степени »

степень логарифма - страница 4

  • Логарифм степени 2 по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус два равно нулю


    Решение: $$ x > 0 \\ \ \log_3 ^2 x + \log_3x -2 =0 \\ \ t=\log_3x \\ \ t^2 +t-2=0; \\ \ t_{1,2} =\frac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2}; \\ \ t=1, \\ \ t=-2 \\ \ \log_3x=1; \\ \ x=3^1 =3; \\ \ \\ \ \log_3x=-2; \\ \ \\ x=3^{-2} =\frac{1}{9} $$

  • 25^log2(5) ( 25 в степени логарифм 2 по основанию 5). Желательно с объяснением.


    Решение: 25 представляем как 5^2

    Теперь получается 5 в степени 2* логарифм 2 по основанию 5

    Множитель перед логарифмов можно внести как степень под логарифмического выражения, значит 5 в степени логарифм 2^2 по основанию 5

    Так как основания степени и логарифма равны, то ответ 2^2 = 4

  • x^ log2x+2=8, икс в степени((логарифм числа икс по основанию 2)+2) =8


    Решение: Если расписать 8 как 2^3, то х=2, и (логарифм х по основанию 2)+2=3

    во втором уравнении х=2, т.е. єто и есть решение

    ОК. Через логарифмирование.

    Напишите логарифм по основанию 2 перед х в степени (...) и такой же логарифм по сонованию 2 перед 8 (я бы написала, но здесь в формулах нет логарифмов).

    Получится, исходя из свойств логарифма:

    (log{2}x+2)(log{2}x)=3log{2}2

    Для удобства написания обозначаю log{2}x через t, т.е. (t+2)t=3

    t^2+2t-3=0

    t=(-2-4)/2=-3 - не подходит, т.к. меньше 0.

    t=(-2+4)/2=1

    log{2}x=1, значит х=2 

    $$ x^{log_2 x+2}=8;\ x>0;\\ (log_2 x+2)*log_2 x=log_2 8;\\ log^2_2 x+2log_2 x=log_2 2^3;\\ log^2_2 x+2log_2 x-3=0;\\ (log_2 x+3)*(log_2 x-1)=0;\\ 1. log_2 x=-3;\\ x_1=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0.125;\\ 2. log_2 x=1;\\ x_2=2^1=2; $$

  • Решить уравнение 9^log2(3-x)=27^log8(15-x) (9 в степени логарифм 3-х по основанию 2 = 27 в степени лог 15-х по основанию 8)


    Решение:

    $$ 9^{ log_{2}(3-x) }= 27^{ log_{8} (15-x)} $$

    ОДЗ:
    \( \left \{ {3-x > 0} \atop {15-x > 0} \right. \)

    $$ \left \{ {x < 3} \atop {x < 15} \right. $$

    $$ x ∈ (-\infty;3) $$

    $$ 3^{ 2log_{2}(3-x) }= 3^{3log_{2^3} (15-x)} $$

    $$ 3^{ 2log_{2}(3-x) }= 3^{3* \frac{1}{3} log_{2} (15-x)} $$

    $$ 3^{ log_{2}(3-x)^2}= 3^{ log_{2} (15-x)} $$

    $$ { log_{2}(3-x)^2}= { log_{2} (15-x)}$$

    $$ (3-x)^2= 15-x $$

    $$ 9+ x^{2} -6x=15-x $$
    $$ x^{2}-5x-6=0 $$
    $$ D=25+24=49$$
    $$ x_1=6 $$ не подходит
    $$ x_2=-1 $$
    Ответ: -1

  • Найдите значение выражения : семь девятых*(log по основанию 5 ста двадцати пяти + 64 в степени логарифм по основанию 4 пяти) и всё это в степени log по основанию 128 сорока пяти


    Решение: $$ \frac{7}{9} \cdot ( log_{5}125 + 64^{ log_{4} 5} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot (3 + 4^{ 3log_{4} 5} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot ( 3 + 4^{ log_{4} 125} )^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot ( 3 + 125)^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} \cdot 128^{ log_{128} 45} =\\= \frac{7}{9} · 45 = 35 $$
    Пояснения к решению:

    $$ a^{ log_{a} b} = b $$  - основное логарифмическое тождество (было применено дважды при решении)
    $$ 4^{ 3log_{4} 5 } = 4^{ log_{4} 5^{3} } $$  - свойство логарифма (в данном случае внесение показателя степени в логарифм, обратное тоже можно делать, т.е. выносить за логарифм)
    $$ 4^{ log_{4} 5^{3} } = 4^{ log_{4} 125 } $$
<< < 234 5 6 > >>