свойства показателей степени - страница 2
(1/3) в степени 3х+63 = (7) в степени х+21
Решение: (1/3)^(3(x+21))=7^(x+21), (1/27)^(x+21)=7^(x+21), делим на 7^(x+21):(1/(27*7))^(x+21)=1, x+21=0, x=-21
(1/3)^(3х+63) = 7^(х+21)
(1/3)^3·(х+21) = 7^(х+21)
(1/27)^(х+21) = 7^(х+21)
[1/(27 ·7)]^(х+21) = 1
[1/(27 ·7)]^(х+21) = [1/(27 ·7)]^0
Приравниваем показатели степеней при одинаковых основаниях
х + 21 = 0
х = -21.
Перечислите свойства степени с натуральным показателем
Решение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются, а основание остается неизменным.
пример 2^3*2^2=2^2+3=2^5=32
При делении степеней с одинаковыми основаниями
показатели вычитаются, а основание остается неизменным.
пример 3^3/3^2=3^3-2=3^1=3
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(2^3)^2=2^3*2=2^6=64A^n>0, если a≠0, n - чётное
a^n<0, если a<0, n - нечётное
a^n=0, если а=0
a^m*a^n = a^(m+n)
a^m/a^n = a^(m-n)
(a^m)^n=a^(m*n)
(a*b)^m=a^m*b^m
(a/b)^m=a^m/b^mКакой цифрой оканчивается число 2013 в 2013 степени минус 1(минус 1 не степень)
Решение: Принимаем во внимание только последнюю цифру числа:3^1 - оканчивается на 3
3^2 - оканчивается на 9
3^3 - оканчивается на 7
3^4 - оканчивается на 1
3^5 - оканчивается на 3
3^6 - оканчивается на 9
3^7 - оканчивается на 7
3^8 - оканчивается на 1
и т.д.
То есть если степень кратна 4, то число, у которого последняя цифра 3, в этой степени оканчивается на 1
Разложим степень: 2013^2013-1 = 2013*2013^2012-1
2013^2012 оканчивается на 1
тогда 2013*2013^2012 оканчивается на 3 (1*3=3)
и тогда 2013*2013^2012-1 оканчивается на 2 (3-1=2)
Ответ: 2
C-20. Свойства степени с натуральным показателем. 1) Представьте выражение в виде степени: а) \( y^{2} * y^{13} \); б) \( z^{10} / z^{1} \); в) \( (c^{11})^3 \); г) \( \frac{ c^{7} * c }{ c^{4} } \); д) \( (x^6)^3 : (x^3)^5 \); е) \( \frac{m^6 * m^5}{ m^{10} } \)
2) Вычислите: \( \frac{(5^4)^5 : (5^2)^4}{5\cdot(5^5)^2} \)
Решение: 1. а)у¹⁵
б)z⁹
в)c³³
г)с⁴
д)х³
е)m
2. Ответ:51) $$ y^{2} * y^{13} = y^{2+13} = y^{15} $$
$$ z^{10} / z^{1} = z^{9} $$
$$ (c^{11})^3= c^{3*11} = c^{33} $$
$$ \frac{ c^{7} * c }{ c^{4} } = c^8/ c^{4} = c^{4} $$
д) ... = $$ x^{18} / x^{15} = x^{3} $$
е) ... = $$ \frac{m^6 * m^5}{ m^{10} } = m^{11} / m^{10} = m $$
2) ... = $$ \frac{ 5^{20}: 5^{8} }{ 5^{1} * 5^{10} } = 5^{12} / 5^{11} = 5 $$Решить 4sin^2x - 3=0 , нужно применить формулу понижения степени
Решение: 4sin^2x - 3=0sin^2x=3/4
sinx=±√(3/4)
sinx=±√3 /2
1)sinx=√3 /2
x=(-1)^n *arcsin(√3 /2)+pin ,n=z
x=(-1)^n *pi/3+pin ,n=z
2)sinx=-√3 /2
x=(-1)^(n+1) *arcsin(√3 /2)+pin ,n=z
x=(-1)^(n+1) *pi/3+pin ,n=z
Формулы двойного аргумента и понижения степени. Найдите разность между наибольшим и наименьшим решением неравенства \( \sqrt{sinx} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Решение: решение:1)sinx>=1/2
П/6- минимум
5/6П- максимум
разность
2П/3
2) tg2a=2tga/(1-tg^2a)
cosa=-2sqrt(6)/5
sina=1/5
tga=-1/2sqrt(6)
tg2a=24/sqrt(6)*23=4sqrt(6)/23.Как сравнивать числа с разными степенями?
Решение: Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном п
аn > bn.
Это свойство было доказано нами в главе I (§ 12).
Пример. Какое число больше: 2300 или 3200 ?
Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество
аmn = (аm)n.
Имеем:
2300 = 23•100 = (23)100 =8100 3200 = 32•100 = (32)100 = 9100
Так как 9 > 8, то 9100 > 8100. Следовательно,
3200 > 2300Как решать уравнения с разными степенями? х^8-6х^7+9х^6-х²+6х-9=0
Решение: В данном случае методом группировки.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$$ x^8-6x^7+9x^6-x^2+6x-9=0\\(x^8-x^2)-(6x^7-6x)+(9x^6-9)\\x^2(x^6-1)-6x(x^6-1)+9(x^6-1)=0\\(x^6-1)(x^2-6x+9)=0\\(x^6-1)(x-3)^2=0\\x^6-1=0 \\ (x-3)^2=0\\x^6=1 \\ x-3=0 \\ \sqrt[6]{x^6}=\sqrt[6]{1} \\ \boxed{x=3}\\|x|=1\\\boxed{x=1}; \boxed{x=-1} $$
Ответ: x=1;x=-1;x=3Как решить этот пример со степенями, \( \frac{5^{-2}\cdot5^{-6}}{5^{-5}} \)
Решение: $$ \frac{5^{-2}\cdot5^{-6}}{5^{-5}} \\ 5^{-8} : 5^{-5} \\ 5^{-3} $$
1. 5 в (-2) степени умножаем на 5 в (-6) степени. Основание оставляем тем же(5), а показатели складываем[ (-2)+(-6)=-2-6=-8 ]. Получаем 5 в (-8) степени.
2. 5 в (-8) степени делим на 5 в(-5) степени. Основание оставляем тем же(5), а показатели вычитаем [ (-8)-(-5)=-8+5=-3] получаем 5 в (-3) степени.
3. 5 в степени ( -3) = 1/5в степени (3)= 1/125Какая последняя цифра значения выражения: \(3^{16} + 7^{16}\)
Решение: $$ 3^1 = 3, \\ 3^2 = 9, \\ 3^3 = 27, \\ 3^4 = 81 $$
Чередуются цифры: 3, 9, 7, 1.
Если показатель степени с основанием 3 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 3, 9 или 7).
$$ 7^1 = 7, \\ 7^2 = 49, \\ 7^3 = 343, \\ 7^4 = 2401 $$
Чередуются цифры: 7, 9, 3, 1.
Если показатель степени с основанием 7 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 7, 9 или 3).
16 = 4*4 + 0, следовательно, числа $$ 3^{16} $$ и $$ 7^{16} $$ оканчиваются на 1, а их сумма (...1 + ...1) на 2.
Для таких рассуждений есть строгие формальные обозначения, но их далеко не всегда проходят в школе. Вот так выглядит более строгое решение:
$$ 3 \equiv 3 \\ \mod 10 \\ 3^2 \equiv 9 \\ \mod 10 \\3^4 \equiv 81 \\ \mod 10 \\ 81 \equiv 1 \\ \mod 10 \Rightarrow 3^4 \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 7 \equiv 7 \\ \mod 10 \\ 7^2 \equiv 49 \\ \mod 10 \\ 7^4 \equiv 2401 \\ \mod 10 \\ 2401 \equiv 1 \\ \mod 10 \Rightarrow 7^4 \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 7^{16} \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 1 + 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 2 \\ \mod 10 $$
