неравенства »

решить рациональное неравенство

  • 1.Найдите пересечение и объединение множества рациональных чисел и множества действительных чисел.

    2.При каких значениях b неравенство bx>6имеет такое же множество решений, что и неравенство x>(6)\(b)


    Решение: 1) Q - множество рациональных чисел. R - действительных чисел.

    $$ Q \cup\ R = R\\Q \cap\ R = Q $$

    2) При каких значениях b неравенство bx>6 имеет такое же множество решений, что и неравенство x>(6)\(b)

    Если b < 0, то bx>6 тогда, когда x <6/b (покажем это, b = -c, -cx>6, x<-6/c=(6/(-c))=(6/b))

    b = 0 рассматриваем, очевидно, остается b > 0.

  • Рациональные неравенства. Решите неравенства:
    $$ (x - \frac{1}{4})(x + 4) > 0 $$
    $$ (x - \frac{4}{9})(x - \frac{1}{3}) < 0 $$


    Решение: В) (x-1/4)*(x+4)>0
    -∞_______+________-4________-______1/4_______+______+∞
    x∈(-∞;-4)U(1/4;+∞).
    г) (x-4/9)*(x-1/3)<0         4/9≈0,44    1/3≈0,33
    -∞________+________1/3_______-________4/9________+_______+∞
    x∈(1/3;4/9).

    Произведение множителей равно нули, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    В   x- x - - - x - - U .г   x- x-...

  • Решение рациональных неравенств $$ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 1} \ge \frac{1}{x} $$


    Решение: $$ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} \geq \frac{1}{x} \\ \frac{1}{x-2}+ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \geq 0 $$
    Приводим дроби к общему знаменателю
    $$ \frac{x(x-1)+x(x-2)-(x-2)(x-1)}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 \\ \frac{x^2-x+x^2-2x-x^2+3x-2}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 \\ \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)} \geq 0 $$

    Рассмотрим функцию 
    $$ y= \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)} $$
    $$ x(x-2)(x-1)eq 0 \\ x_1e 0 \\ x_2e 2 \\ x_3e 1 $$
    $$ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty) $$
    y=0
    $$ \frac{x^2-2}{x(x-2)(x-1)}=0 \\ x^2-2=0 \\ x=\pm \sqrt{2} $$

    Ответ:     $$ x \in [- \sqrt{2} ;0)\cup(1;\sqrt{2}]\cup(2;+\infty) $$frac x- frac x- geq frac x frac x- frac x- - frac x geq Приводим дроби к общему знаменателю frac x x- x x- - x- x- x x- x- geq frac x -x x - x-x x- x x- x- geq frac x - x...

  • Решите системы рациональных неравенств неравенств 4(9х+3)-9(4х+3)>3(х-2) (х+9)<0


    Решение:
    −15>3⇒    −18>04(9x+3)−9(4x+3)=Раскрытие скобок:36x+12−36x−27=12−27=Приведение подобных:−15
    −15>3⇒−18>0
    Ответ: x∈∅ , т.е. решений нет.
    Т.к. первое неравенство не имеет решений, то и данная система неравенств не имеет решений.

  • Опишите применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенств


    Решение: Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
    Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось  и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось  на  N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

1 2 3 > >>