неравенства »

решить рациональное неравенство - страница 2

  • Решите иррациональное неравенство. $$ \sqrt{x^2-3x+2}<5-x $$


    Решение: $$ \sqrt{x^2-3x+2}<5-x;\\ D(f): \left\{{{5-x>0} \atop {x^2-3x+2 \geq 0}}\right. \\ D=9-8=1; x_1= \frac{3-1}{2}=1;x_2= \frac{3+1}{2}=2;\\ \left\{ {{x<5} \atop { \left[{{x\leq1} \atop {x\geq2}} \right. }} \right. \\ x\in(-\infty;1]\bigcup[2;5) x^2-3x+2<(5-x)^2;\\ x^2-3x+2<25-10x+x^2;\\ 7x<23;\\ x< \frac{23}{7}=3 \frac{2}{7} \\ x\in(-\infty;1]\bigcup[2;3\frac{2}{7}) $$

    Вариант решения во вложении:   sqrt x - x atop x - x geq right. D - x frac - x frac left x...

  • Решите одно иррациональное неравенство $$ 3 \sqrt{x-4}=14-x $$


    Решение: Решите одно иррациональное неравенство 3√(x-4)  = 14 -x ; 
    ОДЗ x - 4 ≥ 0 ⇒ x  ≥4 .
    Если 14 -x ≥ 0 ⇒x ≤ 14 * * *  4 ≤ x≤ 14⇔  x∈[4 ;14]  * * *
    то : 
    (3√(x-4 ))²  = (14 -x)² ;
    9(x-4) = 196 -28x +x² ;
    x² -37x +232 =0 ;
    x₁ = 8  ∈ [4 ; 14] 
    x₂ = 29 ∉ [4 ; 14]

    ответ: 8 .



    Вариант 2

    ОДЗ  x-4≥0⇒x≥4 U 14-x≥0⇒x≤14⇒x∈[4;14]
    9(x-4)=196-28x+x²
    x²-28x+196-9x+36=0
    x²-37x+232=0
    x1+x2=37 U x1*x2=232
    x1=8 
    x2=29∉ОДЗ
    Ответ х=8

  • Решить иррациональные уравнения и неравенство: √х+9= х-3
    под корнем х-2= под корнем х^2-4
    под корнем 12+х^2<6-х


    Решение: V - знак корня
    1)V(x+9) =x-3
    ОДЗ:
    {x+9>=0; x>=-9
    {x-3>=0; x>=3
    Решение ОДЗ: x>=3 
    Т.к. обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
    x+9= (x-3)^2
    x+9= x^2-6x+9
    x+9-x^2+6x-9=0
    -x^2+7x=0
    x^2-7x=0
    x(x-7)=0
    x=0; x=7
    x=0 нам не подходит по ОДЗ
    Ответ:{7}
    2)V(x-2)= V(x^2-4)
    ОДЗ:
    {x-2>=0; x>=2
    {x^2-4>=0; x<=-2, x>=2
    Решение ОДЗ: x>=2 
    Возведем в квадрат обе части:
    x-2=x^2-4
    x-2-x^2+4=0
    -x^2+x+2=0
    x^2-x-2=0
    D=(-1)^2-4*1*(-2)=9
    x1=(1-3)/2=-1 - не подходит по ОДЗ
    x2=(1+3)/2=2
    Ответ:{2}
    3)V(12+x^2) <6-x
    В левой части неравенства стоит корень,принимающий только неотрицательные значения. Следовательно, и правая часть должна быть положительной.
    ОДЗ:
    {12+x^2>=0 при x e R
    {6-x>0, x<6
    Решение ОДЗ: x<6
    Возведем в квадрат обе части:
    12+x^2<(6-x)^2
    12+x^2<36-12x+x^2
    12+x^2-36+12x-x^2<0
    12x-24<0
    12x<24
    x<2
    С учетом ОДЗ: x <2




  • Решить рациональное неравенство.(x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)≤0


    Решение: Квадратные трехчлены разложим на множители:
     x^{2} +2х-15 = (х - 3)(х + 5); x^{2} - 4х + 3 = (х - 1)(х - 3);
    получим (х - 3)(х + 5)(х - 1)(х - 3)(х - 1) ≤ 0. Решим методом интервалов.
    Найдем нули функции: х = 3, х = - 5, х = 1, х = 3, х = 1. Отметим их на оси х, определим знак на каждом интервале, берем промежутки со знаком -, т.к. неравенство ≤ 0. Ответ: [- ∞; - 5] и х = 1, х = 3.

  • РЕШИТЬ РАЦИОНАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО : 3/(Х-2)≥Х


    Решение: ОДЗ: $$ x eq 2 $$
    Переносим в левую часть, решаем уравнение...
    $$ \frac{3}{x-2} -x \geq 0 $$

    $$ \frac{3- x^{2} +2x}{x-2} \geq 0 $$

    Умножаем на -1
    $$ \frac{ x^{2} -2x-3}{x-2} \leq 0 $$

    $$ \frac{(x+1)(x-3)}{x-2} \leq 0 $$
    Решаем методом интервалов.
    $$ x=-1,x=3,x eq 2 $$
    Отмечаем значения на прямой, интервалы чередуются справа на лево + - + -.
    Берём те значения, где -.
    То есть ответ: (-бесконечности;-1] и (2;3]

  • Решите рациональное неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x - 3)(x - 8)}{x} < 0 $$


    Решение: Левая часть состоит из 3-х компонентов: (х-3), (х-8) и х
    Ищем нули этих выражений: это числа 3; 8; 0
    Всё дело в том, что метод интервалов заключается в том, что на интервале выражение сохраняет знак. Вот мы и проверим:
    -∞ 0 3 8 +∞
      - - + + это знаки (х-3)
      - - - + это знаки (х -8)
      - + + + это знаки х
    IIIIIIIIIIII IIIIIIIII
    Ответ: х ∈(-∞; 0)∪( 3;8) 

  • Решить рациональное неравенство $$ \frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0 $$


    Решение: 25-x(в квадрате)=0
    x1=5 x2=-5
    этих точек нет на графике, они выколотые
    решаемых уравнение x(в квадрате)+7x+12=0
    По теореме x1+x2=-7. x1*x2=12
    получаем x1=-3 x2=-4
    выставляемых в ряд числа -4. -3.
    так как x(в квадрате) без знака минуса ,то то ответ будет
    от минус бесконечности до -5 в объединение -5;-4 в объединение -3 ; плюс ∞.

  • Решить дробно-рациональное неравенство. х-2 \ (х+2)(х+5) больше или ровно 0.


    Решение: $$ \frac{x-2}{(x+2)(x+5)} \geq 0\\ O.D.Z.\\ (x+2)(x+5) eq 0\\ x+2 eq 0\\ x_1 eq -2\\ x+5 eq 0\\ x_2 eq -5\\ (x-2)(x+2)(x+5) \geq 0 $$

    Решаем неравенство методом интервалов.

    (x-2)(x+2)(x+5)≥0
    x_1 = 2
    x_2 = -2
    x_3 = -5
    Точки -2 и -5 выкалываем.

    Чертим числовую прямую , отмечаем точки , находим промежуток , к которому принадлежит х.
      -5 + -2 - 2 +
    ------- ------------------ ----------------- --------------------->

    x∈(-5;-2) U [2 ; + ∞) 

  • Здравствуйте, решите рациональное неравенство методом интервалов. $$ \frac{12x}{x + 2} - \frac{7x - 15}{x - 3} < 0 $$


    Решение: 1. 12x / (x+2) = (7x - 15) / (x-3)
    2. 12x²-36x=7x²-15x+14x-30
    3. 5x²-35x+30=0
    4. 5(x²-7x+6)=0
    5. 5(x-6)(x-1)=0
    x=6 и x=1
    подставляете 7 - получаете плюс 
    так как изначальное равенство меньше нуля, то ответ (1;6)

    Вторая задача
    2x7 = 2x6 - x +1
    2x7-2x6+x-1=0
    2x6(x-1)+(x-1)=0
    (x-1)(2x6+1)=0
    x-1=0 x=1 - тут получается, что больше 1 положительно, то есть наш ответ (1;∞)
    2x6+1=0 2x6=-1 - тут получается (-∞;∞)
    Совмещаем оба и получается ответ (1;∞)

    $$ 2x^7 > 2x^6-x+1\\\\2x^7-2x^6+x-1 > 0\\\\2x^6(x-1)+(x-1) > 0\\\\(x-1)(2x^6+1) > 0\\\\2x^6+1 > 0\; \; pri\; \; x\in R, \\\\x-1 > 0\\\\x>1\\\\x\in (1,+\infty ) $$

    $$ 2)\quad \frac{12x}{x+2} - \frac{7x-15}{x-3} < 0\\\\ \frac{12x(x-3)-(x+2)(7x-15)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ \frac{5x^2-35x+30}{(x+2)(x-3)} < 0\quad \frac{5(x^2-7x+6)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ \frac{5(x-1)(x-6)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ +++(-2)---(1)+++(3)---(6)+++\\\\x\in (-2,1)\cup(3,6) $$

  • 3) что значит,что два неравенства равносильны?
    5) имеет ли решения неравенство второй степени,если его дискриминант равен нулю? Какие случаи возможны?
    6)Что значит решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным?
    7) Как решают системы рациональных неравенств?


    Решение: 3) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают (в том числе, неравенства, не имеющие решений, считаются равносильными)
    5)Если дискриминант меньше нуля, значит график функции не пересекает ось ОХ! ! В данном случае, парабола будет направлена ветками вверх, следовательно в этом неравенство нет решения.
    Если бы 3x^2 - 8x + 14 > 0, то решением было бы x Є R, а здесь решения нет
    ------(     Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения)---------
    7)

    Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства.

    Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x), образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое целое выражение преобразовать в многочлен. Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) иh(x) имеют одинаковую область допустимых значений переменной x), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).

    В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному.

<< < 12 3 > >>