степень логарифма - страница 2
ЛОГАРИФМЫ 1.log^2(3)x^3-20log(9)x +1=0 ^- степень (..)-по основанию 2. решить неравенство
a)log(6)(x^2+10x+24)<=1+log(6) (x+6) b) log^2(0,5)x-log(0,5)x^2>3
Решение:log(9)x=log(3)x/log(3)9=log(3)x/2
9log^2(3)x-10log(3)x+1=0
log(3)x=t
9t^2-10t+1=0
t=(5+-sqrt(25-9))/3=(5+-4)/3
t1=3
t2=1/3
log(3)x=3 x=3^3=27
log(3)x=1/3 x=-1
2. log(6)6+log(6)(x+6)=log(6)(6x+36)
x^2+10x+24<=6x+36
x^2+4x-12<=0
[-6;2]
x>-6 +
x^2+10x+24>0 x>-4 x<-6
ответ ]-4;2]
log^2(0,5)x-log(0,5)x^2>3
t^2-2t-3>0
t<-1
t>3
log(0,5)x>3 x<1/8
log(0,5)<-1 x>2
x>0
]0;1/8[ U]2;~[
Решите неравенства. логарифм х по основанию 0,3 меньше или равно 2 логарифм (2х+1) по основанию 3 меньше 3 5 в степени х+2 - 21 * 5 в степени х меньше 20
Решение:$$ log_{0,3}x\leq2 $$
$$ \begin{cases} x>0\\x\geq0,3^2\end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>0\\x\geq0,09 \end{cases} $$
$$ x\in[0,09;+\infty) $$
$$ log_{3}(2x+1)<3 $$
$$ \begin{cases} 2x+1>0\\2x+1<3^3\end{cases} $$
$$ \begin{cases} 2x>-1\\2x+1<27\end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>-0,5\\2x<26\end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>-0,5\\x<13 \end{cases} $$
$$ x\in(-0,5;13) $$
$$ 5^{x+2}-21*5^x<20 $$
$$ 5^x*5^2-21*5^x<20 $$
$$ 5^x(25-21)<20 $$
$$ 5^x*4<20|:4 $$
$$ 5^x<5 $$
$$ 5^x<5^1 $$
\( x<1 \), т.к. \( y=5^x \) - возрастающая
$$ x\in(-\infty;1) $$
1. Решить тригонометрическое уравнение2 cos x - √2 = 0
2. Решить логарифмическое уравнение
log₂x + log₂ (x - 2) = 3
3. Упростите выражение
sin²(π/2 - x) - sin² (π + x)
4. Найти наименьшее значение функции
y = 2x³ - 3x² + 5 на отрезке [0;3]
5. 2⁻⁴ × 27 в степени 1/3
Решение: 1)
2*cos(x) - sqrt(2) = 0
cos(x) = sqrt(2)/2 => x = 45 градусов или пи/4
2)
log2(x) + log(x-2) = 3
2^(log2(x*(x-2)) = 2^3
x^2 - 2x = 8
корни равны:
x1 = 4
x2 = -2
3)
sin^2(pi/2 - x) - sin^2(pi+x) = cos^2(x) - ( (1-cos(2*pi+2*x))/2 ) =
= cos^2(x) - ( ( 1-cos(2*pi)*cos(2*x)+sin(2*pi)*sin(2*x) )/2 ) =
= ( 1 + cos(2*x) )/2 - ( (1 - cos(2*x))/2 ) = 1/2 + cos(2x)/2 - 1/2 + cos(2*x)/2 = cos(2x)
4)
y = 2*x^3 - 3*x^2 + 5 [0;3]
Находим значения на краях:
y(0) = 5
y(3) = 32
Находим первую производную:
y’ = 6*x^2 - 6*x = 0
корни уравнения : 1 и 0
Находим вторую производную в точка 1 и 0:
y’’ = 12x-6
y’’(1) = 6
y’’(0) = -6
Тогда наименьшее значение функции: -6, а наибольшее 32.
5)
(1/(2^4)*27)^(1/3) = ( (27)^(1/3)/(16)^(1/3) ) = 3/(16)^(1/3)Прологарифмируйте выражение (216*корень пятой степени из числа a^2)/b^3 по основанию корень из 6.
Решение: Применяем формулы
$$ log_a \frac{x}{y} =log_ax-log_ay \\ log_a xy=log_ax+log_ay \\ log_ax^p=plog_ax \\ \ log_{a^k}x= \frac{1}{k}log_ax, \\ a > 0,a eq 1,x > 0,y > 0 $$
$$ log_{ \sqrt{6} }( \frac{216 \sqrt[5]{a^2}}{b^3})=log_{ \sqrt{6} }( 216 \sqrt[5]{a^2})-log_{ \sqrt{6} }(b^3)= \\ = log_{ \sqrt{6} } 216+log_{ \sqrt{6} }a^{ \frac{2}{5} }-log_{ \sqrt{6} }(b^3)= \\ = \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6 216+ \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6a^{ \frac{2}{5} }- \frac{1}{ \frac{1}{2} } log_6(b^3)= \\ =6+ \frac{4}{5}log_6a-6log_6b $$
при a>0; b>0
log₂(2^2x-1(это степень двойки)-4)*log₂(4^x(степень четверки)-8)=6,у каждого логарифма основание 2.
Решение: $$ log_2(2^{2x-1}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$$$ log_2(2^{2x}*2^{-1}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$
$$ log_2(4^{x}*\frac{1}{2}-4)*log_2(4^x-8)=6 $$
$$ log_2(\frac{4^x-8}{2})*log_2(4^x-8)=6 $$
$$ (log_2(4^x-8)-log_22)*log_2(4^x-8)=6 $$
$$ (log_2(4^x-8)-1)*log_2(4^x-8)=6 $$
$$ log_2^2(4^x-8)-log_2(4^x-8)=6 $$
$$ log_2^2(4^x-8)-log_2(4^x-8)-6=0 $$
введем замену переменной $$ log_2(4^x-8)=t $$
t²-t-6=0
D=1+24=25
\( t_1=\frac{1+5}{2}=3 \)
\( t_1=\frac{1-5}{2}=-2 \)
вернемся к замене переменной
1) \( log_2(4^x-8)=3 \)
\( 4^x-8=2^3 \)
\( 4^x=16 \)
\( 4^x=4^2 \)
\( x=2 \)
2) \( log_2(4^x-8)=-2 \)
\( 4^x-8=2^{-2} \)
\( 4^x-8=\frac{1}{4} \)
\( 4^x=\frac{33}{4} \)
\( 4^{x+1}=33 \)
\( log_44^{x+1}=log_433 \)
\( (x+1)log_44=log_433 \)
\( x+1=log_433 \)
\( x=log_433-1 \)
