корни »

найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

  • Решить уравнение 2cos^2x — 9sinx — 6=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [П/2;3П/2]


    Решение: 2*(1-sin^2x)-9sinx-6=0;2-2sin^2x-9sinx-6=0;2sin^2x+9sinx+4=0;sinx=t; -1<=t<=1;2t^2+9t+4=0;D=81-32=49=7^2;t1=(-9+7)/4=-1/2;t2=(-9-7)/4=-4 <-1 не подходит.Остается корень t1=-1/2; sinx=-1/2;x1=-pi/6+2pi*k; k-Zx2=-5pi/6+2pi*k; k -ZИли оба эти корня можно объединить в одну запись:x=(-1)^(k+1)*pi/6+pi*k; k-Z;Теперь корни из интервала. Рисуем единичкую окружность, отмечаем на ней точки -pi/6 и -5pi/6. Так как искать корни надо во второй и третьей координатных четвертях, а наш угол _pi/6 находится в четвертой координатной четверти, его мы исключаем. Остается угол -5pi/6, но он меньше нуля, Если к нему прибавить полный оборот, то есть 2 пи, то получим угол из заданного интервала. Это будет -5pi/6+2pi=-5pi/6+12pi/6=7pi/6 Ответ: а) х=(-1)^(k+1)*pi/6+pi*k; k-Z;б) 7Pi/6. Желаю успеха!

  • Решить уравнение 6sin^2+cosx-5=0 и найдите корни,принадлежащие отрезку [2П,3П]


    Решение:

    6sin^2+cosx-5=0   [2П; 3П]

    $$ 6(1-cos^2x)+cosx-5=0,\ \\ \ 6cos^2x-cosx-1=0 $$

    cosx = t: [-1; 1].

    $$ 6t^2-t-1=0,\ \\ \ D=25,\ \\ \ t_{1}=0,5;\ \\ \ t_{2}=\ -\frac{1}{3}. $$

    Находим х: получим две группы решений:

    $$ ^+_{-}\pi/3\ +\ 2\pi*k;\ \\ \ \\ \ \\ ^+_{-}(\pi-arccos\frac{1}{3})\ +\ 2\pi*n;\ \\ \ k,n:\ Z. $$

    В данный в задаче интервал входят два корня:

    $$ x_{1}\ =\ \frac{7\pi}{3};\ \\ \ \\ \ x_{2}\ =\ 3\pi\ -\ arccos\frac{1}{3}. $$

  • Решите уравнение cos2x+2cos^2x-sin2x=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2]


    Решение: Cos∧2x - sin∧2x + 2cos∧2x  - 2sinxcosx = 0,
    3cos∧2x - sin∧2x - 2sinxcosx = 0, уравнение однородное второй степени, значит делим на cos∧2x, получим:
    3 - tg∧2x -  2tgx = 0,  tg∧2x + 2tgx - 3 = 0. Делаем замену tgx = z.
    z∧2 + 2z - 3 = 0, по теореме Виета z1 +z2 = -2,  z1 = -3, 
       z1*z2 = -3.  z2 = 1.
    tgx=1, x= π/4 + πn, z целое;  tgx=-3, x= -arctg3 + πn, z целое.
    По окружности из промежутка x= 9π/4; -arctg3 +2π. .

  • Решите 4cos^4x-4cos^2x+1=0 Б) найдите корни, принадлежащие отрезку [-2пи;-пи]


    Решение: По формуле сокращенного умножения получаем:
    (2cos²x-1)²=0
    2cos²x=1
    cos²x=1/2
    cosx=+₋√2/2
    cosx=√2/2
    x=+₋arccos√2/2+2Пn
    x=+₋П/4+2Пn
    Подставляем в промежуток, получаем, что корень принадлежит -7П/4
    х=+₋arccos(-√2/2)+2Пn
    х=+₋3П/4+2Пn
    Подставляем в промежуток, получаем, что корень принадлежит -5П/4

  • Решите уравнение 7 sin² x + 8 cos x - 8 = 0 и найдите корни,принадлежащие отрезку -π на два; π надва


    Решение: sin^2x=1-cos^2x
    7(1-cos^2x)+8cos^2x-8=0
    7-7cos^2x+8cosx-8=0
    7cos^2x-8cosx+1=0
    cosx=t
    7t^2-8t^2+1=0
    D=64-28=36
     t1=1  
    t2=1/7
    cosx=1            
    cosx=1/7
     x=2пn   или x=+-arccos1/7+2пm

    А)7(1-cos²x)+8cosx-8=0
    7-7cos²x+8cosx-8=0
    7cos²x-8cosx+1=0
    D=64-28=36
    cosx=(8+6)/14=1; cosx=(8-6)/14=1/7
    x1=2πk,k∈Z
    x2=arccos1/7+2πk,k∈Z;
    x3=-arccos1/7+2πk,k∈Z;
    б)-π/2≤2πk≤π/2
    -1/4≤k≤1/4
    k=0
    x1=2π0=0
    -π/2≤arccos1/7+2πk≤π/2;
    -π/2-arccos1/7≤2πk≤π/2-arccos1/7
    -1/4-(arccos1/7)/2π≤k≤1/4-(arccos1/7)/2π
    k=0
    x2=arccos1/7+2π0=arccos1/7;
    -π/2≤-arccos1/7+2πk≤π/2;
    -π/2+arccos1/7≤2πk≤π/2+arccos1/7
    -1/4+(arccos1/7)/2π≤k≤1/4+(arccos1/7)/2π
    k=0
    x3=-arccos1/7+2π0=-arccos1/7
    Ответ:а)x1=2πk,k∈Z; x2=arccos1/7+2πk,k∈Z; x3=-arccos1/7+2πk,k∈Z;
    б)x1=0;x2=arccos1/7;x2=-arccos1/7

1 2 3 > >>