найти действительные корни уравнения - страница 2
Найти действительные корни уравнения: $$ ( 2x^{2} - 1)^{2} +x(2x- 1)^{2} =(x+ 1)^{2} + 16x^{2} -6 $$
Решение: Откроем скобки и перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения.
$$ 4 x^{4} -4 x^{2} +1+4 x^{3} -4 x^{2} +x- x^{2} -2x-1-16 x^{2} +6=0 $$
$$ 4 x^{4} +4 x^{3} -25 x^{2} -x+6=0 $$
Разложим на множители по теореме Виета, методом подбора корней:
$$ (x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1)=0 $$
$$ x_{1} =2 $$
$$ x_{2}=-3 $$
$$ x_{3} = \frac{1}{2} $$
$$ x_{4}= -\frac{1}{2} $$
Найти действительные корни уравнения :9x^3+12x^2-10x+4=0
2x^4-2x^3-11x^2-x-6=0
Решение: 9x³ +12x² -10x +4 = 0;
9x³ +18x² -6x² -12x +2x +4 =0 ;
9x²(x+2) -6x(x+2) +2(x+2) = 0 ;
(x+2)(9x² -6x +2) =0 ;
x= -2.
9x² -6x +2 =0 ;
D/4 =3² -9*2 = -9 <0 ⇒не имеет действительных корней.
----------------------------
2x⁴ -2x³ -11x² -x -6 =0 ;
2x⁴ -2x³ -12x² +x² -x -6 =0 ;
2x²(x² -x -6) +(x² -x -6) =0 ;
(2x² +1)(x² -x -6) = 0 ;* * * 2x² +1 не имеет действительных корней.* * *
x² -x -6 = 0 ;
(x +2)(x-3) = 0 ;
x₁ =-2 ;
x₂ = 3 .Найти действительные корни уравнения : \(2х^4 + 3х^3 - 10х^2 - 5х - 6 = 0\)
Решение:2x^4+3x^3-10x^2-5x-6=0
(2x^4-4x^3)+(7x^3-14x^2)+(4x^2-8x)+(3x-6)=0
2x^3*(x-2)+7x^2*(x-2)+4x*(x-2)+3*(x-2)=0
(x-2)*(2x^3+7x^2+4x+3)=0
a) x-2-0 => x=2
б) 2x^3+7x^2+4x+3=0
(2x^3+6x^2)+(x^2+3x)+(x+3)=0
2x^2*(x+3)+x*(x+3)+(x+3)=0
(x+3)*(2x^2+x+1)=0
б1) x+3=0 => x=-3
б2) 2x^2+x+1=0
D=b^2-4ac=1-8=-1 <0 - нет решений
Ответ: x=2 и x=-3
Уравнение ах²+вх+с=0 не имеет действительных корней, и а+в+с< 0, какой знак (+ или -) имеет число с?Почему?
Решение: Раз действительных корней нет, то дискриминант отрицательный:
b²-4ac<0
b²<4ac (1)
Квадрат любого числа есть неотрицательное число, поэтому 4ac>0
Значит, а и с одинакового знака (оба или +, или оба -)
1) Рассмотрим первый случай:
a>0: c>0
По условию a+b+c<0. Сумма трех положительных чисел всегда положительна. Значит b<0. Причем |b|>a+c.
Возводим в квадрат:
b²>(-a-c)²
b²>a²+2ac+c². С учетом выражения (1), получаем
a²+2ac+c²
a²+2ac+c²-4ac<0
a²-2ac+c²<0
(a-b)²<0 Противоречие! Квадрат не может быть отрицательным, значит, рассматриваемый нами случай (a>0: c>0) невозможен. И остается только второй случай.
2) а и с оба отрицательны.
Ответ: число с имеет знак минус.(10х-4)(3х+2)=0
$$ \sqrt{8} * \sqrt{5} * \sqrt{10} $$
$$ x^3=81 $$ указать число действительных коней
Решение: 1)(10x-4)(3x+2)=010x-4=0
x=2/5
3x+2=0
x=-2/3
2)
√8*√5*√10=√40*10=20
3)
x^3=81
x=log(3)81 один
1)10х-4=0 3х+2=0
х=0,4 х=-2/3
2)корень8* корень5*корень10=корень 400=20.
3)
х"3=81
один действительный корень.
Найти значения а, при которых уравнение имеет действительный решение и указать знаки корней: $$ x^{2} -2(a-1)x+2a+1=0 $$
Решение: Вариант решения 1:X^2-2(a-1)x+2a+1=0 чтобы уравнение имело 1 действительное решение дискриминант должен быть равен 0,
D=0
D(половинный)=(a-1)^2-2a-1=a^2-2a+1-2a-1=a^2-4a
a^2-4a=0
a(a-4)=0
a=0 a=4
x^2+2x+1=0 x^2-6x+9=0
(x+1)^2=0 x=-1 отрицателен (x-3)^2=0 x=2 положителен
Вариант решения 2: X^2 - 2(a-1)x + (2a+1) = 0
1) Если оно имеет действительные корни, то D >= 0
D/4 = (b/2)^2 - ac = (a-1)^2 - 1(2a+1) = a^2 - 2a + 1 - 2a - 1 = a^2 - 4a >= 0
a(a - 4) >= 0
a <= 0 U a >= 4
Знаки корней.
2) Если a <= 0, то a - 1 < 0
x1 = (-b/2 - √(D/4)) / a = (a - 1 - √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √(a^2 - 4a) < 0
x2 = (-b/2 + √(D/4)) / a = (a - 1 + √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √(a^2 - 4a)
x2 может быть и больше и меньше 0.
a) a - 1 + √(a^2 - 4a) < 0
√(a^2 - 4a) < 1 - a
a^2 - 4a < a^2 - 2a + 1
2a > -1;
-1/2 < a <= 0
b) a - 1 + √(a^2 - 4a) > 0
Аналогично получаем
a < -1/2
3) Если a = -1/2, то c = 2a + 1 = 0, тогда
x^2 - 2(-1/2 + 1)x + 0 = 0
x^2 - 2(1/2)x = 0
x^2 - x = 0
x1 = 0, x2 = 1 > 0
4) Если a >= 4, то a - 1 > 0
x1 = (-b/2 - √(D/4)) / a = (a - 1 - √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √(a^2 - 4a)
x1 может быть и больше и меньше 0.
x2 = (-b/2 + √(D/4)) / a = (a - 1 + √(a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √(a^2 - 4a) > 0
a) a - 1 - √(a^2 - 4a) < 0
√(a^2 - 4a) > a - 1
a^2 - 4a > a^2 - 2a + 1
2a < -1
a < -1/2 - не подходит, потому что a >= 4
b) a - 1 - √(a^2 - 4a) >= 0
√(a^2 - 4a) <= a - 1
a^2 - 4a <= a^2 - 2a + 1
2a >= -1
a >= -1/2 - подходит для любых a >= 4
Значит, при любом a >= 4 оба корня положительны.
Ответ: При -1/2 < a <= 0 будет x1 < 0, x2 < 0
При a = -1/2 будет x1 = 0, x2 > 0
При a < -1/2 будет x1 < 0, x2 > 0
При a >= 4 будет x1 > 0, x2 > 0
При 0 < a < 4 действительных корней нет.
a) √5x+8=6,где под знаком корня все выражения( 5x+8)
б) √X²-4x+13=5, где под знаком корня выражение (x в квадрате-4x+13)
в) (√x²-4) - √8x+5=0, где под первым знаком корня выражение( x в квадрате -4), а под вторым знаком корня (8x+5)
г) √2x²-5x+1=x-1, где под знаком корня выражение( 2x в квадрате-5x+1).
Решение: ОДЗ 2x+8≥0 2x≥-8 x≥-4
$$ \sqrt{2x+8}=6 \\ (\sqrt{2x+8})^2=6^2 \\ 2x+8=36 \\ 2x=28 \\ x=14 $$
ОДЗ x²-4x+13≥0 при любых значениях х
$$ \sqrt{x^2-4x+13}=5 \\ (\sqrt{x^2-4x+13})^2=5^2 \\ x^2-4x+13=25 \\ x^2-4x-12=0 \\ D=16+48=64 \\ x_1=\frac{4-8}{2}=-2 \\ x_2=\frac{4+8}{2}=6 $$
ОДЗ $$ \left\{{x^2-4 \geq 0} \atop {8x+5 \geq 0}\right. \left\{{(x-2)(x+2) \geq 0} \atop {x \geq -0,625} \right. $$
$$ x∈[2; +\infty) $$
$$ \sqrt{x^2-4}-\sqrt{8x+5}=0 \\ \sqrt{x^2-4}=\sqrt{8x+5} \\ (\sqrt{x^2-4})^2=(\sqrt{8x+5})^2 \\ x^2-4=8x+5 \\ x^2-8x-9=0 \\ D=64+36=100 \\ x_1=\frac{8-10}{2}=-1 \\ x_2=\frac{8+10}{2}=9 $$
x₁=-1 не удовлетворяет ОДЗ
Можно решать способом проверки корней
$$ \sqrt{2x^2-5x+1}=x-1 \\ (\sqrt{2x^2-5x+1})^2=(x-1 )^2 \\ 2x^2-5x+1= x^{2} -2x+1 \\ x^2-3x=0 \\ x(x-3)=0 \\ x=0 \\ x-3=0 \\ . \\ x=3 $$
проверим корни уравнения
х=0
$$ \sqrt{2*0^2-5*0+1}=0-1 \\ 1=-1 $$ значит х=0 посторонний корень
х=3
$$ \sqrt{2*3^2-5*3+1}=3-1 \\ 2=2 $$
ответ 2
Пусть уравнение x² + px + q = 0 имеет два действительных корня x₁ и x₂. Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни -x₁ и - x₂.
Решение: По теореме Виета:$$ x_1+x_2=-p; $$
$$ x_1*x_2=q. $$
Если корни те же по модулю но противоположного знака, то соотношения для новых p и q будут следующие:
$$ -x_1-x_2=-p_1; $$
$$ (-x_1)*(-x_2)=q_2. $$
Отсюда видим, что:
$$ p_1=-p;\ \ \ \ q_1=q. $$
Тогда приведенное квадр. ур-ие будет выглядеть так:
$$ x^2-px+q=0. $$
2cos^2х+7sinx-5=0 и укажите корни,удовлетворяющие условию cosх ≤0
Решение: 2cos^2х+7sinx-5=02(1-sin²x)+7sinx-5=0
2-2sin²x+7sinx-5=0
2sin²x-7sinx+3=0
замена sinx=t
2t²-7t+3=0
D=49-24=25
t₁=3 sinx≠3 - решений нет
t₂=1/2 sinx=1/2
x=(-1)^n · π/6 + πn, n∈Z
+ отбор на рис.
корни, удовлетворяющие условию cosх ≤0
$$ 2cos^{2}x+7sinx-5=0\\2(1-sin^{2}x)+7sinx-5=0\\-2sin^{2}x+7sinx-3=0\\sinx=t\\-2t^{2}+7t-3=0\\ D=49-4\cdot(-2)\cdot (-3)=25; \\x_{1,2}=\frac{-7\pm \sqrt{25}}{2\cdot (-2)}\\x_{1}=\frac{-7+ 5}{-4}=\frac{1}{2},\\x_{2}=\frac{-7-5}{-4}=3;\\sinx=\frac{1}{2}\\x=(-1)^{n}arcsin \frac{1}{2}+\pi n, n\in Z,\\ x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z, \\cosx\leq 0,\\ x=\pi -\frac{\pi}{6}+2 \pi n=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\\sinx=3 \varnothing $$
Ответ: $$ x= \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z $$
Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0, если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.
Решение: $$ x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0 $$
Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:
$$ (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\\\ = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\\\ -3 = a_1 + a_2 + a_3\\\\ -6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\\\ -a = a_1*a_2*a_3 $$
Т. к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:
$$ a_1, \ a_2 = a_1*q, \ a_3 = a_2*q = a_1*q^2 $$
Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:
$$ -3 = a_1(1 + q + q^2)\\\\ -6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\\\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\\\ \frac{-6}{-3} = \frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\\\ 2 = a_1q = a_2\\\\ a_1 = \frac{2}{q}, \ \frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\\\ 2 + 2q + 2q^2 = -3q\\\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0\\\\ D = 25 - 16 = 9\\\\ q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\\\\ q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{8}{4} = -2 $$
Проверим для $$ q = -0.5 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4, a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\\\ a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\\\= -8 + 4 - 2 = -6 $$
Проверим для $$ q = -2 $$:
$$ a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1, a_3 = a_2*(-2) = -4\\\\ a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\\\ = -2 + 4 - 8 = -6 $$
$$ \mathbb{OTBET:} \ a_1 = -1, \ a_2 = 2, \ a_3 = -4, \ a = -8. $$
Само уравнение принимает вид $$ x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0 $$.
