свойства показателей степени
Свойства степени с отрицательными показателями
Решение: Степень с отрицательным показателем.Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим m=0, получим: 1 и 2-ой рисунок)Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:,(2 смотрите 3-ой рисунок) .Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться. $$ a^0 : a^n = a^{0-n} $$Объясните тему "Свойства степени с целым показателем".
Решение: Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).
1 свойство: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.
2 свойство: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
3 свойство: При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
4 свойство: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.Пример: = 2–2 . (a3)–2(b–5)–2 = a–6b10.5 свойство: , где в =/= 0.Свойства степени с рациональными показателями. 1) Вычислить: \( 125^{-2} \), \( 0.25^{\frac{1}{2}} \), \( 81^{\frac{1}{4} }*(\frac{1}{27} )^{-\frac{2}{3}} \), \( (\frac{1}{32} )^{-2} \)
2) Сравнить: \( (\frac{1}{4})^{-\frac{8}{9}} и (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{5}} \), \( 4,08^{\frac{2}{3}} и 4,0081^{\frac{2}{3}} \), \( 3^{-5} и 3,5^{-5} \)
3) Упростить: \( \frac{3 \sqrt[3]{x} }{5 \sqrt[5]{ x^{2}}} \), \( \frac{2x}{\sqrt[3]{x}* \sqrt[4]{x^3}} \)
Решение: $$ a)125^{-2}= \frac{1}{125^2} = \frac{1}{15625} \\ b)0.25^{ \frac{1}{2} }=(0.5^2)^{ \frac{1}{2} }=0.5^{{2* \frac{1}{2} }}=0.5^1=0.5 \\ c) 81^{ \frac{1}{4} }*( \frac{1}{27} )^{- \frac{2}{3} }=(3^4)^{ \frac{1}{4} }*(( \frac{1}{3})^3 )^{- \frac{2}{3} }=3*( \frac{1}{3})^{-2}= \\ = 3*(3^{-1})^{-2}=3*3^2=27 \\ d)( \frac{1}{32} )^{-2}=32^2=1024 $$
#3
$$ \frac{3 \sqrt[3]{x} }{5 \sqrt[5]{ x^{2}}} = \frac{3}{5} * \frac{x^{ \frac{1}{3} }}{x^{ \frac{2}{5} }} = \frac{3}{5}*x^{ \frac{1}{3} }*x^{- \frac{2}{5} }=0.6*x^{\frac{1}{3}-\frac{2}{5}}=0.6x^{- \frac{1}{5} }= \frac{0.6}{ \sqrt[5]{x} } \\ \frac{2x}{ \sqrt[3]{x}* \sqrt[4]{x^3}} = 2x*x^{- \frac{1}{5} }*x^{-\frac{3}{4}}=2*x^{1- \frac{1}{5}-\frac{3}{4} }=2*x^{ \frac{1}{20} } $$
#2 $$ (\frac{1}{4})^{-\frac{8}{9}} > (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{5}} \\ (4 ^{\frac{8}{9} } > 4^{\frac{3}{5}}, \frac{8}{9} > \frac{3}{5}) $$
$$ 4,08^{ \frac{2}{3} } > 4,0081^{ \frac{2}{3}} (4,08 > 4,0081) $$
$$ 3^{-5} < 3,5^{-5} (3 < 3,5) $$
Нужно применить свойство степеней с рациональным показателем \( (5^2)^{0,4} \), \( \frac{4^{0,3}:4^{0,8} }{1,7} \), \( (ab)^ \frac{1}{3} \), \( 3^{0} \), \( ( \frac{m}{n})^{0,75} \)
Решение:$$ (5^2)^{0,4}=5^{0,8}=5^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{5^4}\\ \frac{4^{0,3}: 4^{0,8}}{1,7}=\frac{4^{-0,5}}{1,7}=\\=\frac{1}{4^{0,5}*1,7}=\frac{1}{2*1,7}=\frac{1}{3,4}=\frac{5}{17} \\ (ab)^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{ab} \\ 3^0=1 \\ (\frac{m}{n})^{0,75}=(\frac{m}{n})^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\frac{m^3}{n^3}} $$
$$ (5^2) ^{0,4} = 5^{2*0,4} = 5^{0,8} =5 x^{4/5} $$
$$ 4 x^{0,3}: 4^{0,8} /17=4 ^{0,3-0,8} /1,7= 4^{-1/2} /1,7=1/ \sqrt{4} *1,7=1/(2*1,7)= \ 1/3,4=10/34=5/17 $$
$$ (ab) ^{1/3} =a ^{1/3} b ^{1/3} $$
$$ 3^0=1 $$
$$ (m/n) ^{0,75} =(m/n) ^{3/4} =m ^{3/4} /n ^{3/4} $$Какое свойство степени используется при решение простейших показательных уравнений?
Решение: Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х - неизвестное.Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.а0 = 1, а1= а.аm/n= , где m и n– натуральные числа.a-n = 1/ аnan × am = an+man/am = an-m(an)m = an-m(ab)n = an×bn(a/b)n = an/bn.Вычислите, используя свойста степени : а) 20(в 3 степени) * 0,5 (в 3 степени) = б) 4*2 ( в 5 степени) --------- = 2 (в 7 степени)
Решение: а)$$ 0.5^3*40^3*0.5^3=40^3*0.5^6=(40^3)/(2^6) =64000/64=1000 $$б)$$ (2^2*2^5)/2^7=2^7/2^7 =1 $$
При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают,а при делении вычитаются.
Степень с натуральным показателем. Свойство степени
Решение: Свойства степени
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются:
$$ a^m*a^n = a^{m+n} $$
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
3) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:
$$ (a^{m})^n = a^{m*n} $$
4) При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель:
$$ (a*b)^{n} = a^n*b^m $$
5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель:
$$ ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^{n} }{b^n} $$Какие пять свойств имеют степени с натуральным показателем?
Решение: 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываютсяam · an = am + nнапример: 71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 = 70.82. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаютсяam / an = am — n ,где, m > n,a ? 0например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.63. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.(am )n = a m · nнапример: (23)2 = 2 3·2 = 264. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель(a · b)n = an · b m ,например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель(a / b)n = an / bnнапример: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53Тема: Степень с натуральным показателем. Степень и её свойства.
Задание:
Вычислите:
а)сумму кубов чисел 5 и -3.
б) куб суммы чисел 9 и - 11.
в)разность квадратов чисел 12 и 8.
г)квадрат разности чисел 12 и 8.
д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и -5
е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.
Решение: Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:an = В выражении an :- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степениНапример:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2 – основание степени,
5 – показатель степени,
32 – значение степениОтметим, что основание степени может быть любым числом.Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.Например: 4578 = 4,578 · 103 ;103000 = 1,03 · 105.Свойства степени с натуральным показателем:1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываютсяam · an = am + nнапример: 71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 = 70.82. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаютсяam / an = am — n ,где, m > n,a ? 0например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.63. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.(am )n = a m · nнапример: (23)2 = 2 3·2 = 264. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель(a · b)n = an · b m ,например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель(a / b)n = an / bnнапример: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
а) 5³ + -3³=98
б)(9+ -11)³=-8
в)12²-8²=208
г)(12-8)²=16
д)2*(7²*-5²)=-2450
е)(14*4²)*3=672
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Квадратный трехчлен. Выведите формулу разложения квадратного трехчлена \(ах^2 + вх + с\), где а > 0, на линейные множители.
Решение:Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).
Свойства степеней с рациональным показателем:
1.) Для любого положительного a и любого рационального x, число \( a^{x}\) - положительно.
2.) При a < 0 рациональная степень числа a не определяется. (Так как подкоренное выражение не может быть меньше или равняться нулю, что свойственно для множества действительных чисел, во множестве же комплексных чисел данное правило не действует)
3.) Любое рациональная степень может записываться в различных формах, например md/nd( при любом натуральном d), значение $$ a^{x} $$, в свою очередь, не зависит от форм записи x.
Степень с рациональным показателем также унаследует все свойства степеней с натуральным показателем, разумеется при положительном a.
2.) Квадратным трёхчленом называется многочлен вида \(ax^{2} + вх + с\), где a,b,c - числа, x - переменная, причём a не равно нулю.
Формула разложения квадратного трёхчлена представляется в виде:
(ax - ax1)(x- x2), выведем данную формулу.
\( ax^{2} + bx + c\)
Вынесем a за скобки, тогда получим:
\(a(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})\)
Из теоремы Виета для квадратичной функции известно, что
x1*x2 = c/a
x1 + x2 = -b/a. Здесь и далее x1 и x2 - корни квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).
Преобразуем в соответствии с теоремой Виета:
\(a(x^{2} - (x1 + x2)х + x1x2)\) =>
=>\( a(( x^{2} - xx1) - (x2x - x1x2))\) = >
=> a(х (х — x1) — x2(х — x1)) = > a(x - x1)(x - x2) =>
=> (ax - ax1)(x - x2).
