степени »

степень логарифма - страница 3

  • Как решать \( 7^{4log_73} \)?


    Решение: $$ 7^{4log_73} $$

    Здесь банальные свойства логарифмов. Надо делать постепенно. Сначала смотрим на сам логарифм:

    $$ 4log_73 $$

    Надо преобразовать логарифм. По свойству:

    $$ m \log_ab=log_ab^m $$

    $$ 4log_73=log_73^4=log_781 $$

    Далее решаем весь пример:

    $$ 7^{log_781} $$

    Снова свойство логарифма:

    $$ a^{log_ab}=b $$

    $$ 7^{log_781}=81 $$

    Ответ: 81

  • Решить логарифм: ( корень из 7) в степени 2 / log 7 по основанию 125


    Решение: Основное логарифмическое тождество
    $$ a^{log_ab}=b, \\ a > 0,a eq 1,b > 0 $$

    Из формулы перехода к другому основанию

    $$ log_ab= \frac{1}{log_ba}, \\ a > 0,a eq 1,b > ,b eq 1 $$

    $$ (\sqrt{7})^{ \frac{2}{log_{125}7}}= ( \sqrt{7})^{ 2\cdot log_{7}125}=(7^{ \frac{1}{2}})^{ 2\cdot log_{7}125} =7^{ log_{7}125}=125 $$

  • 1 задание. корень кубический, под ним корень четвертый из а в 6 степени, если а больше или равно 0. 2 задание.если логарифм с числом 3 и основой4 = а, то логарифм с числом 9 и основой 16= решите


    Решение:

    1) извлечение корня --- возведение в дробную степень

    при возведении в степень --- показатели степеней перемножаются

    ... = a^(6 * 1/4 * 1/3) = a^(1/2) = корень(a)

    2) log 4 (3) = a

    log 16 (9) = log 4^2 (3^2) = 1/2 * log 4 (3^2) = 1/2 * 2 * log 4 (3) = a

    формулы: log a^n (b) = 1/n * log a (b) log a (b^n) = n * log a (b)

  • На доске записано шесть натуральных чисел, таких, что для любых двух a и b из них, logab или logba – целое число (второй логарифм при этом не обязансущестовать). Какое наименьшее значение может принимать максимальное из этих чисел? Ответ можно записать в виде степени числа: mn обозначается как m^n.


    Решение: Вообще, если я правильно понимаю, то такое возможно в случае, если все эти числа будут совпадать(возможно за исключением одного), т.е. набор 1 2 2 2 2 2 будет подходить под эту систему. ( У нас ведь не сказано, что числа различные?). В ином случае, это возможно, только если каждое последующее число будет квадратом следующего. Начнем опять с 1, т.е. получаем 1, 2, 2^2, 2^4, 2^8, 2^16 (по идее, меньше не может быть)

  • 1. В прямоугольном треугольнике ВСД угол Д=90* гипотенуза ВС=36 угол СВД=60. Найти длину катета.
    2. Областью определения функции у=2 умножить на корень 4 степени под корнем 1-х, является множество .........
    2. Вычислить логарифм: лог4. 64с, если лог4. с=-3,5


    Решение: Применены : свойство катета против угла в 30 градусов, теорема Пифагора, область определения корня чётной степени, свойства логарифмов Применены свойство катета против угла в градусов теорема Пифагора область определения корня ч тной степени свойства логарифмов...

  • Решить уравнение с логарифмом: \(-3^{\log1/3(25-х^2)}=6\)


    Решение: -3^(log₁/₃(25-x²))=6
    -3^((1/-1)*(log₃(25-x²))=6
    -3^(-1*log₃(25-x²))=6
    (-3^(log₃(25-x²))^(-1)=6
    (-(25-x²))^(-1)=6
    (x²-5²)^(-1)=6
    1/(6(x+5)(x-5))=0
    решения нет, т.к. нулю может равняться только в случае, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

  • Неравенства. Логарифмы:2 в степени x > или = 9
    3 в степени x+1 < или = 14
    4 в степени x -5*2 степени x > или = -6


    Решение: Основание логарифма 2? |х-2| больше или =0, -|х-2| меньше или =0, 5 в степени - |х-2| меньше или = 5 в степени 0. Значит (5 в степени - |х-2|) меньше или =1. Теперь с логарифмом. (4x - x^2 - 2) =-(х-2)^2+2, Значит (4x - x^2 - 2) меньше или =2. Логарифмируем по основанию 2, логарифм (4x - x^2 - 2)меньше или =log2 или 1. Неравенство верно, если каждый множитель принимает максимальное значение, то есть по равны 1. И ответ х=2

  • Решить уравнение: а) 9 в степени х - 6×3 в степени х -1 =3

    б) логарифм₂ (4х+1)=логарифм₂(3х+7)


    Решение: a)

    $$ 9^x-6*3^{x-1}=3 $$

    Преобразуем и перенесем:

    $$ 3^{2x}-\frac{6*3^x}{3}-3=0 $$

    $$ 3^{2x}-2*3^x-3=0 $$

    Заменим: $$ 3^x=t $$

    Получится квадратное уравнение:

    $$ t^2-2t-3=0 $$

    Решим его:

    $$ t_{1/2}=\frac{4+-\sqrt{4+12}}{2} $$

    $$ t1=4; t2=0 $$

    Второй корень отбрасываем, т.к. $$ 3^x $$ никак не может быть равно 0 или числу с минусом, остается первый:

    $$ 3^x=4 $$

    $$ x=log_34 $$

    б)$$ log_2(4x+1)=log_2(3x+7) $$

    Т.к. основания у логарифмов одинаковые - отбрасываем их (т.е. потенцируем по-научному)):

    $$ 4x+1=3x+7 $$

    $$ x=6$$

  • Решите неравенства: а)(2/7) в степени 5х+2 ≤ 49/4

    б) логарифм₅(8-6х)≤логарифм₅2х


    Решение: a). Преобразуем:

    $$ (\frac{2}{7})^{5x+2}<=\frac{49}{4} $$

    $$ (\frac{2}{7})^{5x+2}<=(\frac{2}{7})^{-2} $$

    т.к. основания одинаковы -  отбросим их и, внимание, поменяем знак, т.к. основание меньше 1:

    $$ 5x+2>=-2 $$

    $$ x>=-0.8 $$

    б) $$ log_5(8-6x)<=log_52x $$

    Т.к. основания у логарифмов одинаковые, можем отбросить:

    $$ 8-6x<=2x $$

    $$ x>=1 $$

  • Решить уравнение с логарифмом в степени \( 2^{log_{16}(6x+7)}=7 \)


    Решение:

    $$ 2^{log_{16}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{log_{2^{4}}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{ \frac{1}{4}*log_{2}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{log_{2}( \sqrt[4]{6x+7}) }=7 $$
    $$ \sqrt[4]{6x+7}=7 $$
    $$ \left \{ {{6x+7>0} \atop {6x+7=7^{4}}} \right. $$

    $$ \left \{ {{x>-\frac{7}{6} } \atop {6x=7^{4}-7}} \right. $$

    $$ \left \{ {{x>-\frac{7}{6} } \atop {x=\frac{7}{6}*(7^{3}-1)}} \right. $$

    $$ x=\frac{7*342}{6}=7*57=399 $$ - ответ

    Проверка:
    $$ 2^{log_{16}(6*399+7)}=2^{log_{16}(2401)}=2^{log_{2}(\sqrt[4]{2401})}=\sqrt[4]{2401}=7 $$   - верно

    Ответ: x=399

<< < 123 4 > >>