степени »
свойства показателей степени
Свойства степени с отрицательными показателями
Решение: Степень с отрицательным показателем.Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим m=0, получим: 1 и 2-ой рисунок)Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:,(2 смотрите 3-ой рисунок) .Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться. $$ a^0 : a^n = a^{0-n} $$Объясните тему "Свойства степени с целым показателем".
Решение: Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).
1 свойство: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.
2 свойство: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
3 свойство: При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
4 свойство: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.Пример: = 2–2 . (a3)–2(b–5)–2 = a–6b10.5 свойство: , где в =/= 0.Свойства степени с рациональными показателями. 1) Вычислить: \( 125^{-2} \), \( 0.25^{\frac{1}{2}} \), \( 81^{\frac{1}{4} }*(\frac{1}{27} )^{-\frac{2}{3}} \), \( (\frac{1}{32} )^{-2} \)
2) Сравнить: \( (\frac{1}{4})^{-\frac{8}{9}} и (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{5}} \), \( 4,08^{\frac{2}{3}} и 4,0081^{\frac{2}{3}} \), \( 3^{-5} и 3,5^{-5} \)
3) Упростить: \( \frac{3 \sqrt[3]{x} }{5 \sqrt[5]{ x^{2}}} \), \( \frac{2x}{\sqrt[3]{x}* \sqrt[4]{x^3}} \)
Решение: $$ a)125^{-2}= \frac{1}{125^2} = \frac{1}{15625} \\ b)0.25^{ \frac{1}{2} }=(0.5^2)^{ \frac{1}{2} }=0.5^{{2* \frac{1}{2} }}=0.5^1=0.5 \\ c) 81^{ \frac{1}{4} }*( \frac{1}{27} )^{- \frac{2}{3} }=(3^4)^{ \frac{1}{4} }*(( \frac{1}{3})^3 )^{- \frac{2}{3} }=3*( \frac{1}{3})^{-2}= \\ = 3*(3^{-1})^{-2}=3*3^2=27 \\ d)( \frac{1}{32} )^{-2}=32^2=1024 $$
#3
$$ \frac{3 \sqrt[3]{x} }{5 \sqrt[5]{ x^{2}}} = \frac{3}{5} * \frac{x^{ \frac{1}{3} }}{x^{ \frac{2}{5} }} = \frac{3}{5}*x^{ \frac{1}{3} }*x^{- \frac{2}{5} }=0.6*x^{\frac{1}{3}-\frac{2}{5}}=0.6x^{- \frac{1}{5} }= \frac{0.6}{ \sqrt[5]{x} } \\ \frac{2x}{ \sqrt[3]{x}* \sqrt[4]{x^3}} = 2x*x^{- \frac{1}{5} }*x^{-\frac{3}{4}}=2*x^{1- \frac{1}{5}-\frac{3}{4} }=2*x^{ \frac{1}{20} } $$
#2 $$ (\frac{1}{4})^{-\frac{8}{9}} > (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{5}} \\ (4 ^{\frac{8}{9} } > 4^{\frac{3}{5}}, \frac{8}{9} > \frac{3}{5}) $$
$$ 4,08^{ \frac{2}{3} } > 4,0081^{ \frac{2}{3}} (4,08 > 4,0081) $$
$$ 3^{-5} < 3,5^{-5} (3 < 3,5) $$
Нужно применить свойство степеней с рациональным показателем \( (5^2)^{0,4} \), \( \frac{4^{0,3}:4^{0,8} }{1,7} \), \( (ab)^ \frac{1}{3} \), \( 3^{0} \), \( ( \frac{m}{n})^{0,75} \)
Решение:$$ (5^2)^{0,4}=5^{0,8}=5^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{5^4}\\ \frac{4^{0,3}: 4^{0,8}}{1,7}=\frac{4^{-0,5}}{1,7}=\\=\frac{1}{4^{0,5}*1,7}=\frac{1}{2*1,7}=\frac{1}{3,4}=\frac{5}{17} \\ (ab)^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{ab} \\ 3^0=1 \\ (\frac{m}{n})^{0,75}=(\frac{m}{n})^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\frac{m^3}{n^3}} $$
$$ (5^2) ^{0,4} = 5^{2*0,4} = 5^{0,8} =5 x^{4/5} $$
$$ 4 x^{0,3}: 4^{0,8} /17=4 ^{0,3-0,8} /1,7= 4^{-1/2} /1,7=1/ \sqrt{4} *1,7=1/(2*1,7)= \ 1/3,4=10/34=5/17 $$
$$ (ab) ^{1/3} =a ^{1/3} b ^{1/3} $$
$$ 3^0=1 $$
$$ (m/n) ^{0,75} =(m/n) ^{3/4} =m ^{3/4} /n ^{3/4} $$Какое свойство степени используется при решение простейших показательных уравнений?
Решение: Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х - неизвестное.Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.а0 = 1, а1= а.аm/n= , где m и n– натуральные числа.a-n = 1/ аnan × am = an+man/am = an-m(an)m = an-m(ab)n = an×bn(a/b)n = an/bn.
