корни »

найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

  • Решить уравнение 2cos^2x — 9sinx — 6=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [П/2;3П/2]


    Решение: 2*(1-sin^2x)-9sinx-6=0;2-2sin^2x-9sinx-6=0;2sin^2x+9sinx+4=0;sinx=t; -1<=t<=1;2t^2+9t+4=0;D=81-32=49=7^2;t1=(-9+7)/4=-1/2;t2=(-9-7)/4=-4 <-1 не подходит.Остается корень t1=-1/2; sinx=-1/2;x1=-pi/6+2pi*k; k-Zx2=-5pi/6+2pi*k; k -ZИли оба эти корня можно объединить в одну запись:x=(-1)^(k+1)*pi/6+pi*k; k-Z;Теперь корни из интервала. Рисуем единичкую окружность, отмечаем на ней точки -pi/6 и -5pi/6. Так как искать корни надо во второй и третьей координатных четвертях, а наш угол _pi/6 находится в четвертой координатной четверти, его мы исключаем. Остается угол -5pi/6, но он меньше нуля, Если к нему прибавить полный оборот, то есть 2 пи, то получим угол из заданного интервала. Это будет -5pi/6+2pi=-5pi/6+12pi/6=7pi/6 Ответ: а) х=(-1)^(k+1)*pi/6+pi*k; k-Z;б) 7Pi/6. Желаю успеха!

  • Решить уравнение 6sin^2+cosx-5=0 и найдите корни,принадлежащие отрезку [2П,3П]


    Решение:

    6sin^2+cosx-5=0   [2П; 3П]

    $$ 6(1-cos^2x)+cosx-5=0,\ \\ \ 6cos^2x-cosx-1=0 $$

    cosx = t: [-1; 1].

    $$ 6t^2-t-1=0,\ \\ \ D=25,\ \\ \ t_{1}=0,5;\ \\ \ t_{2}=\ -\frac{1}{3}. $$

    Находим х: получим две группы решений:

    $$ ^+_{-}\pi/3\ +\ 2\pi*k;\ \\ \ \\ \ \\ ^+_{-}(\pi-arccos\frac{1}{3})\ +\ 2\pi*n;\ \\ \ k,n:\ Z. $$

    В данный в задаче интервал входят два корня:

    $$ x_{1}\ =\ \frac{7\pi}{3};\ \\ \ \\ \ x_{2}\ =\ 3\pi\ -\ arccos\frac{1}{3}. $$

  • Решите уравнение cos2x+2cos^2x-sin2x=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2]


    Решение: Cos∧2x - sin∧2x + 2cos∧2x  - 2sinxcosx = 0,
    3cos∧2x - sin∧2x - 2sinxcosx = 0, уравнение однородное второй степени, значит делим на cos∧2x, получим:
    3 - tg∧2x -  2tgx = 0,  tg∧2x + 2tgx - 3 = 0. Делаем замену tgx = z.
    z∧2 + 2z - 3 = 0, по теореме Виета z1 +z2 = -2,  z1 = -3, 
       z1*z2 = -3.  z2 = 1.
    tgx=1, x= π/4 + πn, z целое;  tgx=-3, x= -arctg3 + πn, z целое.
    По окружности из промежутка x= 9π/4; -arctg3 +2π. .

  • Решите 4cos^4x-4cos^2x+1=0 Б) найдите корни, принадлежащие отрезку [-2пи;-пи]


    Решение: По формуле сокращенного умножения получаем:
    (2cos²x-1)²=0
    2cos²x=1
    cos²x=1/2
    cosx=+₋√2/2
    cosx=√2/2
    x=+₋arccos√2/2+2Пn
    x=+₋П/4+2Пn
    Подставляем в промежуток, получаем, что корень принадлежит -7П/4
    х=+₋arccos(-√2/2)+2Пn
    х=+₋3П/4+2Пn
    Подставляем в промежуток, получаем, что корень принадлежит -5П/4

  • Решите уравнение 7 sin² x + 8 cos x - 8 = 0 и найдите корни,принадлежащие отрезку -π на два; π надва


    Решение: sin^2x=1-cos^2x
    7(1-cos^2x)+8cos^2x-8=0
    7-7cos^2x+8cosx-8=0
    7cos^2x-8cosx+1=0
    cosx=t
    7t^2-8t^2+1=0
    D=64-28=36
     t1=1  
    t2=1/7
    cosx=1            
    cosx=1/7
     x=2пn   или x=+-arccos1/7+2пm

    А)7(1-cos²x)+8cosx-8=0
    7-7cos²x+8cosx-8=0
    7cos²x-8cosx+1=0
    D=64-28=36
    cosx=(8+6)/14=1; cosx=(8-6)/14=1/7
    x1=2πk,k∈Z
    x2=arccos1/7+2πk,k∈Z;
    x3=-arccos1/7+2πk,k∈Z;
    б)-π/2≤2πk≤π/2
    -1/4≤k≤1/4
    k=0
    x1=2π0=0
    -π/2≤arccos1/7+2πk≤π/2;
    -π/2-arccos1/7≤2πk≤π/2-arccos1/7
    -1/4-(arccos1/7)/2π≤k≤1/4-(arccos1/7)/2π
    k=0
    x2=arccos1/7+2π0=arccos1/7;
    -π/2≤-arccos1/7+2πk≤π/2;
    -π/2+arccos1/7≤2πk≤π/2+arccos1/7
    -1/4+(arccos1/7)/2π≤k≤1/4+(arccos1/7)/2π
    k=0
    x3=-arccos1/7+2π0=-arccos1/7
    Ответ:а)x1=2πk,k∈Z; x2=arccos1/7+2πk,k∈Z; x3=-arccos1/7+2πk,k∈Z;
    б)x1=0;x2=arccos1/7;x2=-arccos1/7

  • Решите уравнение 2cos^2x-9sinx-6=0 и найдите корни принадлежащие отрезку [п/2;3п/2]


    Решение: $$ 2cos^2x-9sinx-6=0 $$
    $$ 2(1-sin^2x)-9sinx-6=0 $$
    $$ 2sin^2x+9sinx+4=0 $$
    sinx=t
    $$ 2 t^{2} +9t+4=0 $$
    $$ t_{1,2}=-4;- \frac{1}{2} $$
    $$ sinx=- \frac{1}{2} $$
    $$ x=(-1)^n (-\frac{ \pi }{6})+ \pi n $$, n∈Z
    $$ x=(-1)^{n+1} \frac{ \pi }{6}+ \pi n $$, n∈Z
    при n=1 $$ \pi + \frac{ \pi }{6} = \frac{7 \pi }{6} $$ ∈ \( [ \frac{ \pi }{2}; \frac{3 \pi }{2} ] \)

  • а) Решить уравнение cos(2x) + 3sin^2(x) = 1,25
    б) найдите корни, принадлежащие отрезку [π 5π/2]


    Решение:

    Используя формулу косинуса двойного угла, сведем данное уравнение к квадратному относительно переменной синус х (так как фигурирует в уравнении квадрат синуса)

    $$ cos(2x)+3sin^2 x=1.25;\\1-2sin^2 x+3sin^2 x=1.25;\\sin^2 x=0.25 $$

    отсюда либо $$ sin x=0.5; x=(-1)^k*\frac{\pi}{6}+\pi*k $$ k є Z

    либо $$ sin x=-0.5;x=(-1)^{n+1}*\frac{\pi}{6}+\pi*n $$ n є Z

    обьединяя $$ x=^+_-\frac{\pi}{6}+\pi*k $$k є Z

    обозначив на кругу, и учититывая нужный указанный промежуток находим корни

    $$ \frac{7*\pi}{6};\frac{11*\pi}{6};\frac{13*\pi}{6} $$

  • Решите уравнение 6sin^2 x - 5sin x -4 =0 и найдите корни,принадлежащие отрезку [-7pi/2 ;-3pi/2]


    Решение: D = sqrt(25 + 4 * 4 * 6) = 11

    sin x1 = (5 + 11)/12 > 1 - не имеет решения

    sin x2 = (5 - 11)/12 = -1/2

    $$ x_2 = 2\pi k + \frac{3\pi}{2} \pm \frac{\pi}{3} $$

    Из области определения подходят корни

    $$ x = -\frac{5\pi}{2} \pm \frac{\pi}{3} $$

    Часит а)

    Для начала синус надо заменит с каким либо буквой, я его заменю на t ОДЗ -1<=t<=1

     6t^2-5t-4=0

    D=25+96=121=11^2

    t1=16/12 не подлежить ОДЗ

    t2=-6/12=-1/2

    общий ответ (-1)в степени n arcsin(-1/2)+Pi n, где n принадлежить целому числу.

  • Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0:2пи] (sin x- 1/2)*(sinx+ 1)=0


    Решение: (sin x - 1/2)*(sinx + 1) = 0

    совокупность 2-х решений
    sinx = 1/2 ==> x = pi/6 + 2pik, x = 5pi/6 + 2pik,k     ∈ Z
    sinx = - 1 ==> x = - pi/2 + 2pik. k     ∈ Z

    + отбор корней внутри фото  sin x - sinx      совокупность -х решенийsinx x pi pik x pi pik k  Zsinx - x - pi pik. k  Z отбор корней внутри фото ...

  • Решите уравнение 2sin^4x + 3cos2x + 1 = 0. Найдите все корни, принадлежащие отрезку [пи;3пи].


    Решение: 2*(1-cos2x)²/4+3cos2x+1=0
    (1-cos2x)²+6cos2x+2=0
    1-2cos2x+cos²2x+6cos2x+2=0
    cos²2x+4cos2x+3=0
    a=cosx
    a²+4a+3=0,a1+a2=-4 U a1*a2=3
    a1=-1,cosx=-1⇒x=π+2πn
    a2=-3,cosx=-3∉[-1;1]
    x=π;3π

    2 sin⁴x +3cos2x +1=0
    2 sin⁴x+3(cos²x-sin²x)+1=0
    2 sin⁴x+3(1-sin²x-sin²x)+1=0
    2sin⁴x+3(1-2sin²x)+1=0
    2sin⁴x+3-6sin²x+1=0
    2sin⁴x-6sin²x+4=0
    sin⁴x-3sin²x+2=0

    Пусть у=sin²x
    y²-3y+2=0
    D=9-8=1
    y₁=3-1=1
      2
    y₂=3+1=2
      2

    При у=1
    sin²x=1
    sin²x-1=0
    (sinx-1)(sinx+1)=0
    sinx-1=0 sinx+1=0
    sinx=1 sinx=-1
    x=π + 2πn x=-π + 2πn
      2 2

    При у=2
    sin²x=2
    sin²x-2=0
    (sinx-√2)(sinx+√2)=0
    sinx-√2=0 sinx+√2=0
    sinx=√2 sinx=-√2
    √2∉[-1; 1] -√2∉[-1; 1]
    нет решений нет решений

    x∈[π; 3π]
    х=π + 2πn
      2
    π≤ π+2πn ≤3π
      2
    π- π ≤ 2πn ≤ 3π - π 
      2 2
    π ≤ 2πn ≤ 5π 
    2 2
    π : 2π ≤ n ≤ 5π : 2π
    2 2
    π *  1 ≤ n ≤ 5π * 1
    2 2π 2 2π
    1/4 ≤ n ≤ 5/4
    0.25 ≤ n ≤ 1.25
    n=1
    x=π + 2π*1 = 5π 
      2 2

    x=-π +2πn
      2
    π ≤ -π + 2πn ≤ 3π
      2
    π + π ≤ 2πn ≤ 3π  + π 
      2 2
    3π ≤ 2πn ≤ 7π
     2 2
    3π * 1 ≤ n ≤ 7π *  1
     2 2π 2 2π
    3/4 ≤ n ≤ 7/4
    0.75 ≤ n ≤ 1.75
    n=1
    x= -π + 2π *1 = 3π
      2 2

    Ответ: 3π ; 5π
      2 2

1 2 3 > >>