упрощение выражений » разложение числа на простые множители
  • Дано разложение числа a на простые множители:a=2 в 3 степени умножить на 3 в 4 степени умножить на 5 во 2 степени. Делится ли число a на 18,70,11,48?


    Решение: Раскладываете делители на простые множители(^ знак степени)
    18 = 3^2*2 - делится, так как все множители в числах а и 18 совпадают 
    70=7*5*2 - не делится, так как все множители в числах а и 70 не совпадают 
    11=11- не делится, так как все множители в числах а и 11 не совпадают 
    48=2^4*3 - делится, так как все множители в числах а и 48 совпадают 

  • 1) Выполните действия:(2a^2*b)^3_____(^-степень) 2) упростите выражение:(c+d)(d-c) и найдите его значение при с=2,d=0,5 3) вычислите 2^5*3^5 -------------- 6^4 4)решите уравнение:2x-1 =5 ------ 3 5)из точек А(2,3), B(3,4),C(-1,-6) выберите те, которые принадлежат графику функции y=x^2-5 6)выполните разложение на множители : 16a^3-a^7 7)решите уравнение:(x-3)^3+5=x^2-4 8)найдите координаты точки пересечения графиком функций y=3;y=2x-7 9)решите уравнение:x^2=2x-1 10)решите систему уравнений: 2(4x-1)+3y=12 8x-3(2y-5)=11


    Решение: 1) (2a^2b)^3 =8a^6*b^3

    2) (2+0.5)(0.5-2)= 2.5*-1.5= -3.75

    3) 2^5*3^5/6^4=6^5/6^4=6

    4)2x-1=15

      2x=16

      x=8

    5) подставим 

      3=4-5 нет

      4=9-5 да!

    Ответ В 

    6) 16a^3-a^7=a^3(16-a^4)=a^3( 2-a)(2+a)(a^2+4)

    7) (x-3)^3+5=x^2-4

     x^3-9x^2+ 27x-27+5-x^2+4=0

    x^3-10x^2+27x-18=0

    (x-6)(x-3)(x-1)=0

    x=6

    x=3

    x=1

    8) 3=2x-7

      2x=10

      x=5

    9) x^2=2x-1

      x^2-2x+1=0

     D=4-4*1*1=0

      x=2/2=1

    10)

    {8x-2+3y=12

    {8x-6y+15=11 

    {8x+3y=14

    {8x-6y=-4

    {14-3y-6y=-4

    {-9y=-18

    {y=2

    {8x+6=14

    {8x=8

    {x=1 

  • Как раскладывается (а-b) в четвертой степени?


    Решение: В четвертому степені різниця двох виразів дорівнює в четвертому степені перший вираз відняти помножений на 4 добуток кубу першого та другого виразу додати помножений на 6 добуток квадрата першого та квадрата другого виразу відняти помножений на 4 добуток першого та кубу другого виразу додати в четвертому степені другий вираз.

    ((a-b)²)² - можно рассмотреть так. Получаем (a² − 2ab + b²) (a² - 2ab + b²). Перемножаем
    (a^4)-2*(a^3)*b+(a^2)*(b^2)-2*(a^3)*b+4*(a^2)*(b^2)-2*a*(b^3)+(b^2)*(a^2)-2*a*(b^3)+(b^4) это п*з*ц, если я что-то потерял :D
    из этого длиннющего, но не столь длиннющего, если все же писать его ручкой уравнения, получаем методом складывания и вычитания его членов: (a^4)-4*(a^3)*b-4*a*(b^3)+6*(a^2)*(b^2)+(b^4)

    Это и есть формула:
    (a − b)^4 = (a^4) − 4(a^3)b + 6(a^2)(b^2) − 4a(b^3) + (b^4) 


  • Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a ; b) и НОК (a ; b).а)
    А= 2 в 3 степени × 3 в 4 степени × 5
    B= 2 в 4 степени × 3 в 5 степени × 5 во 2 степени;

    б)
    А= 2 во 2 степени × 3 в 3 степени × 5 во 2 степени
    B= 3 во 2 степени × 5 в 3 степени
    (для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его)


    Решение: А)НОД (a ; b)=2 в 3 степени × 3 в 4 степени × 5=8*81*5=3240НОК (a ; b)=2 в 4 степени × 3 в 5 степени × 5 во 2 степениб)НОД (a ; b)= 3 во 2 степени × 5 в 2 степениНОК (a ; b)=2 во 2 степени × 3 в 3 степени × 5 во 3 степен

    Для нахождения НОД берем из обоих разложений с наименьшей степенью. В первом примере это будет 2^3 * 3^4 * 5. Во втором - 3^2 * 5^2. Для нахождения НОК воспользуемся правилом НОК = (а*b)/ НОД(а,б).
    В первом случае (2^7*3^9*5^3) / (2^3*3^4*5) = 2^4 * 3^5 * 5^2/
    Во втором: (2^2*3^5*5^5) / (3^2*5^2) = 2^2 * 3^3 * 5^3.

  • 1. Даны разложения двух чисел на простые множители. Найти наибольший общий делитель пары чисел:

    2х2х3х3х3х7 и 2х2х2х3х3х11.

    2. Установить, являются ли данные числа взаимно простыми:

    1)209 и 312

    2)615,916 и 218


    Решение: 1. Даны разложения двух чисел на простые множители. Найти наибольший общий делитель пары чисел: 2х2х3х3х3х7 и 2х2х2х3х3х11.
    Наибольший общий делитель 2*2*3*3=36
    2. Установить, являются ли данные числа взаимно простыми:
    1)209 и 312
    209=11*19
    312=2*2*2*3*13
    У этой пары числе нет общих делитель кроме 1, Значит они взаимно простые!
    2)615,916 и 218
    615=3*5*41
    916=2*2*229
    218=2*109
    В этой тройке чисел, два числа не являются взаимно простыми, это 218 и 916, потому что у них есть общий делитель число 2.

  • Назови все двузначные числа меньше 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя. "Сконструируйте" несколько трёхзначных чисел обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?


    Решение: Простые числа 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29
    Если требуется включая единицу то
    1*2=2,
    1*3=3
    1*5=5
    1*7=7
    1*11=11
    1*13=13
    1*17=17
    1*23=23
    1*29=29
    Далее 2
    2*2=4
    2*3=6
    2*5=10
    2*7=14
    2*11=22
    2*13=26
    на 3
    3*3=9
    3*5=15
    3*7=21
    на 5
    5*5=25
    Теперь пример трехзначный чисел
    Возьмем для примера несколько простых чисел
    101, 103, 107 и 109
    Тогда 2*101=202
    2*103=206
    2*107=214
    2*109=218

  • С каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители?

    а)40

    в)100


    Решение: А) 40!=1*2*3*4*5*.*35*36*37*38*39*40
       Выпишем числа. кратные пяти : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
       В каждом из них 5 встречается один раз, а в числе 25 - два раза.
       Значит всего здесь 9 пятёрок или $$ 5^9 $$
       Ответ: показатель равен 9
    в) 100! =1*2*3*.*99*100
       Опять выписываем числа кратные пяти: 5, 10, 15, 90, 95, 100
       В разложениях чисел 25,50, 55, 75 и 100  пятёрка встречается 2 раза, в   остальных - один раз. Получаем всего 25 пятёрок
       Ответ: показатель равен 25

  • Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители. При этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты. Рассмотрите, как выполнено разложение на простые множители число 504. Решите: 396, 264, 940, 1452, 420, 2510


    Решение: 396I2
    198I2
     99I3
     33I3
     11I11
     1
    396=2²×3²×11
    264I2
    132I2
      66I2
      33I3
     11I11
       1
    264=2³×3×11
    940I2
    470I2
    235I5
      47I47
       1
    940=2²×5×47
    1452I2
      726I2
      363I3
      121I11
        11I11
       1
    1452=2²×3×11²
     
    420I2
    210I2
    105I3
      35I5
       7I7
       1
    420=2²×3×5×7
    2510 I2
    1255 I5
       251I251
       1
    2510=2×5×251

  • За пишите разложение числа на простые множители, запишите все его простые делители и найдите все делители: б) 14; г)525; е)780.


    Решение: 14 = 2*7 (разложение и простые делители)
    Все делители числа 14:
    1, 2, 7, 14
    525 = 3*5*5*7(разложение и простые делители)
    Все делители числа 525:
    1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.
    780 = 2*2*3*5*13 (разложение и простые делители)
    Все делители числа 780:
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 20, 26, 30, 39, 52, 60, 65, 78, 130, 156, 195, 260, 390, 780.

  • Запишите составные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух однозначных простых чисел. Сколько таких составных чисел?


    Решение:
    Объяснения внизу
    Это числа 4; 6; 9; 10; 14; 15; 21; 25; 35. =9чисел.
    4=2•2
    6=3•2
    9=3•3
    10=5•2
    14=7•2
    15=5•3
    21=7•3
    25=5•5
    35=7•5
    Ответ: всего таких 9 чисел.
    ПРАВИЛА_____________ ______________
    Составные числа, это когда число делится не только на 1 и на само себя, а ещё на другие числа. Например 4:1=4; 4:2=2; 4:4=1; число 4 делится на (1; 2; 4) значит оно составное. ___________
    простые числа это те, что на 1 и на себя делятся. (1 обычно не пишется, потому что все числа делятся на него);
    число 7; 7:1=7; 7:7=1; 7 делится только на (1; 7) значит оно простое. ________
    ВСЕ числа Чётные, кроме числа "2" ! это составные числа и все что окончание 0, 2, 4, 6, 8. _________ Например 10, 20, 48, 50, 84, 92, 108, 264. Смотрим последнюю цифру- четная, значит число составное. ________
    Не Четные числа проверяем раскладывая на множители или проще правила вспоминаем; _______ например число 42; сумма цифр 4+2=6; делим на 3; 6:3=3; значит число все делится на 3; или 123; не четное; сумма цифр 1+2+3=6; делим на 3; 6:3=2; дальше число можно не проверять, у него точно делителей больше чем 1 и само на себя; 123 делители (1; 3; 41; 123) значит составное; _____ все числа где сумма на "3" делится- составные, КРОМЕ "3"- оно простое, выучить; ________________
    число, что делится на 5, тоже составное; ________ признак делимости на 5; это в конце (0 или 5), "0" входит в Четные, значит только "5" смотрим, если 5 в конце (15; 25; 105; 235) то составное; это главные ПРАВИЛА проверить составное или нет число. Кроме этих чисел 1,2,3,5,7 -ПРОСТЫЕ!
    Используем правила _______________
    1) смотрим четное или нет; 2) если не четное, тогда признак делимости на 3; сумма цифр должна делится на 3; делится- число точно составное. 3) делимость на "5"; если "0" или "5" вконце, тогда составное; и ещё делим на "7" делится- тоже составное)

1 2 3 > >>