дробное рациональное уравнение - страница 2
Дробные рациональные уравнения. Из города в село расстояние до которого равно 120 км выехал велосипедист. через 6 часов вслед за ним выехал мотоциклист скорость которого на 10 км/ч больше скорость велосипедиста. определить скорость велосипедиста и мотоциклиста если в село они прибыли одновременно. с решением
Решение: значит растояние одинаковоеотметим скорость велосепедиста через x, а время через y тогда x= растояние/время=120/y
это для велосепедиста
значит для мотоцикла
скорость на 10 больше = х+10
и время на 6 часов меньше = y-6
составляем уравнение и потом составляем систему
x+10=120/ (y-6) (y-6)*(x+10)=120 (y-6)*(120/y + 10)=120 120+10y-720/y-60=120
x=120/y x=120/y x=120/y x=120/y
10y-720/y=60 (домножаем все выражение на y 10*y^2 - 60y -720=0 (поделим все на 10
y^2 - 6y - 72 =0
d= 36+288=324=18^2
y1=6-18 / 2= -6 (время не может быть отрицательным)
y2=6+18 / 2 =12 часов
x=120/y=120/12=10
скорость велосепедиста = 10км/ч
скорость мотоцикла = 10+10=20 км/ч
Решите дробно рациональные уравнения \(\frac{5x-7}{x-3}= \frac{4x-3}{x}\)
\(\frac{1}{x} - \frac{2x}{x+1}=0\)
\(\frac{3x-2}{x-1}+ \frac{x-4}{x+3}= \frac{3x^2+1}{(x-1)*(x+3)}\)
\(\frac{2-3x}{x+1}- \frac{4x+4}{6-9x}= \frac{4}{3}\)
Решение: $$ 1) ОДЗ:x≠0;x≠3 \frac{5x-7}{x-3}= \frac{4x-3}{x}|x*(x-3) \\ \\ $$
x*(5x-7)=(4x-3)*(x-3)
5x²-7x=4x²-15x+9
x²+8x-9=0
D=64+36=100
√D=10
$$ x_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-8-10}{2}=-9 \\ x_{2}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-8+10}{2}=1 $$
Или можно было бы сразу найти корни, по теореме Виета.
Ответ:-9;1
2) ОДЗ:x≠0;x≠-1
$$ \frac{1}{x} - \frac{2x}{x+1}=0|*x*(x+1) \\ \\ $$
x+1-2x²=0|*(-1)
2x²-x-1=0
D=1+8=9
√D=3
$$ x_{1}= \frac{1-3}{4}=-0,5 \\ x_{2}= \frac{1+3}{4}=1 $$
Ответ:-0,5;1
3) ОДЗ:x≠1;x≠-3
$$ \frac{3x-2}{x-1}+ \frac{x-4}{x+3}= \frac{3x^2+1}{(x-1)*(x+3)}|*(x-1)*(x+3) $$
(3x-2)*(x+3)+(x-4)*(x-1)=3x²+1
3x²+7x-6+x²-5x+4=3x²+1
x²+2x-3=0
D=4+12=16
√D=4
$$ x_{1}= \frac{-2-4}{2}=-3 $$(не подходит)
$$ x_{2}= \frac{-2+4}{2}=1 $$(не подходит)
4) ОДЗ:x≠-1;x≠2/3
$$ \frac{2-3x}{x+1}- \frac{4x+4}{6-9x}= \frac{4}{3}|*3*(x+1)(6-9x) $$
(6-9x)*(6-9x)-3*(4x+4)*(x+1)=(4x+4)*(6-9x)
36-108x+81x²-3*(4x²+8x+4)=-36x²+24-12x
36-108x+81x²-12x²-24x-12=-36x²+24-12x
105x²-120x=0
15x*(7x-8)=0
$$ x_{1}=0 $$ или $$ x_{2}= 1\frac{1}{7} $$
Решите дробные рациональные уравнения: 1) 2x-1/x+7 = 3x+4/x-1; 2)2x+3/2x-1 = x-5/x+3
Решение: 1) (x + 7)(3x + 4) = (2x - 1)( x - 1)
3x² + 4x + 21x + 28 = 2x² - 2x - x + 1
3x² - 2x² + 25x + 3x + 28 - 1 =0
x² + 28x + 27 = 0
D = b² - 4ac = 784 - 4 × 27 = 784 - 108 = 676 = 26²
x1 = ( - 28 + 26) / 2 = - 1
x2 = ( - 28 - 26) / 2 = - 27
Ответ: x1 = - 1, x2 = - 27.
2) ( 2x + 3)( x + 3) = (2x - 1)( x - 5)
2x² + 6x + 3x + 9 = 2x² - 10x - x + 5
2x² - 2x² + 9x + 11x + 9 - 5 = 0
20x + 4 = 0
20x = - 4
x = - 4/20
x = - 0,2
Ответ: x = - 0,2.
Решить уравнение (дробно-рациональное) \(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+x+1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1\)
Решение: $$ \dfrac{x^2+2x+1}{x^2+x+1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1 \\ \dfrac{(x^2+x+1)+x}{x^2+x+1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1 \\ 1+\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1 \\ \dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=0 \\ x\left(\dfrac{1}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{x^2+2x+1}\right)=0 \\ x=0 $$ или $$ \dfrac{1}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{x^2+2x+1}=0 \\ x^2+2x+1=3x^2+3x+3,\,xe-1 \\ 2x^2+x+2=0,\,xe-1 $$ - решений нет.Ответ:0.
Дробные рациональные уравнения.
1) Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
2) Из города в село, расстояние до которого равно 120 км, выехал велосипедист. Через 6 часов вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 10 км/ч
больше скорости велосипедиста. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если в село они прибыли одновременно.
Решение: 1
х км/ч-собственная скорость 80/(х-2)+80/(х+2)=9
9(х²-4)-80(х+2+х-2)=0
9х²-36-160х=0
D=25600+1296=26896
√D=164
x1=(160-164)/18=-2/9 не удов усл
х2=(160+164)/18=324/18=18км/ч-собственная скорость
2
х км/ч-скорость велосипедиста, х+10км/ч-скорость мотоциклиста
120/х-120/(х+10)=6
6х(х+10)-120(х+10-х)=0
6х²+60х-1200=0
х²+10х-200=0
х1+х2=-10 и х1*х2=-200
х1=-20 не удов усл
х2=10км/ч-скорость велосипедиста
10+10=20км/ч-скорость мотоциклиста
Решить дробные рациональные уравнения, \(\frac{x^2+2x}{x+4}=\frac{8}{x+4}\)
Решение: Переносим левую дробь в право - $$ \frac{x^{2}+2*x-8}{x+4} $$=0. Затем, приравниваем числитель к нулю и при этом знаменатель не должен равняться нулю, т. е.:
$$ x^{2}+2*x-8=0 $$ и x+4=0. x=-4.
Решаем квадратное уравнение:
$$ x^{2}+2*x-8=0; $$D=2^{2}-4*(-8);
D=4+32;
D=36;
$$ \sqrt{D}=6; \\ x_{1}=\frac{-2+6}{2}=2; \\ x_{2}=\frac{-2-6}{2}=-4; $$
Так как х=-4, то x=2.
Нужно решить дробные рациональные уравнения:
1) 3 + 10/x = x
2) x-60/x=4
3)4+21/x=x
4)x+48/x=14
Решение: 3+10/х=х
3х-10=х в квадрате
х в квадрате -3х -10=0
D=7
х1=(3+7)/2=5
х2=(3-7)/2=-2
х-60/х=4
х в квадрате -60=4х
х в квадрате -4х - 60=0
Д=16
х1=(4+16)/2=10
х2=(4-16)/2=-6
4+21/х=х
4х+21=х в квадрате
х в квадрате-4х-21=0
Д=10
х1=(4+10)/2=7
х2= (4-10)/2=-3
х+48/х=14
х в квадрате +48=14х
х в квадрате -14х+48=0
Д=2
х1=(14-2)/2=6
х2=(14+2)/2=8
Решите уравнение на тему "Дробные рациональные уравнения" \(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+9}=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+21}\)
Решение: ОДЗ: х≠-3, х≠-9, х≠-5, х≠ -21, так как при этих иксах знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя, приводим к общему знаменателю праву и левую часть
$$ \frac{x+9-x-3}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+21-x-5}{(x+5)(x+21)} $$ раскроем скобки в знаменателе
$$ \frac{6}{ x^{2} +12x+27} = \frac{16}{ x^{2} +26x+105} \\ 3(x^{2}+26x+105)=8( x^{2} +12x+27) $$ раскроем скобки и перенесем все вправо, упростим, в итоге получим
$$ 5x^{2} +18x-99=0 $$
D/4=81+495=576 √D/4=24
$$ x1=\frac{-9-24}{5} = \frac{-33}{5} =-6 \frac{3}{5} \\ x2=\frac{-9+24}{5} = \frac{15}{5} =3 $$Дробно-рациональные выражения.
1) x^2-6/x-3 = x/x-3
2) 20/x = 9-x
3) x-4/x = 2x-10/x+4
Решение: $$ \displaystyle \frac{x^2-6}{x-3}= \frac{x}{x-3} x = 3 \\ \displaystyle \frac{x^2-6-x}{x-3}=0 x^2-x-6=0 D=1+24=25=5^2 x_1=3; x_2=-2 $$
ответ х=-2
$$ \displaystyle \frac{20}{x}=9-x x = 0 20=9x-x^2 x^2-9x+20=0 D=81-80=1 x_1=5; x_2=4 $$
ответ х=4, х=5
$$ \displaystyle \frac{x-4}{x}= \frac{2x-10}{x+4} x = 0; x = -4 \\ \displaystyle x^2-16=2x^2-10x x^2-10x+16=0 D=36 x_1=8; x_2=2 $$
Ответ х=2, х=8
12 дробь 7-х=х объясните решение дробно-рационального уравнения
Решение: $$ \frac{12}{7-x}=x $$Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение нужно все перенести в левую часть, оставив в правой части лите 0
$$ \frac{12}{7-x}-x=0 $$
Приводим все к одному знаменателю. Для этого достаточно умножить х на знаменатель 7-х. Получается:
$$ \frac{12-7x+x^2}{7-x}=0 $$
Когда дробь равна нулю? Когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит пишем:
$$ x^2-7x+12=0 $$, $$ 7-xeq0 $$
Решаем квадратное уравнение и обычное неравенство. Получаем значения:
x=3, х=4 и $$ xeq7 $$
В ответ пишем только ответы числителя, если они не совпадают с ответами знаменателя. Если совпадают, то их нельзя писать, т. к. при этих значениях дробь не имеет смысла, потому что на ноль делить нельзя. Т. е. если бы у нас в квадратном уравнении получился еще ответ х=7, то мы бы его в ответ не записывали по указанным ранее причинам. Но в нашем случае никаких совпадений нет, поэтому пишем:
Ответ: х=3 и х=4
