неравенства »

решить рациональное неравенство - страница 4

  • Решите рациональное неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x - 3)(x - 8)}{x} < 0 $$


    Решение: Левая часть состоит из 3-х компонентов: (х-3), (х-8) и х
    Ищем нули этих выражений: это числа 3; 8; 0
    Всё дело в том, что метод интервалов заключается в том, что на интервале выражение сохраняет знак. Вот мы и проверим:
    -∞ 0 3 8 +∞
      - - + + это знаки (х-3)
      - - - + это знаки (х -8)
      - + + + это знаки х
    IIIIIIIIIIII IIIIIIIII
    Ответ: х ∈(-∞; 0)∪( 3;8) 

  • Решить рациональное неравенство $$ \frac{x^2 + 7x + 12}{25 - x^2} > 0 $$


    Решение: 25-x(в квадрате)=0
    x1=5 x2=-5
    этих точек нет на графике, они выколотые
    решаемых уравнение x(в квадрате)+7x+12=0
    По теореме x1+x2=-7. x1*x2=12
    получаем x1=-3 x2=-4
    выставляемых в ряд числа -4. -3.
    так как x(в квадрате) без знака минуса ,то то ответ будет
    от минус бесконечности до -5 в объединение -5;-4 в объединение -3 ; плюс ∞.

  • Решить дробно-рациональное неравенство. х-2 \ (х+2)(х+5) больше или ровно 0.


    Решение: $$ \frac{x-2}{(x+2)(x+5)} \geq 0\\ O.D.Z.\\ (x+2)(x+5) eq 0\\ x+2 eq 0\\ x_1 eq -2\\ x+5 eq 0\\ x_2 eq -5\\ (x-2)(x+2)(x+5) \geq 0 $$

    Решаем неравенство методом интервалов.

    (x-2)(x+2)(x+5)≥0
    x_1 = 2
    x_2 = -2
    x_3 = -5
    Точки -2 и -5 выкалываем.

    Чертим числовую прямую , отмечаем точки , находим промежуток , к которому принадлежит х.
      -5 + -2 - 2 +
    ------- ------------------ ----------------- --------------------->

    x∈(-5;-2) U [2 ; + ∞) 

  • Здравствуйте, решите рациональное неравенство методом интервалов. $$ \frac{12x}{x + 2} - \frac{7x - 15}{x - 3} < 0 $$


    Решение: 1. 12x / (x+2) = (7x - 15) / (x-3)
    2. 12x²-36x=7x²-15x+14x-30
    3. 5x²-35x+30=0
    4. 5(x²-7x+6)=0
    5. 5(x-6)(x-1)=0
    x=6 и x=1
    подставляете 7 - получаете плюс 
    так как изначальное равенство меньше нуля, то ответ (1;6)

    Вторая задача
    2x7 = 2x6 - x +1
    2x7-2x6+x-1=0
    2x6(x-1)+(x-1)=0
    (x-1)(2x6+1)=0
    x-1=0 x=1 - тут получается, что больше 1 положительно, то есть наш ответ (1;∞)
    2x6+1=0 2x6=-1 - тут получается (-∞;∞)
    Совмещаем оба и получается ответ (1;∞)

    $$ 2x^7 > 2x^6-x+1\\\\2x^7-2x^6+x-1 > 0\\\\2x^6(x-1)+(x-1) > 0\\\\(x-1)(2x^6+1) > 0\\\\2x^6+1 > 0\; \; pri\; \; x\in R, \\\\x-1 > 0\\\\x>1\\\\x\in (1,+\infty ) $$

    $$ 2)\quad \frac{12x}{x+2} - \frac{7x-15}{x-3} < 0\\\\ \frac{12x(x-3)-(x+2)(7x-15)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ \frac{5x^2-35x+30}{(x+2)(x-3)} < 0\quad \frac{5(x^2-7x+6)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ \frac{5(x-1)(x-6)}{(x+2)(x-3)} < 0\\\\ +++(-2)---(1)+++(3)---(6)+++\\\\x\in (-2,1)\cup(3,6) $$

  • 3) что значит,что два неравенства равносильны?
    5) имеет ли решения неравенство второй степени,если его дискриминант равен нулю? Какие случаи возможны?
    6)Что значит решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным?
    7) Как решают системы рациональных неравенств?


    Решение: 3) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают (в том числе, неравенства, не имеющие решений, считаются равносильными)
    5)Если дискриминант меньше нуля, значит график функции не пересекает ось ОХ! ! В данном случае, парабола будет направлена ветками вверх, следовательно в этом неравенство нет решения.
    Если бы 3x^2 - 8x + 14 > 0, то решением было бы x Є R, а здесь решения нет
    ------(     Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения)---------
    7)

    Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства.

    Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x), образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое целое выражение преобразовать в многочлен. Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) иh(x) имеют одинаковую область допустимых значений переменной x), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).

    В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному.

<< < 234 5 > >>