свойства показателей степени - страница 2
Вычислите, используя свойста степени : а) 20(в 3 степени) * 0,5 (в 3 степени) = б) 4*2 ( в 5 степени) --------- = 2 (в 7 степени)
Решение: а)$$ 0.5^3*40^3*0.5^3=40^3*0.5^6=(40^3)/(2^6) =64000/64=1000 $$б)$$ (2^2*2^5)/2^7=2^7/2^7 =1 $$
При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают,а при делении вычитаются.
Степень с натуральным показателем. Свойство степени
Решение: Свойства степени
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются:
$$ a^m*a^n = a^{m+n} $$
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
3) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:
$$ (a^{m})^n = a^{m*n} $$
4) При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель:
$$ (a*b)^{n} = a^n*b^m $$
5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель:
$$ ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^{n} }{b^n} $$Какие пять свойств имеют степени с натуральным показателем?
Решение: 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываютсяam · an = am + nнапример: 71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 = 70.82. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаютсяam / an = am — n ,где, m > n,a ? 0например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.63. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.(am )n = a m · nнапример: (23)2 = 2 3·2 = 264. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель(a · b)n = an · b m ,например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель(a / b)n = an / bnнапример: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53Тема: Степень с натуральным показателем. Степень и её свойства.
Задание:
Вычислите:
а)сумму кубов чисел 5 и -3.
б) куб суммы чисел 9 и - 11.
в)разность квадратов чисел 12 и 8.
г)квадрат разности чисел 12 и 8.
д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и -5
е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.
Решение: Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:an = В выражении an :- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степениНапример:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2 – основание степени,
5 – показатель степени,
32 – значение степениОтметим, что основание степени может быть любым числом.Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.Например: 4578 = 4,578 · 103 ;103000 = 1,03 · 105.Свойства степени с натуральным показателем:1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываютсяam · an = am + nнапример: 71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 = 70.82. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаютсяam / an = am — n ,где, m > n,a ? 0например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.63. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.(am )n = a m · nнапример: (23)2 = 2 3·2 = 264. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель(a · b)n = an · b m ,например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель(a / b)n = an / bnнапример: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
а) 5³ + -3³=98
б)(9+ -11)³=-8
в)12²-8²=208
г)(12-8)²=16
д)2*(7²*-5²)=-2450
е)(14*4²)*3=672
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Квадратный трехчлен. Выведите формулу разложения квадратного трехчлена \(ах^2 + вх + с\), где а > 0, на линейные множители.
Решение:Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).
Свойства степеней с рациональным показателем:
1.) Для любого положительного a и любого рационального x, число \( a^{x}\) - положительно.
2.) При a < 0 рациональная степень числа a не определяется. (Так как подкоренное выражение не может быть меньше или равняться нулю, что свойственно для множества действительных чисел, во множестве же комплексных чисел данное правило не действует)
3.) Любое рациональная степень может записываться в различных формах, например md/nd( при любом натуральном d), значение $$ a^{x} $$, в свою очередь, не зависит от форм записи x.
Степень с рациональным показателем также унаследует все свойства степеней с натуральным показателем, разумеется при положительном a.
2.) Квадратным трёхчленом называется многочлен вида \(ax^{2} + вх + с\), где a,b,c - числа, x - переменная, причём a не равно нулю.
Формула разложения квадратного трёхчлена представляется в виде:
(ax - ax1)(x- x2), выведем данную формулу.
\( ax^{2} + bx + c\)
Вынесем a за скобки, тогда получим:
\(a(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})\)
Из теоремы Виета для квадратичной функции известно, что
x1*x2 = c/a
x1 + x2 = -b/a. Здесь и далее x1 и x2 - корни квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).
Преобразуем в соответствии с теоремой Виета:
\(a(x^{2} - (x1 + x2)х + x1x2)\) =>
=>\( a(( x^{2} - xx1) - (x2x - x1x2))\) = >
=> a(х (х — x1) — x2(х — x1)) = > a(x - x1)(x - x2) =>
=> (ax - ax1)(x - x2).
