степени » сумма степеней
  • Найдите сумму действительных корней уравнения x(в степени3)+6x(в степени2)+12x+35=0.


    Решение: X^3 + 6x^2 + 12x + 35 = 0
    Выделим полный куб суммы
    x^3 + 3*x^2*2 + 3*x*2^2 + 2^3 - 2^3 + 35 = 0
    (x + 2)^3 - 8 + 35 = (x + 2)^3 + 27 = 0
    Это сумма кубов, которая раскладывается
    (x + 2 + 3)((x + 2)^2 - 3(x + 2) + 3^2) = 0
    (x + 5)(x^2 + 4x + 4 - 3x - 6 + 9) = 0
    (x + 5)(x^2 + x + 7) = 0
    x1 = -5,
    квадратное ур-ние действительных корней не имеет.
    Ответ: -5

  • 1) Найти значение выражения 3sqrt2*2^(1/2)- корень из 16 в степени 4 2)Вычислить 8^(2-log числа 6 пооснованию2) +5^(-log числа27 по основанию 5) 3) Найти сумму корней уравнения 9^ (x-1/2)=27^(x^2-1)


    Решение: 1) Если я правильно понял автора, вижу так:

    $$ 3\sqrt2*2^{\frac{1}{2}}-\sqrt{16^4}=3\sqrt2*\sqrt2-16^2=3*2-256=-250 $$

    2) $$ 8^{2-log_26}+5^{-log_527}=(2^3)^{2-log_26}+5^{log_5\frac{1}{27}}=\frac{2^6}{2^{3log_26}}+5^{log_5\frac{1}{27}}= \\ =\frac{2^6}{6^3}+\frac{1}{27}=\frac{2^6}{2^3*3^3}+\frac{1}{27}=\frac{8}{27}+\frac{1}{27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3} $$

    3) $$ 9^{x-1/2}=27^{x^2-1} \\ 3^{2x-1}=3^{3x^2-3} \\ 2x-1=3x^2-3 \\ 3x^2-2x-2=0. $$

    D=(-2)²+24=28>0. Значит, уравнение имеет 2 корня х₁ и х₂.

    Получили, что исходное показательное уравнение равносильно квадратному. Значит, согласно теореме Виета

    $$ x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3} $$

  • Назовем натуральное число n-богатым,если сумма всех его натуральных делителей больше 2n.например ,12 -число богатое,т.к.1+2+3+4+6+12 больше 24.Каким неможет быть богатое число?
    А)точным квадратом
    Б)числом,кратным 2013
    В)больше миллиона
    г)степень. числа 3
    д)каждое из свойств А-Г -возможно.


    Решение: a) n^2

         n^2+n+1 >= n + n + 1 > n

    г) 3^n

        3 + 3^2 + ... + 3^n = 3(1+3+...+3^n-1) = 3*(3^n -1)/(3-1) = 3/2*3^n - 3/2 < 2*3^n

    Из того, что необходимо выбрать один вариант, и вариант д) оказался невозможным в силу того, что в варианте г) степень числа трех не может быть n-богатым, остаётся г)

    Вариант г)

  • Соотнесите десятичную дробь с разложением в сумму разрядных слагаемых x-умножить

    ^-степень
    ^(-1)-отрицательная степень сумма разрядных слагемых 1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4) 2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) 3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4)
    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) 5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) десятичная дробь А)0,7041 Б)0,7401 В)7,401 Г)70,0401 Д)0,0741


    Решение: 1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4) = 0,7401

    2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) = 7,401

    3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4) = 70,0401
    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,0741

    5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,7041

    Ответ:1-Б;2-В;3-Г;4-Д;5-А

    1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ : Б)0,7401;

    2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) :Ответ: В)7,401;

    3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ: Г)70,0401;

    4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: Д)0,0741;

    5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: А)0,7041.

  • Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности,представьте в виде многочлена выражение:
    а) (а+b)в четвёртой степени
    б) (а-b)в четвёртой степени.


    Решение: $$ (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2;\\ (a\pm b+c)^2=a^2+b^2+c^2\pm2ab+2ac\pm2bc;\\ (a+b)^4=(a^2+2ab+b^2)^2=\\=(a^2)^2+(2ab)^2+(b^2)^2+2\cdot a^2\cdot 2ab+2\cdot a^2\cdot b^2+2\cdot2ab\cdot b^2=\\=a^4+4a^2b^2+b^4+4a^3b+2a^2b^2+4ab^3=\\=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4;\\(a-b)^4=(a^2-2ab+b^2)^2=\\=(a^2)^2+(-2ab)^2+(b^2)^2+\\+2\cdot a^2\cdot(-2ab)+2\cdot a^2\cdot b^2+2\cdot(-2ab)\cdot b^2=\\=a^4+4a^2b^2+b^4-4a^3b+2a^2b^2+-4ab^3=\\=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4; $$
    $$ (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4;\\ (a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4;\\ (a\pm b)^4=a^4\pm4a^3b+6a^2b^2\pm4ab^3+b^4;\ $$

  • Произведение 10-ти натуральных чисел равно 10 в 10 степени. Какое наибольшее значение может принимать их сумма, если числа на обязательно различны?


    Решение: Первое число х
    Второе число х+1
    Третье число х+2
    Четвертое число х+3
    Сумма этих чисел 3024

    Составляем уравнение:
    х + (х+1) + (х+2) + (х+3) = 3024
    4х + 6 = 3024
    4х = 3024 - 6
    4х = 3018
    х = 3018 : 4
    х = 754.5

    второе число 754,5 + 1 = 755,5
    третье число 754,5 + 2 = 756,5
    четвертое число 754,5 + 3 = 757,5

  • Однородное тригонометрическое уравнение 2й степени:
    a*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0
    И сказано "сумма показателей степеней у всех слагаемых при sinx и cosx равна двум".


    Решение: A*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0
    sin²x-2 степень
    sinxcosx-2степень (1+1)
    cos²x-2 степень
    a*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0 /cos²x≠0
    atg²x+btgx+c=0
    tgx=m
    am²+bm+c=0
    D=b²-4ac
    1)D<0-нет решения
    2)D=0
    m=-b/2a⇒tgx=-b/2a⇒x=arctg(-b/2a)+πn
    3)D>0
    m1=(-b-√b²-4ac)/2a⇒tgx=(-b-√b²-4ac)/2a⇒x=arctg(-b-√b²-4ac)/2a+πn
    m2=(-b+√b²-4ac)/2a⇒tgx=(-b+√b²-4ac)/2a⇒x=arctg(-b+√b²-4ac)/2a+πn
  • Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56


    Решение: 7n + 7n + 1 = 7n(1 + 7) = 7n×8 делится на 7 и на 8, следовательно, делится на 56.

    Докажите что сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при $$ n \geq 1 $$.

    Докажем по индукции:

    База индукции: $$ n = 1, 7 + 7^2 = 56 $$ 

    Индукционное предположение:  Пусть $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56

    Шаг индукции: Покажем, что $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$ делится на 56.

    Действтельно, $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1}) $$

    Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

    В силу Утверждения 1, так как $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56, то и $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$делится на 56.

    Вывод: Сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при \( n \geq 1 \).

  • Доказать, что если натуральное число при делении на 4 дает в остатке 2, то это число четное. У к а з а н и е. Рассматриваемое число представить в виде4n+2, где n- частное от деления этого числа на 4. Натуральное число а при делении на 3 дает в остатке 1, а натуральное число b при делении на 3 дает в остатке 2. Доказать, что сумма чисел a и b кратка трем. Доказать, что сумма двух последовательных четных степеней числа 3 оканчивается нулем. Доказать, что это же справедливо и для суммы двух последовательных нечетных степеней числа 3.


    Решение: 1) Как нам подсказали, рассмотрим все числа 4n+2. Но 4n+2=2(2n+1), значит такие числа делятся на 2

    2)Из условия следует что a=3n+1, а b=3k+2. Их сумма=3n+1+3k+2=3n+3k+3=3(n+k+1), значит их сумма кратна 3

    3)все четные числа представляются в виде 2n. Нам нужно доказать что $$ 3^{2n}+3^{2(n+1)} $$ оканчивается на 0, то есть делится на 10.

    Но$$ 3^{2n}+3^{2(n+1)}=9^n+9^{n+1}=9^n(1+9)=9^n*10 $$

    4)все нечетные числа представляются в виде 2n+1. Нам нужно доказать что оканчивается на 0, то есть делится на 10.

    Но

    $$ 3^{2n+1}+3^{2(n+1)+1}=3^{2n+1}+3^{2n+3}=3^{2n+1}(1+3^2)= $$

    $$ =10*3^{2n+1} $$

  • Представьте число в виде суммы степеней основания с коэффициентами:1203 в третьей степени счисления, 43020 в пятой степени счисления, 70652 в 8 степени счисления


    Решение: 1. 1203:3=401 ост 0
      401:3=133 ост 2
      133:3=44 ост. 1
      44:3=14 ост. 2
      14:3=4 ост. 2
      4:3=1 ост.1
      1:3=0 ост.1
      1122120₃ 
    2. 43020:5=8604 ост. 0
      8604:5=1720 ост. 4
      1720:5=344 ост.0
      344:5=68 ост.4
      68:5=13 ост.3
      13:5=2 ост.3
      2:5=0 ост.2
      2334040₅
    3.
    70652:8=8831 ост.4
    8831:8=1103 ост.7
    1103:8=137 ост.7
    137:8=17 ост.1
    17:8=2 ост.1
    2:8=0 ост.2
    211774₈

1 2 3 > >>