корни »
найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку - страница 4
Решить этот пример sin2x+sinx=2cosx+1, найдите все корни принадлежащие отрезку [п;3п]
Решение: (1)РЕШЕНИЕ:
$$ sin(2x)+sin(x)=2cos(x)+1; \\ [\pi;3\pi]\ sin(x)\cdot (2cos(x)+1)=2cos(x)+1;\ (2cos(x)+1) \cdot (sin(x)-1) = 0; \\ \begin{cases} cos(x)=-\frac{1}{2}\sin(x)=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}arccos(-\frac{1}{2})+2\pi k \\ -arccos(-\frac{1}{2}) +2\pi n \end{array}\right. \\ x=\left[\begin{array}{ccc}arcsin(1)+2\pi l\ \pi - arcsin(1)+2\pi m\end{array}\right. \end{cases}\ $$
$$ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\pi}{2}+2\pi l\\ \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{array}\right. \end{cases} \\ \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} $$
(2)ВЫБОРКА:
$$ 1) \\ \pi \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{6}\leq k \leq \frac{7}{6}\ => k = 1; \\ x = \frac{8\pi}{3}\ \\ 2) \\ \pi \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq 3\pi;\ \\ \frac{5}{6}\leq n \leq \frac{11}{6}\ => n = 1; \\ x = \frac{4\pi}{3}\ \\ 3) \\ \pi \leq \frac{\pi}{2}+2\pi m \leq 3\pi;\ \\ \frac{1}{4}\leq m \leq \frac{5}{4}\ => m = 1; \\ x = \frac{5\pi}{2}\ \\ $$
(3)ОТВЕТ: $$ a) \begin{cases} x=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ -\frac{2\pi}{3} +2\pi n \end{array}\right. x = \frac{\pi}{2}+2\pi m\end{cases} \\ b) \frac{8\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{2} $$cos2x+3sinx-2=0Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]
Решение: А)cos2x + 3sinx - 2 = 0
cos²x - sin²x + 3sinx - 2 =0
1-sin²x - sin²x + 3sinx - 2 = 0
-2sin²x + 3sinx - 1 = 0 |*(-1)
2sin²x - 3sinx + 1 =0
Обозначим: sinx= t, тогда
2t² - 3t + 1 = 0
D= 9 - 8 = 1
t₁= 1, t₂ = 1/2
(1) sinx= 1
x₁= π/2+2πn, n ∈ z
(2) sinx= 1/2
x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]
При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка.
Ответ: а) π/2+2πn, n∈z; (-1)^k π/6 + πk, k∈z.
б) 5π/2, 13π/6.Cos4x+cos2x=0; укажите корни, принадлежащие отрезку -п до п/3
Решение: 2 Сos² 2x -1 +Cos 2x = 0
2 Cos² 2x - Cos x -1 = 0
Решаем как квадратное
a) Cos 2x = 1 б) Cos 2x = -1/2
2x = 2πk, где к ∈Z 2x = +- arc Cos (-1/2) +2π n, где n∈Z
х = π к, где к∈Z 2x = +-2π/3 + 2πn, где n∈Z
x = +- π/3 + πn,где n∈ Z
Получили 2 группы корней. Будем искать корни, которые попадают в указанный промежуток
Разберёмся с указанным отрезком на числовой прямой
-π -π/2 0 π/3
а) х = πк,где к ∈Z
k = -1
x = -π ( попадает в указанный отрезок)
к = 0
х = 0 ( попадает в указанный отрезок)
к = 1
к = 2
х = 2π( не попадает в указанный отрезок)
б) х = +- π/3 +πn,где n ∈Z
n = 0
x = +-π/3 (попадает в указанный отрезок)
n = 1
х = π/3 + π( не попадает)
х= - π/3 +π ( не попадает)
n = -1
x = π/3 - π = -2π/3( попадает)
х = -π/3 -π(не попадает)sin3x = корень 2/2 Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2пи]
Решение: Здесь ответ лучше записать не в виде общей формулы 3Х=(-1)^k* π/4+πk ,
X=(-1)^k*π/12+πk/4 а отдельно для двух углов, чтобы удобнее было считать углы
a)3X=π/4+2πk X=π/12+2πk/3
б)3X=3π/4+2πk X=π/4+2πk/3
Теперь смотрим на интервал. Подставляя разные значения k в оба решения, найдем все корни из интервала от 0 до 2пи. k=0 x=π/12 ∈ x=π/4 ∈
к=1 x=π/12+2π3=3π/4∈ x=π/4+2π/3=11π/12 ∈
k=3 x=π/12+2π=25π/12>2π∉ x=π/4+2π>2π ∉ В заданном интервале 4 корня.А) Решить уравнение cos(2x - пи/2) = √3cosx; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π ; 5π/2]
Решение: А) cos(2x-pi/2)=sin2x
sin2x=√3*cosx
2*sinx*cosx=√3*cosx
cosx*(2*sinx - √3)=0
cosx=0 или 2*sinx - √3=0
1) x=pi/2+pi*k, k∈Z
2) sinx=√3/2
x=pi/3+2*pi*n
x=2pi/3+2*pi*m
где m,n∈Z
б) Отбор корней:
k=0 x=pi/2 < pi не подходит
k=1 x=3pi/2 > pi подходит
k=2 x=5pi/2 =5pi/2 подходит
k=3 x=7pi/2 >5pi/2 не подходит
n=0 x=pi/3 < pi не подходит
n=1 x=7pi/3 подходит
n=2 x=13pi/3 >5pi/2 не подходит
m=0 x=2pi/3 < pi не подходит
m=1 x=8pi/3 >5pi/2 не подходит
Ответ в б: 3pi/2; 7pi/3; 5pi/2
