неравенства » решить рациональное неравенство
  • 1.Найдите пересечение и объединение множества рациональных чисел и множества действительных чисел.

    2.При каких значениях b неравенство bx>6имеет такое же множество решений, что и неравенство x>(6)\(b)


    Решение: 1) Q - множество рациональных чисел. R - действительных чисел.

    $$ Q \cup\ R = R\\Q \cap\ R = Q $$

    2) При каких значениях b неравенство bx>6 имеет такое же множество решений, что и неравенство x>(6)\(b)

    Если b < 0, то bx>6 тогда, когда x <6/b (покажем это, b = -c, -cx>6, x<-6/c=(6/(-c))=(6/b))

    b = 0 рассматриваем, очевидно, остается b > 0.

  • Рациональные неравенства. Решите неравенства:
    $$ (x - \frac{1}{4})(x + 4) > 0 $$
    $$ (x - \frac{4}{9})(x - \frac{1}{3}) < 0 $$


    Решение: В) (x-1/4)*(x+4)>0
    -∞_______+________-4________-______1/4_______+______+∞
    x∈(-∞;-4)U(1/4;+∞).
    г) (x-4/9)*(x-1/3)<0         4/9≈0,44    1/3≈0,33
    -∞________+________1/3_______-________4/9________+_______+∞
    x∈(1/3;4/9).

    Произведение множителей равно нули, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    В   x- x - - - x - - U .г   x- x-...
  • Решение рациональных неравенств $$ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 1} \ge \frac{1}{x} $$


    Решение: $$ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} \geq \frac{1}{x} \\ \frac{1}{x-2}+ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \geq 0 $$
    Приводим дроби к общему знаменателю
    $$ \frac{x(x-1)+x(x-2)-(x-2)(x-1)}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 \\ \frac{x^2-x+x^2-2x-x^2+3x-2}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 \\ \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 $$

    Рассмотрим функцию 
    $$ y= \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)} $$
    $$ x(x-2)(x-1)eq 0 \\ x_1e 0 \\ x_2e 2 \\ x_3e 1 $$
    $$ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty) $$
    y=0
    $$ \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)}=0 \\ x^2-2=0 \\ x=\pm \sqrt{2} $$

    Ответ: 
    $$ x \in [- \sqrt{2} ;0)\cup(1;\sqrt{2}]\cup(2;+\infty) $$frac x- frac x- geq frac x frac x- frac x- - frac x geq 
Приводим дроби к общему знаменателю
 frac x x- x x- - x- x- x x- x- geq frac x -x x - x-x x- x x- x- geq frac x - x...
  • Решите системы рациональных неравенств неравенств 4(9х+3)-9(4х+3)>3(х-2) (х+9)<0


    Решение:
    −15>3⇒
    −18>04(9x+3)−9(4x+3)=Раскрытие скобок:36x+12−36x−27=12−27=Приведение подобных:−15
    −15>3⇒−18>0
    Ответ: x∈∅ , т.е. решений нет.
    Т.к. первое неравенство не имеет решений, то и данная система неравенств не имеет решений.

  • Опишите применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенств


    Решение: Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
    Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось  и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось  на  N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

  • Тема: "Рациональные неравенства", решить с пояснениями:
    1. (2x-3)(5x+2)>(или =) (2x-3)(3x-8)
    2.x^2(x^2-16)<(или =) 9(x^2-16)


    Решение:

    1. (2x-3)(5x+2)≥ (2x-3)(3x-8)
    (2x-3)(5x+2)- (2x-3)(3x-8)≥0
    (2x-3)(5x+2-3x+8)≥0
    (2x-3)(2x+10)≥.
    x=1,5  x=-5
    x∈(-∞;-5] U [1,5;∞)
    2.x^2(x^2-16)≤ 9(x^2-16)
    x^2(x^2-16)-9(x^2-16) ≤0
    (x²-16)(x²-9)≤0
    (x-4)(x+4)(x-3)(x+3)≤0
    x=4  x=-4  x=3  x=-3
         +                  _                  +            _                +
    ---------[-4]-------------[-3]----------[3]---------[4]------------------
    x∈[-4;-3] U [3;4]

    . x- x x- x- x- x - x- x- x- x - x x- x .x   x - x - - U .x x - x - 
x x - - x - x - x - x- x x- x x   x -   x   x - 
                                                      ...
  • Решите иррациональное неравенство.(х-2)(2х-3)(5-х)≥0


    Решение: Все множители приравниваем к 0: x=2 x=1.5 x=5.
    Нарисуем числовую прямую (координатную), расставим на ней вычисленные нами точки( наши х), расставим знаки на этой прямой начиная с минуса, тогда 
    х принадлежит ( - бесконечности; 1.5]U[2;5]. И это не иррациональное неравенство!

  • решите иррациональное неравенство:

    корень из икс больше или равно 2


    Решение: корень из икс больше или равно 2, то есть решением искомого неравенства будут все числа, квадратный корень из которых будет больше или равен 2. Следовательно, этому условию удовлетворяют числа, находящиеся в промежутке от 4 (включительно) до плюс бесконечности.

    корень из Х  > или = 2

    Х > или = 4

    ответ: Х = [ 4; + бесконечность)

  • Решите иррациональное неравенство $$ x^2 - \sqrt{x^2 - 2x} < 2x + 12 $$


    Решение: $$ (x^2-2x)-\sqrt{x^2-2x}-12 < 0 \\ \sqrt{x^2-2x} = t $$
    $$ \begin{cases} t \geq 0 \\ t^2-t-12 < 0 \end{cases} < = > \begin{cases} t \geq 0 \\ (t+3)(t-4) < 0\end{cases} < = > \begin{cases} t \geq 0 \\ -3 < t < 4\end{cases} \\ = > 0 \leq t < 4 $$
    $$ 0 \leq \sqrt{x^2-2x} < 4 \\ 0 \leq x^2-2x < 16 \\ \begin{cases} x^2-2x \geq 0 \\ x^2-2x -16 < 0 \end{cases} < = > \begin{cases} x(x-2) \geq 0 \\ (x-1+\sqrt{17})(x-1-\sqrt{17}) < 0\end{cases} < = > $$
    $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty) \\ x \in (1-\sqrt{17}; 1+\sqrt{17}) \end{cases} => \boxed {x \in (1-\sqrt{17};0] \cup [2; 1+\sqrt{17}) } $$
    x - x - sqrt x - x - sqrt x - x t begin cases t geq t -t- end cases begin cases t geq t t- end cases begin cases t geq - t end cases leq t leq sqrt x - x leq x - x begin case...
  • Решить иррациональное неравенство $$ \sqrt{7x+5} = \sqrt{2-3x} $$


    Решение: 1) $$ \sqrt{7x+5} = \sqrt{2-3x} $$
    ОДЗ: 7x+5≥0 2-3x≥0
      7x≥ -5 -3x≥ -2
      x≥ -5/7 x≤ 2/3
    x∈[-5/7; 2/3]

    7x+5=2-3x
    7x+3x=2-5
    4x= -3
    x= -3/4 

    -5/7 = (-5*4)/(7*4)= -20/28
    -3/4 = (-3*7)/(4*7)= -21/28

    x=-3/4∉[-5/7; 2/3]
    нет решений.
    Ответ: нет решений.
1 2 3 > >>