степень логарифма - страница 2
Log^2 4(О-основание)x(Ч-число логарифма) -log4(О) √x(Ч) -1.5=0 (как изменяется основание и число логарифма, если логарифм во второй степени&)
Решение:$$ \log^2_4x-log_4\sqrt{x}-1,5=0\\O.D.3.:\\\begin{cases}x>0\\\sqrt x>0\\x\geq0\end{cases} \Rightarrow x>0\\log_4\sqrt x=\log_4x^{\frac12}=\frac12\log_4x=0,5\log_4x\\log^2_4x-0,5\log_4x-1,5=0\\\log_4x=t,\;\log^2_4x=t^2\\t^2-0,5t-1,5=0\\ \times2\\2t^2-t-3=0\\D=1+4\cdot2\cdot3=25\\t_1=-1,\\t_2=\frac32\\\log_4x=-1\Rightarrow x=4^{-1}=\frac14\\log_4x=\frac32 \Rightarrow x=4^{\frac32}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=\pm8\o\;O.D.3.\;x>0\Rightarrow\begin{cases}x=\frac14\\x=8\end{cases} $$
Нужно подробное решение логарифмических уравнений, корни первого: 1 и 9, второго:16 и 3 (это степень)√4 \( 3log^2_4 \cdot x - 7log_4 \cdot x + 2 = 0 \); \( log_(\frac13)(x^2 - 10x + 10) = 0 \)
Решение: Б) $$ log_{4}x $$ обозначим за t и получим
$$ 3t^{2}-7t+2=0 \\ t_{1}=1 \\ t_{2}= \frac{4}{3} \\ log_{4}x=1 \\ x=4 \\ log_{4}x= \frac{4}{3} \\ x= 4^{ \frac{4}{3} } $$
б) $$ log_{1/3} x^{2}-10x+10= log_{1/3}1 \\ x^{2}-10x+10=1 \\ x^{2}-10x+9=0 $$4 в степени логарифм по основанию x от 4 = x^9C оформлением
Решение:4 ^ (logx (4)) = x^9
обе части под логарифм с основанием 4
log4 (4 ^ (logx (4))) = log4 (x^9)
logx(4) *log4 (4) = 9*log4(x)
logx(4) * 1 = 9*log4(x)
logx(4)/log4(x) = 9
переход к новому основанию 1/log4(x) = logx(4)
(logx(4))^2 = 9
или
(logx(4))^2 = 3^2
logx(4) = 3
x =³√2² = ³√4
или
(logx(4))^2 = (-3)^2
logx(4) = - 3
x = 1/³√x² = 1/³√4Решить уравнение: Икс в степени логарифм десятичный икс равно 10000
Решение:Икс в степени логарифм десятичный икс равно 10000
x^(lg x)=10 000
логарифмируя и используя формулу логарифма степеня
lg x *lg x =lg10 000
перепишем в виде
(lg x)^2=lg 10^4
откуда используя формулу логарифма степеня
(lg x)^2=4
откуда
lg x =2 или lg x=-2
x=10^2 или х=10^(-2)
x=100 или х=0.01
проверкой можно убедиться, что корни удовлетворяют уравнению
Решить 4 в степени логарифм по основанию 2 числа х-4 меньше или равно 36. (4^log2(x-4)<или=36)
Решение:ОДЗ: x-4>0 <=> x>4
(2^2)^log_2(x-4)<=36
2^{2*log_2(x-4)}<=36
2^log_2{(x-4)^2}<=36
По свойству получаем, что:
(x-4)^2<=36
(x-4)^2-36<=0
(x-4-6)*(x-4+6)<=0
(x-10)*(x+2)<=0
Решаем неравенство методом интервалов. Находим при каких икс левая часть равна нулю:
x-10=0 <=> x=10
x+2=0 <=> x=-2
На числовой оси иксов ставим точки -2 и 10. Знаки на получившихся интервалах: плюс, минус, плюс. Нам нужен минус, значит икс принадлежит отрезку [-2;10].
С учетом ОДЗ x c (4; 10].ОДЗ
х - 4 > 0
x > 4
x ∈ ]4; +∞[
$$ 4^{ log_{2}(x - 4) } \leq 36 2^{ 2lod_{2}(x - 4) } \leq 36 \\ 2^{ log_{2} (x - 4)^{2} } \leq 36 \\ (x - 4)^{2} \leq 36 x^{2} - 8x + 16 - 36 \leq 0 \\ x^{2} - 8x - 20 \leq 0 D = b^{2} - 4 * a * c \\ D = (- 8)^{2} - 4 * 1 * (- 20) = 144 = 12^{2} \\ x_{1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \\ x_{2} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{- 4}{2} = 2 $$
(x - 10) * (x + 2)≤ 0
- 2 ≤ x ≤ 10
ОДЗ х >4
Ответ: ]4; 10]Логарифм степени 2 по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус два равно нулю
Решение: $$ x > 0 \\ \ \log_3 ^2 x + \log_3x -2 =0 \\ \ t=\log_3x \\ \ t^2 +t-2=0; \\ \ t_{1,2} =\frac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2}; \\ \ t=1, \\ \ t=-2 \\ \ \log_3x=1; \\ \ x=3^1 =3; \\ \ \\ \ \log_3x=-2; \\ \ \\ x=3^{-2} =\frac{1}{9} $$25^log2(5) ( 25 в степени логарифм 2 по основанию 5). Желательно с объяснением.
Решение: 25 представляем как 5^2Теперь получается 5 в степени 2* логарифм 2 по основанию 5
Множитель перед логарифмов можно внести как степень под логарифмического выражения, значит 5 в степени логарифм 2^2 по основанию 5
Так как основания степени и логарифма равны, то ответ 2^2 = 4
x^ log2x+2=8, икс в степени((логарифм числа икс по основанию 2)+2) =8
Решение: Если расписать 8 как 2^3, то х=2, и (логарифм х по основанию 2)+2=3во втором уравнении х=2, т.е. єто и есть решение
ОК. Через логарифмирование.
Напишите логарифм по основанию 2 перед х в степени (...) и такой же логарифм по сонованию 2 перед 8 (я бы написала, но здесь в формулах нет логарифмов).
Получится, исходя из свойств логарифма:
(log{2}x+2)(log{2}x)=3log{2}2
Для удобства написания обозначаю log{2}x через t, т.е. (t+2)t=3
t^2+2t-3=0
t=(-2-4)/2=-3 - не подходит, т.к. меньше 0.
t=(-2+4)/2=1
log{2}x=1, значит х=2
$$ x^{log_2 x+2}=8;\ x>0;\\ (log_2 x+2)*log_2 x=log_2 8;\\ log^2_2 x+2log_2 x=log_2 2^3;\\ log^2_2 x+2log_2 x-3=0;\\ (log_2 x+3)*(log_2 x-1)=0;\\ 1. log_2 x=-3;\\ x_1=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0.125;\\ 2. log_2 x=1;\\ x_2=2^1=2; $$
Решить уравнение 9^log2(3-x)=27^log8(15-x) (9 в степени логарифм 3-х по основанию 2 = 27 в степени лог 15-х по основанию 8)
Решение:$$ 9^{ log_{2}(3-x) }= 27^{ log_{8} (15-x)} $$
ОДЗ:
\( \left \{ {3-x > 0} \atop {15-x > 0} \right. \)
$$ \left \{ {x < 3} \atop {x < 15} \right. $$
$$ x ∈ (-\infty;3) $$
$$ 3^{ 2log_{2}(3-x) }= 3^{3log_{2^3} (15-x)} $$
$$ 3^{ 2log_{2}(3-x) }= 3^{3* \frac{1}{3} log_{2} (15-x)} $$
$$ 3^{ log_{2}(3-x)^2}= 3^{ log_{2} (15-x)} $$
$$ { log_{2}(3-x)^2}= { log_{2} (15-x)}$$
$$ (3-x)^2= 15-x $$
$$ 9+ x^{2} -6x=15-x $$
$$ x^{2}-5x-6=0 $$
$$ D=25+24=49$$
$$ x_1=6 $$ не подходит
$$ x_2=-1 $$
Ответ: -1Найдите значение выражения : семь девятых*(log по основанию 5 ста двадцати пяти + 64 в степени логарифм по основанию 4 пяти) и всё это в степени log по основанию 128 сорока пяти
Решение: $$ \frac{7}{9} \cdot ( log_{5}125 + 64^{ log_{4} 5} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot (3 + 4^{ 3log_{4} 5} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot ( 3 + 4^{ log_{4} 125} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot ( 3 + 125)^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot 128^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} · 45 = 35 $$
Пояснения к решению:
$$ a^{ log_{a} b} = b $$ - основное логарифмическое тождество (было применено дважды при решении)
$$ 4^{ 3log_{4} 5 } = 4^{ log_{4} 5^{3} } $$ - свойство логарифма (в данном случае внесение показателя степени в логарифм, обратное тоже можно делать, т.е. выносить за логарифм)
$$ 4^{ log_{4} 5^{3} } = 4^{ log_{4} 125 } $$
