степени » степень логарифма
  • Логарифм по основанию 3 логорифма по основанию 9 корень 27 степени, а под корнем корень кубический из9


    Решение:  log log √∛9= 
    осн-е3 осн-у9 корень 27
      степени
    Надо начинать с внутреннего логарифма. Корень будет 81 степени( 27·9), показатель у девятки будет 1/81, показатель выносится за знак логарифма, под логарифмом остаётся 9 и этот логарифм =1
    Под внешним логарифмом остаётся 1/81
    log 1/81 = - 6
    осн-е 3

  • Тут десятичный логарифм 6+ log в корне из двух в степени 4. Как решить и каков ответ?


    Решение: Чтобы десятичный логарифм не смущал, пиши его всегда как обычный с основанием 10. Сразу увидите основное логарифмическое тождество)

    $$ 10 ^{log _{10}6+ log_{2} 2 }= 6*10=60 $$

    Логарифм по осн. корень из 2 выражения 4 преобразовал: степень 1/2 перенёс в выражение и получил логарифм двух по основанию 2.
    Чтобы десятичный логарифм не смущал пиши его всегда как обычный с основанием . 
Сразу увидите основное логарифмическое тождество 
 log log 
Логарифм по осн. корень из выражени...
  • Степени и логарифмы: \( \frac{(2^ \frac{11}{15} \cdot 9^\frac{3}{5})^{15}}{18^9} \)


    Решение: 11. 4
    $$ \frac{(2^ \frac{11}{15} \cdot 9^\frac{3}{5})^{15}}{18^9}=\frac{2^{\frac{11}{15} \cdot 15} \cdot 9^{\frac{3}{5} \cdot 15}}{2^9 \cdot 9^9}=\frac{2^{11} \cdot 9^{9}}{2^9 \cdot 9^9}=2^2=4 $$

    12. 32
    $$ 64^{0,5} \cdot2^2=\sqrt{64} \cdot 4=8 \cdot 4=32 $$

    13. 90
    $$ \frac{3^ \frac{18}{7} \cdot 10^\frac{11}{7}}{30^\frac{4}{7}}=\frac{3^ \frac{18}{7} \cdot 10^\frac{11}{7}}{3^ \frac{4}{7} \cdot 10^\frac{4}{7}}=3^\frac{14}{7} \cdot 10^\frac{7}{7}=3^2 \cdot 10=9 \cdot 10=90 $$

    14. 21
    $$ 3 \cdot 2^{log_27}=3 \cdot 7=21 $$

    15. 27
    $$ \frac{3^{9,66}}{27^{2,22}} =\frac{3^{9,66}}{(3^3)^{2,22}} =\frac{3^{9,66}}{3^{6,66}}=3^3=27 $$

  • Степени и логарифмы: найдите значение выражения \( \frac{225\frac{3}{5}}{15\frac{1}{5}} \); \( \frac{9\frac{22}{7}4\frac{1}{7}}{36\frac{1}{7}} \); \( \frac{20\frac{8}{5}}{4\frac{3}{5}5\frac{8}{5}} \);
    \( 2log_4 8 - 3log_8 4 +log_2 32 +18 \); \( log_4 8 +log_4 2 \); \( log_4 32b, \;\;\;если\;\;\;log_2 b=3 \)


    Решение: Ответы:
    №1: 15
    №2: 729
    №3: 1 (если там везде степени 8/5. очень плохо видно в знаменателе степень числа 4. Если в знаменателе, там где 4 степень 9/5, то ответ будет 4^ -1/5)
    №4: 24
    №5: 2
    №6: 4

    Пояснение задания №1.
    Числитель 225^3/5.  225(пока без учета степени)  представляем как 15^2. Полученную степень 2 перемножаем со степенью 3/5. Получаем 6/5. По свойству степеней, так как выполняется деление, то степени с одинаковым основанием вычитаются: 15 ^ 6/5  : 15 ^ 1/5 = 15 ^ 5/5 =15.

    Пояснение задачи №2:
    Знаменатель 36^1/7.  Раскладываем это число как 9^1/7 x 4^1/7. Получаем одинаковые основания и в числителе, и в знаменателе. Вычитаем степени и получаем результат.

    Пояснение задачи №4.
    Тут нужно знать свойства логарифмов.
    Самое основной свойство логарифмов, связанное со степенями:
    Пример: $$ Log_{4}8 $$
    И число, и основание в данном случае, нужно сделать так, чтобы и то и другое было равно друг другу, чтобы в результате получить равное единице: $$ Log_{a} a =1 $$. Так 4 можно представить как 2^2, а 8 как 2^3. Привели. Дальше надо усвоить, что степени можно вынести за логарифм, при чем степень числа будет являться числителем коэффициента, а основание - знаменателем. Т.е, в данном примере получится коэффициент 3/2 и пример будет выглядеть таким образом: 3/2 $$ Log_{2}2 $$.

    Пояснение задачи №6.
    Тут действуют формулы:
    $$ Log_{a} X*Y = Log_{a}X + Log_{a} Y $$
    $$ Log_{a} X/Y = Log_{a}X - Log_{a} Y $$

    В данном случае мы берем формулу 1, где сложение и умножение. Из умножения мы разбиваем каждый логарифм, выполняя сложение. И дальше опять приводим основание и число к одному, вынося степени как коэффициент.

    *Прочие формулы:
    $$ Log_{a} b = \frac{1}{ log_{b}a} $$
    $$ a^{ log_{a}b} =b $$

  • Решить логарифм такого вида:
    (3^2log3 6) (3 степень 2log шести по основанию три)


    Решение: Это решается по основному логарифмическому тождеству. Сначала преобразуй степень.
    Двойку от логарифма перенеси в степень к шестёрке. Получится лог 36 по основанию 3
    А теперь по основному тождеству: основание лога совпадает с основанием степени. Поэтому ответом является логарифмируемое число.
  • ЛОГАРИФМЫ 1.log^2(3)x^3-20log(9)x +1=0 ^- степень (..)-по основанию 2. решить неравенство

    a)log(6)(x^2+10x+24)<=1+log(6) (x+6) b) log^2(0,5)x-log(0,5)x^2>3


    Решение:

    log(9)x=log(3)x/log(3)9=log(3)x/2

    9log^2(3)x-10log(3)x+1=0

    log(3)x=t

    9t^2-10t+1=0

    t=(5+-sqrt(25-9))/3=(5+-4)/3

    t1=3

    t2=1/3

    log(3)x=3  x=3^3=27

    log(3)x=1/3  x=-1

    2. log(6)6+log(6)(x+6)=log(6)(6x+36)

    x^2+10x+24<=6x+36

    x^2+4x-12<=0

    [-6;2]

    x>-6 +

    x^2+10x+24>0  x>-4  x<-6

    ответ ]-4;2]

    log^2(0,5)x-log(0,5)x^2>3

    t^2-2t-3>0

    t<-1

    t>3

    log(0,5)x>3   x<1/8

    log(0,5)<-1   x>2

    x>0

     ]0;1/8[ U]2;~[

  • Решите неравенства. логарифм х по основанию 0,3 меньше или равно 2 логарифм (2х+1) по основанию 3 меньше 3 5 в степени х+2 - 21 * 5 в степени х меньше 20


    Решение:

    $$ log_{0,3}x\leq2 $$

    $$ \begin{cases} x>0\\x\geq0,3^2\end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x>0\\x\geq0,09 \end{cases} $$

    $$ x\in[0,09;+\infty) $$

    $$ log_{3}(2x+1)<3 $$

    $$ \begin{cases} 2x+1>0\\2x+1<3^3\end{cases} $$

    $$ \begin{cases} 2x>-1\\2x+1<27\end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x>-0,5\\2x<26\end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x>-0,5\\x<13 \end{cases} $$

    $$ x\in(-0,5;13) $$

    $$ 5^{x+2}-21*5^x<20 $$

    $$ 5^x*5^2-21*5^x<20 $$

    $$ 5^x(25-21)<20 $$

    $$ 5^x*4<20|:4 $$

    $$ 5^x<5 $$

    $$ 5^x<5^1 $$

    \( x<1 \), т.к. \( y=5^x \) - возрастающая

    $$ x\in(-\infty;1) $$

  • 1. Решить тригонометрическое уравнение2 cos x - √2 = 0
    2. Решить логарифмическое уравнение
    log₂x + log₂ (x - 2) = 3
    3. Упростите выражение
    sin²(π/2 - x) - sin² (π + x)
    4. Найти наименьшее значение функции
    y = 2x³ - 3x² + 5 на отрезке [0;3]
    5. 2⁻⁴ × 27 в степени 1/3


    Решение: 1)
    2*cos(x) - sqrt(2) = 0
    cos(x) = sqrt(2)/2  => x = 45 градусов или пи/4

    2)
    log2(x) + log(x-2) = 3

    2^(log2(x*(x-2)) = 2^3

    x^2 - 2x = 8
    корни равны:
    x1 = 4
    x2 = -2

    3)
    sin^2(pi/2 - x) - sin^2(pi+x) = cos^2(x) - ( (1-cos(2*pi+2*x))/2 )  =

    = cos^2(x) - ( ( 1-cos(2*pi)*cos(2*x)+sin(2*pi)*sin(2*x) )/2 ) =

    =  ( 1 + cos(2*x) )/2 - ( (1 - cos(2*x))/2 ) = 1/2 + cos(2x)/2 - 1/2 + cos(2*x)/2 = cos(2x)

    4)
    y = 2*x^3 - 3*x^2 + 5  [0;3]
    Находим значения на краях:
    y(0) = 5
    y(3) = 32

    Находим первую производную:
    y’ = 6*x^2 - 6*x = 0
    корни уравнения : 1 и 0
    Находим вторую производную в точка 1 и 0:
    y’’ = 12x-6
    y’’(1) = 6
    y’’(0) = -6

    Тогда наименьшее значение функции: -6, а наибольшее 32.

    5)
    (1/(2^4)*27)^(1/3) = ( (27)^(1/3)/(16)^(1/3) )  = 3/(16)^(1/3)



  • Прологарифмируйте выражение (216*корень пятой степени из числа a^2)/b^3 по основанию корень из 6.


    Решение: Применяем формулы
    $$ log_a \frac{x}{y} =log_ax-log_ay \\ log_a xy=log_ax+log_ay \\ log_ax^p=plog_ax \\ \ log_{a^k}x= \frac{1}{k}log_ax, \\ a > 0,a eq 1,x > 0,y > 0 $$

    $$ log_{ \sqrt{6} }( \frac{216 \sqrt[5]{a^2}}{b^3})=log_{ \sqrt{6} }( 216 \sqrt[5]{a^2})-log_{ \sqrt{6} }(b^3)= \\ = log_{ \sqrt{6} } 216+log_{ \sqrt{6} }a^{ \frac{2}{5} }-log_{ \sqrt{6} }(b^3)= \\ = \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6 216+ \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6a^{ \frac{2}{5} }- \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6(b^3)= \\ =6+ \frac{4}{5}log_6a-6log_6b $$
    при a>0; b>0

  • log₂(2^2x-1(это степень двойки)-4)*log₂(4^x(степень четверки)-8)=6,у каждого логарифма основание 2.


    Решение: $$ log_2(2^{2x-1}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ log_2(2^{2x}*2^{-1}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ log_2(4^{x}*\frac{1}{2}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ log_2(\frac{4^x-8}{2})*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ (log_2(4^x-8)-log_22)*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ (log_2(4^x-8)-1)*log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ log_2^2(4^x-8)-log_2(4^x-8)=6 $$

    $$ log_2^2(4^x-8)-log_2(4^x-8)-6=0 $$

    введем замену переменной $$ log_2(4^x-8)=t $$

    t²-t-6=0

    D=1+24=25

    \( t_1=\frac{1+5}{2}=3 \)

    \( t_1=\frac{1-5}{2}=-2 \)

    вернемся к замене переменной

    1) \( log_2(4^x-8)=3 \)

     \( 4^x-8=2^3 \)

     \( 4^x=16 \)

     \( 4^x=4^2 \)

     \( x=2 \)

    2)  \( log_2(4^x-8)=-2 \)

    \( 4^x-8=2^{-2} \)

     \( 4^x-8=\frac{1}{4} \)

     \( 4^x=\frac{33}{4} \)

     \( 4^{x+1}=33 \)

    \( log_44^{x+1}=log_433 \)

    \( (x+1)log_44=log_433 \)

    \( x+1=log_433 \)

    \( x=log_433-1 \)

1 2 3 > >>