неравенства » найдите целое решение неравенства

  • Найдите число целых решений неравенства $$ \frac{8x + 3}{(x^2 + 2x + 1)(x^2 + x - 6)} \ge \frac{1}{x^2 - x - 2} $$


    Решение: Х²+2х+1=(х+1)²
    x²+x-6=(x-2)(x+3) корни находим по теореме Виета х1=2 х2=-3
    x²-x-2=(x+1)(x-2) корни х=-1 и х=2

    $$ \frac{8x+3}{( x+1)^{2} (x-2)(x+3)} \geq \frac{1}{(x-2)(x+1)} \\ \frac{(8x+3)-(x+1)(x+3)}{ (x+1)^{2}(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{8x+3- x^{2} -4x-3}{ (x+1)^{2} (x-2)(x+3)} \geq 0 \\ - \frac{ x^{2} -4x}{ (x+1)^{2}(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{x(x-4)}{ (x+1)^{2}(x-2)(x+3)} \leq 0 $$


    Знак неравенства поменяли на противоположный,потому что умножили на (-1).

    ОДЗ
    х≠-1
    х≠2
    х≠-3
    эти точки будут выколоты, так как делить на ноль нельзя

    (х+1)²≥0, при любых значениях х, так как квадрат числа всегда положительное число или ноль

    Далее решаем методом интервалов, ставим точки х=0, х=4, х=2, х=-3

       +  -  +  -
    ...........-3////////////.-1.////0.............2./////////////4.......

    РЕШЕНИЕ:x=(-3;0] ∨x=(2;4], но точки х=-1 и х=-3 и х=2 выколоты, им х не равен.

  • 2. Сравните числа: а) –4,6 и 4,1; б) –3 и –3,2; в) – и – ; г) – и 0. _______________________ 3. Найдите значение выражения: а) | –5,2 | + | 3,6 |; б)| –4,32 | : | –1,8 |; в) . 4. Решите уравнение: а) –у = 2,5; б) –х = –4,8. 5*. Сколько целых решений имеет неравенство –26 < у < 158 ?


    Решение: -4,6 меньше 4,1
    -3 больше -3,2
    -меньше 0
    -равен -
    3.а)-1,6
      б)-2,4
     

    2.
    а) –4,6 < 4,1;
    б) –3 > –3,2;
    в) – и – ;
    г) – < 0.

    3.
    а) | –5,2 | + | 3,6 | = -1.6
    б)| –4,32 | : | –1,8 |    = -2.4

    4.
    а) –у = 2,5
    y=-2.5
     б) –х = –4,8
    x=4.8

    5.
    –26 < у < 158
    Ответ:184.



  • Тема:Положительные и отрицательные числа
    Координаты на прямой.
    Найдите значение выражения:
    |-5.2|+|3.6| ; |-4.32|:|-1.8| ; | -3 5/9| - | -1 11/18|
    Решите уравнение:
    -у = 2.5 ; -х = -4.8 ; |у|=8
    И еще:
    Сколько целых решений имеет неравенство -26<у<158


    Решение: 1) |-5,2|+ |3,6| = 5,2 + 3,6 = 8,8

    |-4,32|:|-1,8|= 4,32 : 1,8 = 2,4

    |-3 5\9| - | -1 11|18| = 3 5\9 - 1 11\18 =32\9 - 29\18 =64\18 - 29\18 =35\18

    модуль любого числа может быть только положительным , т. е /-5,2/ = 5,2 и т.д.

    2)-у = 2,5

    у = -2,5

    -х = -4,8

    х = 4,8

    /у/ = 8

    у = 8 или у = - 8

    3) 25 целых чисел от-25 до -1 + 0 (тоже целое число) + 157 целых чисел от 1 до 157 = 183целых числа могут быть решением неравенства



  • Найдите множество решений двойного неравенства A) 1<3x-1 делить на x+2 < 3
    б) -1


    Решение: $$ 1< \frac{3x-1}{x+2} <3\\1< \frac{3(x+2)-7}{x+2} <3\\1< 3-\frac{7}{x+2} <3\\-2<-\frac{7}{x+2} <0\\0<\frac{7}{x+2} <2\\1)\frac{7}{x+2}>0\\\frac{1}{x+2}>0\\(-2;+)\\2)\frac{7}{x+2}<2\\\frac{7}{x+2}-2<0 $$
    $$ \frac{3-2x}{x+2}<0\\\frac{2x-3}{x+2}>0\\\frac{x-1,5}{x+2}>0\\ (-;-2)U(1,5;+)\\Answer:(1,5;+) $$
    $$ -1< \frac{ x-2 }{ x+3} <1\\-1< \frac{ x+3-5 }{ x+3} <1\\-1<1- \frac{ 5 }{ x+3} <1\\-2<- \frac{ 5 }{ x+3} <0\\0< \frac{ 5 }{ x+3} <2\\1)\frac{ 5 }{ x+3} >0\\\frac{1 }{ x+3} >0\\(-3;+)\\2)\frac{ 5 }{ x+3} <2\\\frac{ 5 }{ x+3} -2<0\\\frac{-2x-1}{ x+3} <0\\\frac{2x+1}{ x+3} >0 $$
    $$ \frac{x+0,5}{ x+3}>0\\(-;-3)U(-0,5;+)\\Answer:(-0,5;+) $$

  • Найдите число целых решений двойного неравенства-4<0.3х+2<10


    Решение: 0,3х+2<10 0,3х<8 х<26,6(6) 
    0,3х+2>-4 0,3х>-6 х>-20
     

    ------------------------------------------------------------
      - 20 26,6(6)
      число целых чисел двойного неравенства будет от -19 до 25 включая эти числа: -19,-18,-17,-16,-15,-14,..........24,25. это будет число 45 решений двойного неравенства.

  • Найдите натуральное значение параметра p, при котором во множестве решений неравенства(1+x)(p-x)>=0 содержит 5 целых чисел


    Решение: (1+х)(р-х)≥0
    -(1+х)(х-р)≥0
    (х+1)(х-р)≤0
    р - натуральные числа (1;2;3 и т.д.)
    решая неравенство методом интервалов, находим интервал:
    [-1;р]. Из этого интервала берём 5 целых чисел: -1;0;1;2;3
    Значит, р=3 и решением неравенства (1+х)(3-х)≥0 действительно будет интервал [-1;3]
    ответ: 3

  • найдите такое натуральное значение параметра p, при котором во множестве решений неравенства (x-8)(p+x)<=0 содержатся: а) десять целых чисел; б) дваотрицательных целых числа; в) четыре целых не положительных числа; г) только положительные целые числа.


    Решение: (x-8)(p+x)≤0, p∈N,

    x^2+(p-8)x-8p≤0,

    a=1>0,

    x^2+(p-8)x-8p=0,

    D=(p-8)^2-4*(-8p)=(p+8)^2>0,

    x_1=(-(p-8)-(p+8))/2=-p,

    x_2=(-(p-8)+(p+8))/2=8,

    -p≤x≤8, x∈[-p;8];

    a) x_2=x_1+9,

    -p+9=8,

    p=1,

    -1≤x≤8, x∈[-1;8]; /-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

    б) -3<x_1≤-2,

    -3<-p≤-2,

    2≤p<3,

    p=2,

    -2≤x≤8, x∈[-2;8]; /-2, -1

    в) -4<x_1≤-3,

    -4<-p≤-3,

    3≤p<4,

    p=3,

    -3≤x≤8, x∈[-3;8]; /-3, -2, -1, 0

    г) x_1>0,

    -p>0,

    p<0, p∉N

  • 1.Найдите сумму целых решений неравенства: |2-5x|<22 2.Найдите числонатуральных решенией неравенств: 2х-3+1\2х-1≤0 (\-дробная черта 1\2х-1) 3.Найдите целое решение неравенства: х-1\х+1<0 4.Сколько натуральных решений имеет неравенство 3х-12\х-1<0


    Решение: 1. по модулю решается 2 раза.с + и с -.

    2-5х<22

     -5x<20

    x>-4

     и

     -2+5x<22

    5x<24

    x< 4.8

    (-4;4.8)

    целые решения:-3,-2,-1,0,1,2,3,4)

    складываем все эти числа и получаем 4. 

    2. 2x-3+1/2x-1<=0

    2x-1 неравно 0

    х не равен 1/2

    избавляемся о т знаменателя,все умножаем на 2ч-1

    получается

    4х^2-2x-6x+3+1<=0

     приводим подобные

    4x^2-8x+4<=0

    сокращаем на 4

    x^2-2x+1<=0

    x=1

    решение получается от минус бесконечности до 1/2, и от 1/2 до 0

    (-бесконечн;1/2)объединяется с (1/2;1]

    3.х-1/х+1<0

    на ноль делить нельзя,значит знаменатель не равен нулю

    надо чтобы числитель и знаменатель были с разными знаками, потому что если и числ и знамен будут отриц, то число выйдет больше нуля,а нам надо меньше 

    х+1не равно 0

    х не равен -1

    х-1=0

    х=1

    (-1;1)

    целое решение одно, только 0.

    4.3x-12/x-1<0

    x-1 не равно 0

    х не равен 1

    также как и в 3 надо чтобы числитель и знаменатель были с разными знаками, потому что если и числ и знамен будут отриц, то число выйдет больше нуля,а нам надо меньше

    3x-12<0

    х<4 но судя по знаменателю х>1

    ответ от 1 до 4

    (1;4)

    натуральных 2, это числа 2 и 3. 

  • Найти наибольшие целые значения x, удовлетворяющие неравенствам: \( lg(x^{2}+2x+2)<1 \)


    Решение: lg(x^2 + 2x + 2) < 1

    lg(x^2 + 2x + 2) < lg10

    x^2 + 2x + 2 - 10 < 0

    x^2 + 2x - 8 < 0

    x = -1 ± 3

    x = -4; x = 2; (-4;2)

    x^2 + 2x + 2 > 0

    (x + 1)^2 + 1 > 0

    Наибольшее целое значение X=1

  • Найдите число целых решений неравенства Х в квадрате*3 в степени Х и вычесть 3 в степени Х+1 <= 0


    Решение: 9^x - 3^x - 6 > 0

    3^2x - 3^x - 6 > 0

    замена

    3^x = y

    ОДЗ: у > 0

    y² - y - 6 > 0

    найдём нули функции  f(y) = y² - y - 6

    решим уравнение y² - y - 6 = 0

    D = 1 + 24 = 25

    √D = 5

    y₁ = (1 - 5):2 = -2

    y₁ = (1 + 5):2 = 3

    График функции f(y) = y² - y - 6  квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)

    c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)

    вернёмся к замене

    3^x = 3

    х = 1

    Ответ: х∈(1; +∞)

1 2 > >>