, q, r, s. Тогда
$$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0 $$
$$ \begin{cases} p+r=0\\q+s+pr=-2\\ps+qr=-12\\qs=-8 \end{cases} $$
Можно попробовать взять q=4, s=-2, тогда p=2, r=-2, а уравнение может быть представлено в виде: $$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2+2x+4)(x^2-2x-2)=0 $$
$$ x^2+2x+4=0 $$ не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*4=-12).
$$ x^2-2x-2=0 $$
$$ x_1=(2+\sqrt{12})/2=1+\sqrt{3} $$
$$ x_2=(2-\sqrt{12})/2=1-\sqrt{3} $$
Сумма корней: $$ x_1+x_2=1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=2 $$
если взять q=-4, s=2, тогда p=-2, r=2, а уравнение может быть представлено в виде: $$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2-2x-4)(x^2+2x+2)=0 $$
$$ x^2-2x-4=0 $$
$$ x_1=(2+\sqrt{20})/2=1+\sqrt{5} $$
$$ x_2=(2-\sqrt{20})/2=1-\sqrt{5} $$
$$ x^2+2x+2=0 $$ не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*2=-4).
Сумма корней: $$ x_1+x_2=1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}=2 $$
Ответ: 2.
Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.
Решение: $$ x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0 $$
Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:
$$ (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\= x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\ -3 = a_1 + a_2 + a_3\\ -6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\-a = a_1*a_2*a_3 $$
Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:
$$ a_1, \ a_2 = a_1*q, \ a_3 = a_2*q = a_1*q^2 $$
Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:
$$ -3 = a_1(1 + q + q^2)\\ -6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\ \frac{-6}{-3} = \frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\ 2 = a_1q = a_2\\ a_1 = \frac{2}{q}, \ \frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\ 2 + 2q + 2q^2 = -3q\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0\\ D = 25 - 16 = 9\\ q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\\ q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{8}{4} = -2 $$
Проверим для $$ q = -0.5 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\ a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\ = -8 + 4 - 2 = -6 $$
Проверим для $$ q = -2 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\ a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\ = -2 + 4 - 8 = -6 $$
$$ \mathbb{OTBET:} \ a_1 = -1, \ a_2 = 2, \ a_3 = -4, \ a = -8. $$
Само уравнение принимает вид $$ x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0 $$Уравнение х-2= с/х имеет два различных действительных корня, если С принадлежит множеству действительных чисел и выполняется условие C<1
Решение: x-2=C/x, умножим левую и правую часть на x, получаем x^2-2*x=C, перенес С в левую часть x^2-2*x-C=0. Получаем квадратное уравнение, оно имеет два различных действительных корня если дискриминант больше 0.D=b^2-4*a*c, т.е D=4-4*1*C=4-4*C,
Решаем неравенство 4-4*С>0, получаем -4*С>-4, или 4*С<4, таким образом получаем что С<1.
Ответ: Уравнение х-2=С/х имеет два действительных различных корня, если С принадлежит множеству действительных чисел и выполняется условие C<1
Найти все а, при которых уравнение x^5-5x+a=0 имеет два различных действительных корня
Решение: 1)Для решения используем графическую интерпретацию. Количество решений уравнения f(x)=g(x) - это количество точек пересечения графиков y=f(x) и y=g(x).Запишем уравнение в виде ч$$ x^5=5x-a $$.
2) При а=0 уравнение примет вид х⁵=5х, которое имеет три решения. (см рисунок).
Если смещать прямую y=5x вдоль оси 0y можем получить две точки пересечения с графиком функции у=х⁵, если прямая y=5x-а будет касаться графика у=х⁵ (см рисунок). В этом случае и будет два решения. ( в остальных случаях либо 3 либо одна точка пересечения).
3) По геометрическому смыслу производной в точке касания производная функции у=х⁵ должна быть равна 5. $$ y’(x)=5x^4 $$ тогда $$ 5x^4=5 $$, тогда х=1 или х=-1.
4) Уравнение касательной $$ y=y(x_{0})+y’(x_{0})(x-x_0) $$
при х=1 у(1)=1; y’(1)=5 и уравнение касательной у=1+5(х-1), у=5х-4, тогда а=4.
при х=-1 у(1)=-1; y’(1)=5 и уравнение касательной у=-1+5(х+1), у=5х+4, тогда а=-4.
Ответ а=4 или а =-4
Найти действительные корни уравнения:
2х4+3х3-10х2-5х-6=0
Решение: Данное уравнение раскладывается на множители :
(x-2)(x+3)(2x^2+x+1)=0
т.е.
x-2=0 or x+3=0 or 2x^2+x+1=0
x=2 x=-3 не существует в множестве вещественных чисел
Ответ -3;2Найти действительные корни уравнения (2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6
Решение: $$ (2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6 $$
Перенесем в левую часть и раскрываем скобки
$$ x(2x-1)^2+(-(x+1)^2-16x^2+6+(2x^2-1)^2)=0 $$
$$ x(2x-1)^2+(-x^2-2x-1-16x^2+6+4x^4-4x^2+1)=0 \\ x(2x-1)^2+(-21x^2-2x+6+4x^4)=0 \\ x(2x-1)^2+(2x-1)(2x^3+x^2-10x-6)=0 \\ (2x-1)(2x^3+3x^2-11x-6)=0 $$
Произведение равно нулю
$$ 2x-1=0 \\ 2x=1 \\ x=1:2 \\ x_1=0.5 $$
$$ 2x^3+3x^2-11x-6=0 $$
Решаем методом разложение на множители
$$ 2x^3-4x^2+7x^2-14x+3x-6=0 \\ 2x^2(x-2)+7x(x-2)+3(x-2)=0 \\ (x-2)(2x^2+7x+3)=0 $$
Каждое произведение равно нулю
$$ x-2=0 \\ x_2=2 $$
$$ 2x^2+7x+3=0 $$
Находим дискриминант
$$ D=b^2-4ac=7^2-4\cdot2\cdot3=25 $$
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения
$$x_3,_4= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$ x_3=-3 \\ x_4=-0.5 $$
Ответ: $$ -3;\,\,-0.5;\,\,0.5;\,\,2 $$найти действительные корни уравнения:
x^2(x-2)(6x+1)+x(5x+3)=1
Решение: действиетльные это объединение рациональных и иррациональных чисел
расскрываем скобкиx^2(6x^2-12x+x-2)+5x^2+3x-1=0
6x^4-11x^3-2x^2+5X^2+3x-1=0
6x^4-11x^3+3x^2+3x-1=0
дальше делим уголком
ответ 6х^3-5x^2-2x+1 еще раз делим
получаем 6х^2+x-1 ну а дальше решаем как обычное квадратное уравнение, уголком делить надо на х-1
