найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку - страница 2
Решите уравнение sinx=cosxи найдите его корни, принадлежащие отрезку [ -360;0]
Решение: sinx=cosx по формуле получаемsinx-cosx=0
(корень из 2)sin(x-(п/4))=0
sin(x-(п/4))=0
х-(п/4))=Пn
x=(п/4)+Пn
-360<=(п/4)+Пn <=0
-360- 0.785<=Пn<=0-0.785
-360.785/3.14<=n<=-0.785/3,14
-144<=n<=-0.25, т.к n - целое то
n=-144, -143..........-1 получаеться надо будет подставлять все эти числа в n но это очень много. не знаю... но я уравнение решила правильно это 100%
А) Решите уравнение.Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-7π/2 ; -2π]
sinx(4sinx - 1) = 2 + √3 cosx
Решение: Sinx + cosx = 1 - sin2x
Для начала распишем как синус двойного угла:
sinx + cosx = 1 - 2*sinx*cos x
а теперь возьведем в квадрат обе части равенства:
(sinx)^2 + 2*sinx*cosx + (cosx)^2 = 1 - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2
(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1. Поэтому
2*sinx*cosx = - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2. Отсюда
6*sinx*cosx - 4*(sinx*cos x)^2 = 0.
2*sinx*cosx(3 - 2*sinx*cos x) = 0.
Дальше все ясно. Ага?Решите уравнение \( \sqrt{2}sin^2(\frac{\pi}{2} + x) = -cosx \). Найдите все корни, принадлежащие отрезку [\(-\frac{5\pi}{2};-\pi \)].
Решение: √2cos²x+cosx=0
cosx(√2cosx-+1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
-5π/2≤π/2+πn≤-π
-5≤1+2n≤-2
-6≤2n≤-3
-3≤n≤-1,5
n=-3⇒x=π/2-3π=-5π/2
n=-2⇒x=π/2-2π=-3π/2
cosx=-1/√2⇒x=-2π/3+2πk,k∈z U x=2π/3+2πm,m∈z
-5π/2≤-2π/3+2πk≤-π
-15≤-4+12k≤-6
-11≤12k≤-2
-11/12≤k≤-1/6
нет решения
-5π/2≤2π/3+2πm≤-π
-15≤4+12m≤-6
-19≤12m≤-10
-19/12≤m≤-5/6
m=-1⇒x=2π/3-2π=-4π/3Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;2п]:
cos x - sin x*cos x = 0
Указать наименьший корень. Ответ в градусах.
Решение: Cosx(1-sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn
0≤π/2+πn≤2π
0≤1+4n≤4
-1≤4n≤3
-1/4≤n≤3/4
n=0 x=π/2
sinx=1⇒x=π/2+2πn
x=π/2=90cosx-sinx*cosx=0
cosx(1-sinx)=0
cosx=0 1-snx=0
х=П/2 + Пk, k∈z -sinx=-1 I*(-1)
sinx=1
x=П/2 + 2Пn, n∈z
Отбор корней:
х=П/2 + Пk, k∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + П = 3П/2 ∈ [0;2П]
n=2, x=П/2 + 2П= 5П/2 ∉ [0;2П]
x=П/2 + 2Пn, n∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + 2П = 5П/2 ∉ [0;2П]
П/2 - наименьший корень
П/2 = 90°
Ответ: 90° .Решите уравнение IsinxI-5sinx+4cosx=0Найдите все корни принадлежащие отрезку [-3п;-3п/2]
Решение: Есть 2 варианта
1) sinx <0 тогда |sinx|=-sinx
-sinx-5sinx+4cosx=0
-6sinx+4cosx=0
6sinx=4cosx
3sinx=2cosx
так как sinx <0, то и cosx<0. Учитывая это возведем обе стороны в квадрат
9sin²x=4cos²x
9sin²x=4(1-sin²x)
9sin²x=4-4sin²x
13sin²x=4
sinx=-2/√13 (х находится в третьей четверти тригонометрического круга )
x=π+arcsin(2/√13)+2πn
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -3π+arcsin(2/√13)
2) sinx >=0 тогда |sinx|=sinx
sinx-5sinx+4cosx=0
-4sinx+4cosx=0
4sinx=4cosx
sinx=cosx
x=π/4+2πn (х находится в первой четверти тригонометрического круга )
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -2π+π/4=-7π/4
Ответ:х= -3π+arcsin(2/√13) и -7π/4Решить этот пример sin2x+sinx=2cosx+1, найдите все корни принадлежащие отрезку [п;3п]
Решение: (1)РЕШЕНИЕ:
$$ sin(2x)+sin(x)=2cos(x)+1; \\ [\pi;3\pi]\ sin(x)\cdot (2cos(x)+1)=2cos(x)+1;\ (2cos(x)+1) \cdot (sin(x)-1) = 0; \\ \begin{cases} cos(x)=-\frac{1}{2}\sin(x)=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}arccos(-\frac{1}{2})+2\pi k \\ -arccos(-\frac{1}{2}) +2\pi n \end{array}\right. \\ x=\left[\begin{array}{ccc}arcsin(1)+2\pi l\ \pi - arcsin(1)+2\pi m\end{array}\right. \end{cases}\ $$
$$ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\pi}{2}+2\pi l\\ \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{array}\right. \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} $$
(2)ВЫБОРКА:
$$ 1) \\ \pi \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{6}\leq k \leq \frac{7}{6}\ => k = 1; \\ x = \frac{8\pi}{3}\ \\ 2) \\ \pi \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq 3\pi;\ \\ \frac{5}{6}\leq n \leq \frac{11}{6}\ => n = 1; \\ x = \frac{4\pi}{3}\ \\ 3) \\ \pi \leq \frac{\pi}{2}+2\pi m \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{4}\leq m \leq \frac{5}{4}\ => m = 1; \\ x = \frac{5\pi}{2}\ \\ $$
(3)ОТВЕТ: $$ a) \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} \\ b) \frac{8\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{2} $$cos2x+3sinx-2=0Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]
Решение: А)cos2x + 3sinx - 2 = 0
cos²x - sin²x + 3sinx - 2 =0
1-sin²x - sin²x + 3sinx - 2 = 0
-2sin²x + 3sinx - 1 = 0 |*(-1)
2sin²x - 3sinx + 1 =0
Обозначим: sinx= t, тогда
2t² - 3t + 1 = 0
D= 9 - 8 = 1
t₁= 1, t₂ = 1/2
(1) sinx= 1
x₁= π/2+2πn, n ∈ z
(2) sinx= 1/2
x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]
При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка.
Ответ: а) π/2+2πn, n∈z; (-1)^k π/6 + πk, k∈z.
б) 5π/2, 13π/6.Cos4x+cos2x=0; укажите корни, принадлежащие отрезку -п до п/3
Решение: 2 Сos² 2x -1 +Cos 2x = 0
2 Cos² 2x - Cos x -1 = 0
Решаем как квадратное
a) Cos 2x = 1 б) Cos 2x = -1/2
2x = 2πk, где к ∈Z 2x = +- arc Cos (-1/2) +2π n, где n∈Z
х = π к, где к∈Z 2x = +-2π/3 + 2πn, где n∈Z
x = +- π/3 + πn,где n∈ Z
Получили 2 группы корней. Будем искать корни, которые попадают в указанный промежуток
Разберёмся с указанным отрезком на числовой прямой
-π -π/2 0 π/3
а) х = πк,где к ∈Z
k = -1
x = -π ( попадает в указанный отрезок)
к = 0
х = 0 ( попадает в указанный отрезок)
к = 1
к = 2
х = 2π( не попадает в указанный отрезок)
б) х = +- π/3 +πn,где n ∈Z
n = 0
x = +-π/3 (попадает в указанный отрезок)
n = 1
х = π/3 + π( не попадает)
х= - π/3 +π ( не попадает)
n = -1
x = π/3 - π = -2π/3( попадает)
х = -π/3 -π(не попадает)sin3x = корень 2/2 Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2пи]
Решение: Здесь ответ лучше записать не в виде общей формулы 3Х=(-1)^k* π/4+πk ,
X=(-1)^k*π/12+πk/4 а отдельно для двух углов, чтобы удобнее было считать углы
a)3X=π/4+2πk X=π/12+2πk/3
б)3X=3π/4+2πk X=π/4+2πk/3
Теперь смотрим на интервал. Подставляя разные значения k в оба решения, найдем все корни из интервала от 0 до 2пи. k=0 x=π/12 ∈ x=π/4 ∈
к=1 x=π/12+2π3=3π/4∈ x=π/4+2π/3=11π/12 ∈
k=3 x=π/12+2π=25π/12>2π∉ x=π/4+2π>2π ∉ В заданном интервале 4 корня.А) Решить уравнение cos(2x - пи/2) = √3cosx; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π ; 5π/2]
Решение: А) cos(2x-pi/2)=sin2x
sin2x=√3*cosx
2*sinx*cosx=√3*cosx
cosx*(2*sinx - √3)=0
cosx=0 или 2*sinx - √3=0
1) x=pi/2+pi*k, k∈Z
2) sinx=√3/2
x=pi/3+2*pi*n
x=2pi/3+2*pi*m
где m,n∈Z
б) Отбор корней:
k=0 x=pi/2 < pi не подходит
k=1 x=3pi/2 > pi подходит
k=2 x=5pi/2 =5pi/2 подходит
k=3 x=7pi/2 >5pi/2 не подходит
n=0 x=pi/3 < pi не подходит
n=1 x=7pi/3 подходит
n=2 x=13pi/3 >5pi/2 не подходит
m=0 x=2pi/3 < pi не подходит
m=1 x=8pi/3 >5pi/2 не подходит
Ответ в б: 3pi/2; 7pi/3; 5pi/2