степени »

неравенство степень

  • Решите неравенство 5в степени x+1 +3*5в степени минус x больше или равен 16


    Решение: $$ 5^{x+1}+3*5^{-x} \geq 16\\5^x*5^1+ \frac{3}{5^x}-16 \geq 0|*5^x\\\\5*5^{2x}+3-16*5^x \geq 0\\t=5^x\\5t^2-16t+3 \geq 0\\D=(-16)^2-4*5*3=196=14^2\\t_1=3;t_2= \frac{1}{5}\\\\5(t-3)(t- \frac{1}{5}) \geq 0 $$
      + - +
    ______________1/5______________3____________

    t≥1/5 t≥3

    $$ 5^x \geq \frac{1}{5}\\5^x \geq 5^{-1}\\x \geq -1\\x\in[-1;+\infty)\\\\5^x \geq 3\\x \geq log_53 $$

  • Решите неравенство 3(в степени 2x−5)+3(в степени 2x−6)−3(в степени 2x−7)−3( в степени 2x−8) меньше равно 32.


    Решение: Знак не меняем,т.к. основание 3 больше 1.

    $$ 3^{2x-5}*(1+3^{-1}-3^{-2}-3^{-3}) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*(1+ \frac{1}{3}- \frac{1}{9} - \frac{1}{27} ) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{27+9-3-1}{27} \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{32}{27} \leq 32 $$ - разделим обе части неравенства на 32/27

    $$ 3^{2x-5} \leq 32: \frac{32}{27} $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 27 $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 3^{3} $$
    Т.к. основание степени больше 1, то показатели сравниваются с тем же знаком:

    $$ 2x-5 \leq 3 $$
    $$ 2x \leq 8 $$
    $$ x \leq 4 $$

  • решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0


    Решение: 9^x - 3^x - 6 > 0

    3^2x - 3^x - 6 > 0

    замена

    3^x = y

    ОДЗ: у > 0

    y² - y - 6 > 0

    найдём нули функции  f(y) = y² - y - 6

    решим уравнение y² - y - 6 = 0

    D = 1 + 24 = 25

    √D = 5

    y₁ = (1 - 5):2 = -2

    y₁ = (1 + 5):2 = 3

    График функции f(y) = y² - y - 6  квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)

    c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)

    вернёмся к замене

    3^x = 3

    х = 1

    Ответ: х∈(1; +∞)

    $$ 9^x-3^x-6>0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0 $$

    $$ <=> 3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0 $$

    $$ 3^x(3^x+2)-3(3^x+2)>0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0  $$

    Так как $$ 3^x+2 $$ больше нуля при всех значениях x, то нам необходимо только найти при каких значениях x выражение $$ 3^x-3>0 $$. Ее легко решить и получить что x>1

  • Решите неравенство:

    2 в степени 10х-16 больше либо равно 16 в степени 2х


    Решение: 16=2^3

    значит:

    2^10x-16 больше или равно 2^3+2x

    т.к. основания равны, мы имеем право записать это так:

    10x-16 б. или р. 3+2x

    и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону без-в другую с противоположными знаками..

    10x-2x б. или р.3+16

    8x б. или р. 19

    x б. или р. 19/8

    и решением неравенства является промежуток: [19/8; + бесконечности]

    значит x- больше или равно x т.к. основания равны мы имеем право записать это так x- б. или р. x и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону бе...

  • Решите неравенство: Х в степени Log X по основанию 2 (меньше или равно) 16


    Решение: х должен быть больше 0.

    Прологарифмируем обе части неравенства по основанию2:

    Log (х в степени Log х по осн.2) по основанию 2 (меньше или равно) Log16 по основанию2.

    Log х по основанию 2 * Log х по основанию 2 (меньше или равно) 4.

    (Log х по основанию 2) в квадрате меньше или равно 4

    Пусть Log х по основанию 2 = у

    у в квадрате меньше или равно 4

    у в квадрате - 4 меньше или равно 0. Решим это неравенство методом интервалов.

    (у - 2)(у+2) меньше или равно 0. Отсюда у меньше или равно 2, но больше или равно -2.

    Тогда Log х по основанию 2 меньше или равно 2, но больше или равно -2.

    или log х по основанию 2 меньше или равно iog 4  по основанию 2, но  больше или равно log 1/4 по основанию 2.

    Отсюда х меньше или равно 4, но больше или равно 1/4.

1 2 3 > >>