степени »

свойства показателей степени - страница 4

  • Формулы двойного аргумента и понижения степени. Найдите разность между наибольшим и наименьшим решением неравенства \( \sqrt{sinx} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \)


    Решение:                                         решение:

    1)sinx>=1/2

    П/6- минимум

    5/6П- максимум

    разность

    2П/3

    2) tg2a=2tga/(1-tg^2a)

    cosa=-2sqrt(6)/5

    sina=1/5

    tga=-1/2sqrt(6)

    tg2a=24/sqrt(6)*23=4sqrt(6)/23.

  • Как сравнивать числа с разными степенями?


    Решение: Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном п

    аn > bn.

    Это свойство было доказано нами в главе I (§ 12).

    Пример. Какое число больше: 2300 или 3200 ?

    Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

    аmn = (аm)n.

    Имеем:

    2300 = 23•100 = (23)100 =8100 3200 = 32•100 = (32)100 = 9100

    Так как 9 > 8, то 9100 > 8100. Следовательно,

    3200 > 2300

  • Как решать уравнения с разными степенями? х^8-6х^7+9х^6-х²+6х-9=0


    Решение: В данном случае методом группировки. 
    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    $$ x^8-6x^7+9x^6-x^2+6x-9=0\\(x^8-x^2)-(6x^7-6x)+(9x^6-9)\\x^2(x^6-1)-6x(x^6-1)+9(x^6-1)=0\\(x^6-1)(x^2-6x+9)=0\\(x^6-1)(x-3)^2=0\\x^6-1=0 \\ (x-3)^2=0\\x^6=1 \\ x-3=0 \\ \sqrt[6]{x^6}=\sqrt[6]{1} \\ \boxed{x=3}\\|x|=1\\\boxed{x=1}; \boxed{x=-1} $$

    Ответ: x=1;x=-1;x=3

  • Как решить этот пример со степенями, \( \frac{5^{-2}\cdot5^{-6}}{5^{-5}} \)


    Решение: $$ \frac{5^{-2}\cdot5^{-6}}{5^{-5}} \\ 5^{-8} : 5^{-5} \\ 5^{-3} $$


    1. 5 в (-2) степени умножаем на 5 в (-6) степени. Основание оставляем тем же(5), а показатели складываем[ (-2)+(-6)=-2-6=-8 ]. Получаем 5 в (-8) степени.
    2. 5 в (-8) степени делим на 5 в(-5) степени. Основание оставляем тем же(5), а показатели вычитаем [ (-8)-(-5)=-8+5=-3] получаем 5 в (-3) степени.
    3. 5 в степени ( -3) = 1/5в степени (3)= 1/125

  • Какая последняя цифра значения выражения: \(3^{16} + 7^{16}\)


    Решение: $$ 3^1 = 3, \\ 3^2 = 9, \\ 3^3 = 27, \\ 3^4 = 81 $$

    Чередуются цифры: 3, 9, 7, 1.
    Если показатель степени с основанием 3 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 3, 9 или 7).

    $$ 7^1 = 7, \\ 7^2 = 49, \\ 7^3 = 343, \\ 7^4 = 2401 $$

    Чередуются цифры: 7, 9, 3, 1.
    Если показатель степени с основанием 7 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 7, 9 или 3).

    16 = 4*4 + 0, следовательно, числа $$ 3^{16} $$ и $$ 7^{16} $$ оканчиваются на 1, а их сумма (...1 + ...1) на 2.

    Для таких рассуждений есть строгие формальные обозначения, но их далеко не всегда проходят в школе. Вот так выглядит более строгое решение:

    $$ 3 \equiv 3 \\ \mod 10 \\ 3^2 \equiv 9 \\ \mod 10 \\3^4 \equiv 81 \\ \mod 10 \\ 81 \equiv 1 \\ \mod 10 \Rightarrow 3^4 \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 7 \equiv 7 \\ \mod 10 \\ 7^2 \equiv 49 \\ \mod 10 \\ 7^4 \equiv 2401 \\ \mod 10 \\ 2401 \equiv 1 \\ \mod 10 \Rightarrow 7^4 \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 7^{16} \equiv 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 1 + 1 \\ \mod 10 \\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 2 \\ \mod 10 $$

<< < 234 5 > >>