степени »

сумма степеней

  • Найдите сумму действительных корней уравнения x(в степени3)+6x(в степени2)+12x+35=0.


    Решение: X^3 + 6x^2 + 12x + 35 = 0
    Выделим полный куб суммы
    x^3 + 3*x^2*2 + 3*x*2^2 + 2^3 - 2^3 + 35 = 0
    (x + 2)^3 - 8 + 35 = (x + 2)^3 + 27 = 0
    Это сумма кубов, которая раскладывается
    (x + 2 + 3)((x + 2)^2 - 3(x + 2) + 3^2) = 0
    (x + 5)(x^2 + 4x + 4 - 3x - 6 + 9) = 0
    (x + 5)(x^2 + x + 7) = 0
    x1 = -5,
    квадратное ур-ние действительных корней не имеет.
    Ответ: -5

  • Соотнесите десятичную дробь с разложением в сумму разрядных слагаемых x-умножить

    ^-степень
    ^(-1)-отрицательная степень сумма разрядных слагемых 1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4) 2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) 3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4)
    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) 5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) десятичная дробь А)0,7041 Б)0,7401 В)7,401 Г)70,0401 Д)0,0741


    Решение: 1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4) = 0,7401

    2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) = 7,401

    3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4) = 70,0401
    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,0741

    5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,7041

    Ответ:1-Б;2-В;3-Г;4-Д;5-А

    1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ : Б)0,7401;

    2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) :Ответ: В)7,401;

    3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ: Г)70,0401;

    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: Д)0,0741;

    5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: А)0,7041.

  • Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности,представьте в виде многочлена выражение:
    а) (а+b)в четвёртой степени
    б) (а-b)в четвёртой степени.


    Решение: $$ (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2;\\ (a\pm b+c)^2=a^2+b^2+c^2\pm2ab+2ac\pm2bc;\\ (a+b)^4=(a^2+2ab+b^2)^2=\\=(a^2)^2+(2ab)^2+(b^2)^2+2\cdot a^2\cdot 2ab+2\cdot a^2\cdot b^2+2\cdot2ab\cdot b^2=\\=a^4+4a^2b^2+b^4+4a^3b+2a^2b^2+4ab^3=\\=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4;\\(a-b)^4=(a^2-2ab+b^2)^2=\\=(a^2)^2+(-2ab)^2+(b^2)^2+\\+2\cdot a^2\cdot(-2ab)+2\cdot a^2\cdot b^2+2\cdot(-2ab)\cdot b^2=\\=a^4+4a^2b^2+b^4-4a^3b+2a^2b^2+-4ab^3=\\=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4; $$
    $$ (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4;\\ (a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4;\\ (a\pm b)^4=a^4\pm4a^3b+6a^2b^2\pm4ab^3+b^4;\ $$

  • Произведение 10-ти натуральных чисел равно 10 в 10 степени. Какое наибольшее значение может принимать их сумма, если числа на обязательно различны?


    Решение: Первое число х
    Второе число х+1
    Третье число х+2
    Четвертое число х+3
    Сумма этих чисел 3024

    Составляем уравнение:
    х + (х+1) + (х+2) + (х+3) = 3024
    4х + 6 = 3024
    4х = 3024 - 6
    4х = 3018
    х = 3018 : 4
    х = 754.5

    второе число 754,5 + 1 = 755,5
    третье число 754,5 + 2 = 756,5
    четвертое число 754,5 + 3 = 757,5

  • Однородное тригонометрическое уравнение 2й степени:
    a*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0
    И сказано "сумма показателей степеней у всех слагаемых при sinx и cosx равна двум".


    Решение: A*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0
    sin²x-2 степень
    sinxcosx-2степень (1+1)
    cos²x-2 степень
    a*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0 /cos²x≠0
    atg²x+btgx+c=0
    tgx=m
    am²+bm+c=0
    D=b²-4ac
    1)D<0-нет решения
    2)D=0
    m=-b/2a⇒tgx=-b/2a⇒x=arctg(-b/2a)+πn
    3)D>0
    m1=(-b-√b²-4ac)/2a⇒tgx=(-b-√b²-4ac)/2a⇒x=arctg(-b-√b²-4ac)/2a+πn
    m2=(-b+√b²-4ac)/2a⇒tgx=(-b+√b²-4ac)/2a⇒x=arctg(-b+√b²-4ac)/2a+πn

  • Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56


    Решение: 7n + 7n + 1 = 7n(1 + 7) = 7n×8 делится на 7 и на 8, следовательно, делится на 56.

    Докажите что сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при $$ n \geq 1 $$.

    Докажем по индукции:

    База индукции: $$ n = 1, 7 + 7^2 = 56 $$ 

    Индукционное предположение:  Пусть $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56

    Шаг индукции: Покажем, что $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$ делится на 56.

    Действтельно, $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1}) $$

    Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

    В силу Утверждения 1, так как $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56, то и $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$делится на 56.

    Вывод: Сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при \( n \geq 1 \).

  • Представьте число в виде суммы степеней основания с коэффициентами:1203 в третьей степени счисления, 43020 в пятой степени счисления, 70652 в 8 степени счисления


    Решение: 1. 1203:3=401 ост 0
      401:3=133 ост 2
      133:3=44 ост. 1
      44:3=14 ост. 2
      14:3=4 ост. 2
      4:3=1 ост.1
      1:3=0 ост.1
      1122120₃ 
    2. 43020:5=8604 ост. 0
      8604:5=1720 ост. 4
      1720:5=344 ост.0
      344:5=68 ост.4
      68:5=13 ост.3
      13:5=2 ост.3
      2:5=0 ост.2
      2334040₅
    3.
    70652:8=8831 ост.4
    8831:8=1103 ост.7
    1103:8=137 ост.7
    137:8=17 ост.1
    17:8=2 ост.1
    2:8=0 ост.2
    211774₈

  • Найдите сумму степеней многочлена -2а^3 * (3b-2ab+a) и одночлена-3xy^2


    Решение: Сумма степеней многочлена - наибольшая степень в многочлене. Но чтобы её найти, нужно привести многочлен к стандартному виду.
    -2а^3×(3b-2ab+a)=-6a^3b+4a^4b-2a^4=> наибольшая степень этого многочлена - 5.
    Сумма степеней одночлена - сумма всех его степеней, отсюда следует, сумма степеней одночлена -3ху^2 равна 3.

  • Какой цифрой оканчивается сумма: 54 в степени35+ 28 в степени 21


    Решение: 54 оканчивается на 4, во второй степени 4*4=16 последняя цифра 6, в третьей 6*4=24 последняя цифра 4, значит в 35 степени (нечетной) последняя цифра будет 4.

    28 оканчивается на 8, по той же логике 8*8=64, 4*8=32, 2*8=16, 6*8=48, значит в пятой степени последняя цифра 8, следовательно и в 21 степени последняя цифра будет 8

    Сумма 4 и 8 = 12

    Ответ: 2

  • Сумма числа и его удвоенной четвертой степени наименьшая. Найдите это число.


    Решение:

    F(x)=x+2x⁴
    f `(x)=(x+2x⁴)`=1+2*4x³=1+8x³=1³+(2x)³=(1+2x)(1-2x+4x²)
    f `(x)=0 при (1+2x)(1-2x+4x²)=0
      2(0,5+x)(1-2x+4x²)=0
      1-2x+4x²≠0 (D=-12<0)
      - +
      __________-0,5________________
      min
    при х=-0,5 функция f(x)=x+2x⁴ принимает наименьшее значение
    Ответ: -0,5

1 2 3 > >>