корни »

найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку - страница 2

  • Решите уравнение sinx=cosxи найдите его корни, принадлежащие отрезку [ -360;0]


    Решение: sinx=cosx по формуле получаем

    sinx-cosx=0

    (корень из 2)sin(x-(п/4))=0

    sin(x-(п/4))=0

    х-(п/4))=Пn

    x=(п/4)+Пn 

    -360<=(п/4)+Пn <=0

    -360- 0.785<=Пn<=0-0.785

     -360.785/3.14<=n<=-0.785/3,14

     -144<=n<=-0.25, т.к n - целое то

    n=-144, -143..........-1 получаеться надо будет подставлять все эти числа в n но это очень много. не знаю... но я уравнение решила правильно это 100% 

  • А) Решите уравнение.Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-7π/2 ; -2π]
    sinx(4sinx - 1) = 2 + √3 cosx


    Решение: Sinx + cosx = 1 - sin2x
    Для начала распишем как синус двойного угла:
    sinx + cosx = 1 - 2*sinx*cos x
    а теперь возьведем в квадрат обе части равенства:
    (sinx)^2 + 2*sinx*cosx + (cosx)^2 = 1 - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2
    (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1. Поэтому
    2*sinx*cosx = - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2. Отсюда
    6*sinx*cosx - 4*(sinx*cos x)^2 = 0.
    2*sinx*cosx(3 - 2*sinx*cos x) = 0.
    Дальше все ясно. Ага?

  • Решите уравнение \( \sqrt{2}sin^2(\frac{\pi}{2} + x) = -cosx \). Найдите все корни, принадлежащие отрезку [\(-\frac{5\pi}{2};-\pi \)].


    Решение: √2cos²x+cosx=0
    cosx(√2cosx-+1)=0
    cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
    -5π/2≤π/2+πn≤-π
    -5≤1+2n≤-2
    -6≤2n≤-3
    -3≤n≤-1,5
    n=-3⇒x=π/2-3π=-5π/2
    n=-2⇒x=π/2-2π=-3π/2
    cosx=-1/√2⇒x=-2π/3+2πk,k∈z U x=2π/3+2πm,m∈z
    -5π/2≤-2π/3+2πk≤-π
    -15≤-4+12k≤-6
    -11≤12k≤-2
    -11/12≤k≤-1/6
    нет решения
    -5π/2≤2π/3+2πm≤-π
    -15≤4+12m≤-6
    -19≤12m≤-10
    -19/12≤m≤-5/6
    m=-1⇒x=2π/3-2π=-4π/3

  • Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;2п]:
    cos x - sin x*cos x = 0
    Указать наименьший корень. Ответ в градусах.


    Решение: Cosx(1-sinx)=0
    cosx=0⇒x=π/2+πn
    0≤π/2+πn≤2π
    0≤1+4n≤4
    -1≤4n≤3
    -1/4≤n≤3/4
    n=0  x=π/2
    sinx=1⇒x=π/2+2πn
    x=π/2=90

    cosx-sinx*cosx=0
    cosx(1-sinx)=0
    cosx=0 1-snx=0
    х=П/2 + Пk, k∈z -sinx=-1 I*(-1)
      sinx=1
      x=П/2 + 2Пn, n∈z
    Отбор корней:
    х=П/2 + Пk, k∈z
    n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
    n=1, x=П/2 + П = 3П/2 ∈  [0;2П]
    n=2, x=П/2 + 2П= 5П/2 ∉  [0;2П]


     x=П/2 + 2Пn, n∈z
    n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
    n=1, x=П/2 + 2П =  5П/2 ∉  [0;2П]

    П/2 - наименьший корень 
    П/2 = 90°

    Ответ: 90° .


  • Решите уравнение IsinxI-5sinx+4cosx=0Найдите все корни принадлежащие отрезку [-3п;-3п/2]


    Решение: Есть 2 варианта 
    1) sinx <0 тогда |sinx|=-sinx
    -sinx-5sinx+4cosx=0
    -6sinx+4cosx=0
    6sinx=4cosx
    3sinx=2cosx
    так как sinx <0, то и cosx<0. Учитывая это возведем обе стороны в квадрат
    9sin²x=4cos²x
    9sin²x=4(1-sin²x)
    9sin²x=4-4sin²x
    13sin²x=4
    sinx=-2/√13 (х находится в третьей четверти тригонометрического круга )
    x=π+arcsin(2/√13)+2πn
    в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -3π+arcsin(2/√13)
    2) sinx >=0 тогда |sinx|=sinx
    sinx-5sinx+4cosx=0
    -4sinx+4cosx=0
    4sinx=4cosx
    sinx=cosx
    x=π/4+2πn (х находится в первой четверти тригонометрического круга )
    в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -2π+π/4=-7π/4
    Ответ:х= -3π+arcsin(2/√13) и -7π/4

  • Решить этот пример sin2x+sinx=2cosx+1, найдите все корни принадлежащие отрезку [п;3п]


    Решение: (1)РЕШЕНИЕ:
    $$ sin(2x)+sin(x)=2cos(x)+1; \\ [\pi;3\pi]\ sin(x)\cdot (2cos(x)+1)=2cos(x)+1;\ (2cos(x)+1) \cdot (sin(x)-1) = 0; \\ \begin{cases} cos(x)=-\frac{1}{2}\sin(x)=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}arccos(-\frac{1}{2})+2\pi k \\ -arccos(-\frac{1}{2}) +2\pi n \end{array}\right. \\ x=\left[\begin{array}{ccc}arcsin(1)+2\pi l\ \pi - arcsin(1)+2\pi m\end{array}\right. \end{cases}\ $$
    $$ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\pi}{2}+2\pi l\\ \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{array}\right. \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} $$


    (2)ВЫБОРКА:
    $$ 1) \\ \pi \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{6}\leq k \leq \frac{7}{6}\ => k = 1; \\ x = \frac{8\pi}{3}\ \\ 2) \\ \pi \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq 3\pi;\ \\ \frac{5}{6}\leq n \leq \frac{11}{6}\ => n = 1; \\ x = \frac{4\pi}{3}\ \\ 3) \\ \pi \leq \frac{\pi}{2}+2\pi m \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{4}\leq m \leq \frac{5}{4}\ => m = 1; \\ x = \frac{5\pi}{2}\ \\ $$


    (3)ОТВЕТ: $$ a) \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} \\ b) \frac{8\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{2} $$

  • cos2x+3sinx-2=0Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]


    Решение: А)cos2x + 3sinx - 2 = 0
    cos²x - sin²x + 3sinx - 2 =0 
    1-sin²x - sin²x + 3sinx - 2 = 0
    -2sin²x + 3sinx - 1 = 0 |*(-1)
    2sin²x - 3sinx + 1 =0 
    Обозначим: sinx= t, тогда
    2t² - 3t + 1 = 0 
    D= 9 - 8 = 1
    t₁= 1, t₂ = 1/2


    (1) sinx= 1
    x₁= π/2+2πn, n ∈ z

    (2) sinx= 1/2
    x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
    x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z


    б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
    n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]



    x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
    n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]


     При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка.


    Ответ: а) π/2+2πn, n∈z; (-1)^k π/6 + πk, k∈z.
    б) 5π/2, 13π/6.



  • Cos4x+cos2x=0; укажите корни, принадлежащие отрезку -п до п/3


    Решение: 2 Сos² 2x -1 +Cos 2x = 0
    2 Cos² 2x -  Cos x -1 = 0
    Решаем как квадратное
    a) Cos 2x = 1 б) Cos 2x = -1/2
    2x = 2πk, где к ∈Z 2x = +- arc Cos (-1/2) +2π n, где n∈Z
    х = π к, где к∈Z  2x = +-2π/3 + 2πn, где n∈Z
        x = +- π/3 + πn,где n∈ Z 
    Получили 2 группы корней. Будем искать корни, которые попадают в указанный промежуток
    Разберёмся с указанным отрезком на числовой прямой
    -π -π/2 0 π/3
    а) х = πк,где к ∈Z
    k = -1
    x = -π ( попадает в указанный отрезок)
    к = 0
    х = 0 ( попадает в указанный отрезок)
    к = 1
    к = 2
    х = 2π( не попадает в указанный отрезок)
    б) х = +- π/3 +πn,где n ∈Z
    n = 0
    x = +-π/3 (попадает в указанный отрезок)
    n = 1
    х = π/3 + π( не попадает)
    х= - π/3 +π ( не попадает)
    n = -1
    x = π/3 - π = -2π/3( попадает)
    х = -π/3 -π(не попадает)



  • sin3x = корень 2/2 Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2пи]


    Решение: Здесь ответ лучше записать не в виде общей формулы 3Х=(-1)^k* π/4+πk ,
     X=(-1)^k*π/12+πk/4 а отдельно для двух углов, чтобы удобнее было считать углы
    a)3X=π/4+2πk X=π/12+2πk/3 
    б)3X=3π/4+2πk X=π/4+2πk/3
    Теперь смотрим на интервал. Подставляя разные значения k в оба решения, найдем все корни из интервала от 0 до 2пи. k=0 x=π/12 ∈  x=π/4 ∈ 
     к=1 x=π/12+2π3=3π/4∈ x=π/4+2π/3=11π/12 ∈
    k=3 x=π/12+2π=25π/12>2π∉ x=π/4+2π>2π ∉ В заданном интервале 4 корня.

  • А) Решить уравнение cos(2x - пи/2) = √3cosx; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π ; 5π/2]


    Решение: А) cos(2x-pi/2)=sin2x
    sin2x=√3*cosx
    2*sinx*cosx=√3*cosx
    cosx*(2*sinx - √3)=0
    cosx=0 или 2*sinx - √3=0
    1) x=pi/2+pi*k, k∈Z
    2) sinx=√3/2
    x=pi/3+2*pi*n
    x=2pi/3+2*pi*m
    где m,n∈Z

    б) Отбор корней:
    k=0 x=pi/2 < pi не подходит
    k=1 x=3pi/2 > pi подходит
    k=2 x=5pi/2 =5pi/2 подходит
    k=3 x=7pi/2 >5pi/2 не подходит

    n=0 x=pi/3 < pi не подходит
    n=1 x=7pi/3 подходит
    n=2 x=13pi/3 >5pi/2 не подходит

    m=0 x=2pi/3 < pi не подходит
    m=1 x=8pi/3 >5pi/2 не подходит

    Ответ в б: 3pi/2; 7pi/3; 5pi/2
<< < 12 3 > >>