найти действительные корни уравнения
Выполнить деление многочленов:
(х4+х3+х2-х-2):(х3+х-2)
2. Найти действительные корни уравнения:2х4+3х3-10х2-5х-6=0
3. Решить уравнение:4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х2+х-6)
4. Решить систему уравнений: 2х2-у=2,Х-у=1.
5. Решить задачу:
Площадь прямоугольного треугольника равна 15см2, а сумма его катетов равна 11см. Найти катеты.
Решение: 1. х4+х3+х2-х-2:х3+х-2- Ответ: х+1
х4+х2-2х
-----------------
х3+х-2
-
х3+х-2
----------
0
2. 2х4+3х3-10х2-5х-6=0
х=2 32+24-40-10-6=0
2х4+3х3-10х2-5х-6:х-2
- Ответ: 2х3+7х2+4х+3
2х4-4х3
----------
7х3-10х2-5х-6
-
7х3-14х2
----------------------
4х2-5х-6
-
4х2-8х
--------------
3х-6
-
3х-6
-----------
0
2х3+7х2+4х+3=0
х=-3
2х3+7х2+4х+3:х+3
- Ответ: 2х2+х+1
2х3+6х2
-----------
х2+4х+3
-
х2+3х
----------
х+3
-
х+3
------
0
2х2+х+1
D = 1-8=-7 корень из дискриминанта не извлекается.
Ответ: 2, -3
3. 4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х2+х-6)
решаем квадратное уравнение х2+х-6 и найдя х1=2, х2=-3 раскладываем кв.ур. по формуле, получаем:
4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х-2)(х+3) умножаем все части уравнения на (х-2)(х+3)
4х3+12х2-4х2+8х=9х+2
переносим все из правой части в левую и упрощаем:
4х3+8х2-х-2=0
х=-2 -32+32+2-2=0
4х3+8х2-х-2:х+2
- Ответ:4х2-1
4х3+8х2
-----------
-х-2
-
-х-2
------
0
4х2-1=0 мы можем разложить левую часть уравнения формуле разности квадрата:
(2х-1)(2х+1)=0
По свойству: если произведение 2-х или более множителей равно нулю, то хотя бы одно из этих множителей равно нулю. Используя это свойство, приравниваем каждую из скобок к нулю:
2х-1=0 или 2х+1=0
2х=1 2х=-1
х=0,5 х=-0,5
Ответ: х1=-2, х2=0,5, х3=-0,5
4. 2х2-у=2, 2х2-х-1=0 <----- все это системами
Х-у=1. y=х-1
решаем кв. ур.:
2х2-х-1=0
D=1+8=9 корень из D = 3
х1= (1-3)/4 или х2=(1+3)/4
х1=-0,5 х2=1
y1=-0,5-1=-1,5 y2=1-1=0
Ответ:(-0,5;-1,5);(1;0).
5. (ху)/2=15 ху=30 <------- системами
х+у=11 х+у=11
х1=5 или х2=6
у1=6 х1=5
Ответ:(5;6);(6;5)
Какая вероятность того, что корни квадратного уравнения х^2+2*b*x+c=0, действительные числа?
Решение: Найдем дискриминант
D = 4b^2 - 4c = 4(b^2 - c)
Корни (или один корень) будут действительными, если D >= 0, то есть
b^2 - c >= 0
b^2 >= c
b ∈ (-oo; -√c] U [√c; +oo)
Итак, получаем: корни уравнения действительны, если
b ∈ (-oo; -√c] U [√c; +oo)
И корни комплексные, еслиb ∈ (-√c; √c)
Первые два промежутка - бесконечно большие, а второй - ограниченный.
Поэтому вероятность, что b попадет в один из первых промежутков, равна 1.
Ответ: вероятность равна 1.Число действительных корней уравнения x^3+3x^2-4x=12
A) нет корней
В)2
С)3
D)4
Решение: X^3-3x^2-4x+12=0
(x^3-x^2) -(4x -12)=0
группируем 2 скобки
x^2 (3-x) - 4( x - 3)=0
выносим числа за скобки, так как получаются 2 одинаковые скобки
(x-3) (x^2-4) =0
выносим скобку за скобку
(x-3) (x-2) (x+2) =0
расписываем квадрат скобку , как разность квадратов
x-+=0 или х-2=0 или х+2=0
и получилось решенное уравнение.
х=-3 х=2 х=-2
Ответ: C)3Найти сумму действительных корней уравнения:
$$ x^{4}-2x^{2}-12x-8=0 $$
Решение: Используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что левая часть уравнения разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один из них через $$ x^2+px+q $$, другой - через $$ x^2+rx+s $$.Задача сводится к нахождению p, q, r, s. Тогда
$$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0 $$
$$ \begin{cases} p+r=0\\q+s+pr=-2\\ps+qr=-12\\qs=-8 \end{cases} $$
Можно попробовать взять q=4, s=-2, тогда p=2, r=-2, а уравнение может быть представлено в виде: $$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2+2x+4)(x^2-2x-2)=0 $$
$$ x^2+2x+4=0 $$ не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*4=-12).
$$ x^2-2x-2=0 $$
$$ x_1=(2+\sqrt{12})/2=1+\sqrt{3} $$
$$ x_2=(2-\sqrt{12})/2=1-\sqrt{3} $$
Сумма корней: $$ x_1+x_2=1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=2 $$
если взять q=-4, s=2, тогда p=-2, r=2, а уравнение может быть представлено в виде: $$ x^4-2x^2-12x-8=(x^2-2x-4)(x^2+2x+2)=0 $$
$$ x^2-2x-4=0 $$
$$ x_1=(2+\sqrt{20})/2=1+\sqrt{5} $$
$$ x_2=(2-\sqrt{20})/2=1-\sqrt{5} $$
$$ x^2+2x+2=0 $$ не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*2=-4).
Сумма корней: $$ x_1+x_2=1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}=2 $$
Ответ: 2.
Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.
Решение: $$ x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0 $$
Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:
$$ (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\= x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\ -3 = a_1 + a_2 + a_3\\ -6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\-a = a_1*a_2*a_3 $$
Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:
$$ a_1, \ a_2 = a_1*q, \ a_3 = a_2*q = a_1*q^2 $$
Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:
$$ -3 = a_1(1 + q + q^2)\\ -6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\ \frac{-6}{-3} = \frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\ 2 = a_1q = a_2\\ a_1 = \frac{2}{q}, \ \frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\ 2 + 2q + 2q^2 = -3q\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0\\ D = 25 - 16 = 9\\ q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\\ q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{8}{4} = -2 $$
Проверим для $$ q = -0.5 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\ a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\ = -8 + 4 - 2 = -6 $$
Проверим для $$ q = -2 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\ a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\ = -2 + 4 - 8 = -6 $$
$$ \mathbb{OTBET:} \ a_1 = -1, \ a_2 = 2, \ a_3 = -4, \ a = -8. $$
Само уравнение принимает вид $$ x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0 $$
