степени » неравенство степень
  • Решите неравенство 5в степени x+1 +3*5в степени минус x больше или равен 16


    Решение: $$ 5^{x+1}+3*5^{-x} \geq 16\\5^x*5^1+ \frac{3}{5^x}-16 \geq 0|*5^x\\\\5*5^{2x}+3-16*5^x \geq 0\\t=5^x\\5t^2-16t+3 \geq 0\\D=(-16)^2-4*5*3=196=14^2\\t_1=3;t_2= \frac{1}{5}\\\\5(t-3)(t- \frac{1}{5}) \geq 0 $$
      + - +
    ______________1/5______________3____________

    t≥1/5 t≥3

    $$ 5^x \geq \frac{1}{5}\\5^x \geq 5^{-1}\\x \geq -1\\x\in[-1;+\infty)\\\\5^x \geq 3\\x \geq log_53 $$

  • Решите неравенство 3(в степени 2x−5)+3(в степени 2x−6)−3(в степени 2x−7)−3( в степени 2x−8) меньше равно 32.


    Решение: Знак не меняем,т.к. основание 3 больше 1.

    $$ 3^{2x-5}*(1+3^{-1}-3^{-2}-3^{-3}) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*(1+ \frac{1}{3}- \frac{1}{9} - \frac{1}{27} ) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{27+9-3-1}{27} \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{32}{27} \leq 32 $$ - разделим обе части неравенства на 32/27

    $$ 3^{2x-5} \leq 32: \frac{32}{27} $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 27 $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 3^{3} $$
    Т.к. основание степени больше 1, то показатели сравниваются с тем же знаком:

    $$ 2x-5 \leq 3 $$
    $$ 2x \leq 8 $$
    $$ x \leq 4 $$

  • решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0


    Решение: 9^x - 3^x - 6 > 0

    3^2x - 3^x - 6 > 0

    замена

    3^x = y

    ОДЗ: у > 0

    y² - y - 6 > 0

    найдём нули функции  f(y) = y² - y - 6

    решим уравнение y² - y - 6 = 0

    D = 1 + 24 = 25

    √D = 5

    y₁ = (1 - 5):2 = -2

    y₁ = (1 + 5):2 = 3

    График функции f(y) = y² - y - 6  квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)

    c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)

    вернёмся к замене

    3^x = 3

    х = 1

    Ответ: х∈(1; +∞)

    $$ 9^x-3^x-6>0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0 $$

    $$ <=> 3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0 $$

    $$ 3^x(3^x+2)-3(3^x+2)>0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0  $$

    Так как $$ 3^x+2 $$ больше нуля при всех значениях x, то нам необходимо только найти при каких значениях x выражение $$ 3^x-3>0 $$. Ее легко решить и получить что x>1

  • Решите неравенство:

    2 в степени 10х-16 больше либо равно 16 в степени 2х


    Решение: 16=2^3

    значит:

    2^10x-16 больше или равно 2^3+2x

    т.к. основания равны, мы имеем право записать это так:

    10x-16 б. или р. 3+2x

    и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону без-в другую с противоположными знаками..

    10x-2x б. или р.3+16

    8x б. или р. 19

    x б. или р. 19/8

    и решением неравенства является промежуток: [19/8; + бесконечности]

    значит 
 x- больше или равно x
т.к. основания равны мы имеем право записать это так 
 x- б. или р. x
и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону бе...
  • Решите неравенство: Х в степени Log X по основанию 2 (меньше или равно) 16


    Решение: х должен быть больше 0.

    Прологарифмируем обе части неравенства по основанию2:

    Log (х в степени Log х по осн.2) по основанию 2 (меньше или равно) Log16 по основанию2.

    Log х по основанию 2 * Log х по основанию 2 (меньше или равно) 4.

    (Log х по основанию 2) в квадрате меньше или равно 4

    Пусть Log х по основанию 2 = у

    у в квадрате меньше или равно 4

    у в квадрате - 4 меньше или равно 0. Решим это неравенство методом интервалов.

    (у - 2)(у+2) меньше или равно 0. Отсюда у меньше или равно 2, но больше или равно -2.

    Тогда Log х по основанию 2 меньше или равно 2, но больше или равно -2.

    или log х по основанию 2 меньше или равно iog 4  по основанию 2, но  больше или равно log 1/4 по основанию 2.

    Отсюда х меньше или равно 4, но больше или равно 1/4.

  • Решите неравенство: 3 в степени 2х+8*9в степени х, -9 больше нуля


    Решение: 1) Тройку в основании представим, как 9:
    $$ 9^x+8*9^x-9>0 $$
    2)-9 и 8 перекидываем в другую часть неравенства:
    $$ 9^x*9^x>9-8 $$
    3)Пользуемся свойством степеней:
    $$ 9^{x+x}>1 \\ 9^{2x+4}>1 $$
    Когда основание равно 1? Когда показатель степени равен 0! Вот и пишем:
    $$ 2x+4>0 \\ 2x>-4 \\ x>-2 $$

  • Решите неравенства а) х"2"+3>0 б)-х"2"-2 меньшие либо равно 0 в)х"2"-4х+7 меньше либо равно 0 г)-х"2"+4хбольше либо равно 0 когда число в кавычках это значит степень 2 д) 3х"2"-10х+4<1


    Решение: x>-3

    x=>-2

    x=>3

    x=>2

    x=>3

    а)х²+3>0 ⇒ х любое число,т,к х²  всегда положительное

    б)-х²-2≤0 ⇒-х²≤2  тоже любое,так как -х² всегад отрицательное

    в)х²-4х+7≤0 нет решений,так как дискриминант <0,и при любых х левая часть положительная

    г)-х²-4х≥0 ⇒ -х(х+4)≥0 ⇒  система  х≤0  и  х+4≥0  ⇒-4≤х≤0

                                               система х≥0   и  х+4 ≤0 ⇒  нет решений

    значит -4≤х≤0

    д)3х²-10х+4<1 ⇒  3х²-10х+3<0  дискриминант равен  Д=100-4*3*3=64

    х₁=(10+8)/6=3       -∞    2/6           3             +∞

    х₂=(10-8)/6=2/6   ------|------------|-----------  ответ 2/6< х<3

                                 -           +              -

  • Решите на множестве R неравенство: (x-3)(x+2)-(x-3)^2>15x - 10 (x+2)^2-(x+2)(x-5)<14x-7

    ^-степень


    Решение: сначала 1-ое уравнение:

    $$ (x+2)^{2} - (х+2)(х-5<14x-7) $$

    $$ x^{2} -3x+2x-6- x^{2} +6x-9>15x - 10$$

    -x-6 +6x-9-15x > -10

    5x-15x>-10+6+9

    -5x>5

    x<1

    теперь 2-ое

    $$ x^{2} + 4x +2 - (x2+2x-5x-10) < 14x-7$$

    4x+4-2x+5x+10<14x-7

    4x-2x+5x-14x<-4-10-7

    -7x<-21

    x>3

    ответ: х принадлежит \( (-\infty;1) \cup (3;+\infty) \)

  • Решите неравенство:
    а)х(2)-4х<0
    б)х(2)-3х-10>=0
    в)-3х(2)+7х-4>0
    (2)-степень


    Решение: А) х2-4х <0
    х (х-4)=0
    х=0; х=4. потом чертите ось х и отмечаете эти числа, чертите параболу (ветви вверх) и получается пррмежуток (0;4)

    б) х2-3х-10>=0
    находите дискриминант и получаем корни 5 и -2. также чертите ось х, отмечаете точки и рисуете параболу. получаем промежуток (-бесконечности;-2] ;[5;+беспоконечности). важно что скобки квадратные, так как больше или равно

  • С неравенствами: 27х(степень) < 9 х(степень)2(степень)


    Решение:

    $$ 27^x< 9^{x^2} $$

    $$ 3^{3x}< 3^{2x^2} $$

    Gjскольку основани 3 >1, то между показателями такое же соотношение, как и межде чисоами

    3х < 2х²

    2х² - 3х > 0

    Найдём  нули функции у = 2х² - 3х

    2х² - 3х= 0

    х(2х - 3) = 0

    х₁ = 0,  х₂ = 1,5

    Поскольку график функции у = 2х² - 3х  квадратная парабола веточками вверх, то

    ось х разобьётся на интервалы

              +             -                 +

    -------------0 ----------- 1,5 ---------

    Ответ: х∈(-∞, 0) и (1,5; +∞)

1 2 3 > >>