корни »
найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку - страница 3
Решите уравнение sinx=cosxи найдите его корни, принадлежащие отрезку [ -360;0]
Решение: sinx=cosx по формуле получаемsinx-cosx=0
(корень из 2)sin(x-(п/4))=0
sin(x-(п/4))=0
х-(п/4))=Пn
x=(п/4)+Пn
-360<=(п/4)+Пn <=0
-360- 0.785<=Пn<=0-0.785
-360.785/3.14<=n<=-0.785/3,14
-144<=n<=-0.25, т.к n - целое то
n=-144, -143..........-1 получаеться надо будет подставлять все эти числа в n но это очень много. не знаю... но я уравнение решила правильно это 100%
А) Решите уравнение.Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-7π/2 ; -2π]
sinx(4sinx - 1) = 2 + √3 cosx
Решение: Sinx + cosx = 1 - sin2x
Для начала распишем как синус двойного угла:
sinx + cosx = 1 - 2*sinx*cos x
а теперь возьведем в квадрат обе части равенства:
(sinx)^2 + 2*sinx*cosx + (cosx)^2 = 1 - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2
(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1. Поэтому
2*sinx*cosx = - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2. Отсюда
6*sinx*cosx - 4*(sinx*cos x)^2 = 0.
2*sinx*cosx(3 - 2*sinx*cos x) = 0.
Дальше все ясно. Ага?Решите уравнение \( \sqrt{2}sin^2(\frac{\pi}{2} + x) = -cosx \). Найдите все корни, принадлежащие отрезку [\(-\frac{5\pi}{2};-\pi \)].
Решение: √2cos²x+cosx=0
cosx(√2cosx-+1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
-5π/2≤π/2+πn≤-π
-5≤1+2n≤-2
-6≤2n≤-3
-3≤n≤-1,5
n=-3⇒x=π/2-3π=-5π/2
n=-2⇒x=π/2-2π=-3π/2
cosx=-1/√2⇒x=-2π/3+2πk,k∈z U x=2π/3+2πm,m∈z
-5π/2≤-2π/3+2πk≤-π
-15≤-4+12k≤-6
-11≤12k≤-2
-11/12≤k≤-1/6
нет решения
-5π/2≤2π/3+2πm≤-π
-15≤4+12m≤-6
-19≤12m≤-10
-19/12≤m≤-5/6
m=-1⇒x=2π/3-2π=-4π/3Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;2п]:
cos x - sin x*cos x = 0
Указать наименьший корень. Ответ в градусах.
Решение: Cosx(1-sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn
0≤π/2+πn≤2π
0≤1+4n≤4
-1≤4n≤3
-1/4≤n≤3/4
n=0 x=π/2
sinx=1⇒x=π/2+2πn
x=π/2=90cosx-sinx*cosx=0
cosx(1-sinx)=0
cosx=0 1-snx=0
х=П/2 + Пk, k∈z -sinx=-1 I*(-1)
sinx=1
x=П/2 + 2Пn, n∈z
Отбор корней:
х=П/2 + Пk, k∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + П = 3П/2 ∈ [0;2П]
n=2, x=П/2 + 2П= 5П/2 ∉ [0;2П]
x=П/2 + 2Пn, n∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + 2П = 5П/2 ∉ [0;2П]
П/2 - наименьший корень
П/2 = 90°
Ответ: 90° .Решите уравнение IsinxI-5sinx+4cosx=0Найдите все корни принадлежащие отрезку [-3п;-3п/2]
Решение: Есть 2 варианта
1) sinx <0 тогда |sinx|=-sinx
-sinx-5sinx+4cosx=0
-6sinx+4cosx=0
6sinx=4cosx
3sinx=2cosx
так как sinx <0, то и cosx<0. Учитывая это возведем обе стороны в квадрат
9sin²x=4cos²x
9sin²x=4(1-sin²x)
9sin²x=4-4sin²x
13sin²x=4
sinx=-2/√13 (х находится в третьей четверти тригонометрического круга )
x=π+arcsin(2/√13)+2πn
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -3π+arcsin(2/√13)
2) sinx >=0 тогда |sinx|=sinx
sinx-5sinx+4cosx=0
-4sinx+4cosx=0
4sinx=4cosx
sinx=cosx
x=π/4+2πn (х находится в первой четверти тригонометрического круга )
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -2π+π/4=-7π/4
Ответ:х= -3π+arcsin(2/√13) и -7π/4