степени »

степень логарифма - страница 6

  • Решить уравнение с логарифмом: \(-3^{\log1/3(25-х^2)}=6\)


    Решение: -3^(log₁/₃(25-x²))=6
    -3^((1/-1)*(log₃(25-x²))=6
    -3^(-1*log₃(25-x²))=6
    (-3^(log₃(25-x²))^(-1)=6
    (-(25-x²))^(-1)=6
    (x²-5²)^(-1)=6
    1/(6(x+5)(x-5))=0
    решения нет, т.к. нулю может равняться только в случае, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

  • Неравенства. Логарифмы:2 в степени x > или = 9
    3 в степени x+1 < или = 14
    4 в степени x -5*2 степени x > или = -6


    Решение: Основание логарифма 2? |х-2| больше или =0, -|х-2| меньше или =0, 5 в степени - |х-2| меньше или = 5 в степени 0. Значит (5 в степени - |х-2|) меньше или =1. Теперь с логарифмом. (4x - x^2 - 2) =-(х-2)^2+2, Значит (4x - x^2 - 2) меньше или =2. Логарифмируем по основанию 2, логарифм (4x - x^2 - 2)меньше или =log2 или 1. Неравенство верно, если каждый множитель принимает максимальное значение, то есть по равны 1. И ответ х=2

  • Решить уравнение: а) 9 в степени х - 6×3 в степени х -1 =3

    б) логарифм₂ (4х+1)=логарифм₂(3х+7)


    Решение: a)

    $$ 9^x-6*3^{x-1}=3 $$

    Преобразуем и перенесем:

    $$ 3^{2x}-\frac{6*3^x}{3}-3=0 $$

    $$ 3^{2x}-2*3^x-3=0 $$

    Заменим: $$ 3^x=t $$

    Получится квадратное уравнение:

    $$ t^2-2t-3=0 $$

    Решим его:

    $$ t_{1/2}=\frac{4+-\sqrt{4+12}}{2} $$

    $$ t1=4; t2=0 $$

    Второй корень отбрасываем, т.к. $$ 3^x $$ никак не может быть равно 0 или числу с минусом, остается первый:

    $$ 3^x=4 $$

    $$ x=log_34 $$

    б)$$ log_2(4x+1)=log_2(3x+7) $$

    Т.к. основания у логарифмов одинаковые - отбрасываем их (т.е. потенцируем по-научному)):

    $$ 4x+1=3x+7 $$

    $$ x=6$$

  • Решите неравенства: а)(2/7) в степени 5х+2 ≤ 49/4

    б) логарифм₅(8-6х)≤логарифм₅2х


    Решение: a). Преобразуем:

    $$ (\frac{2}{7})^{5x+2}<=\frac{49}{4} $$

    $$ (\frac{2}{7})^{5x+2}<=(\frac{2}{7})^{-2} $$

    т.к. основания одинаковы -  отбросим их и, внимание, поменяем знак, т.к. основание меньше 1:

    $$ 5x+2>=-2 $$

    $$ x>=-0.8 $$

    б) $$ log_5(8-6x)<=log_52x $$

    Т.к. основания у логарифмов одинаковые, можем отбросить:

    $$ 8-6x<=2x $$

    $$ x>=1 $$

  • Решить уравнение с логарифмом в степени \( 2^{log_{16}(6x+7)}=7 \)


    Решение:

    $$ 2^{log_{16}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{log_{2^{4}}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{ \frac{1}{4}*log_{2}(6x+7)}=7 $$
    $$ 2^{log_{2}( \sqrt[4]{6x+7}) }=7 $$
    $$ \sqrt[4]{6x+7}=7 $$
    $$ \left \{ {{6x+7>0} \atop {6x+7=7^{4}}} \right. $$

    $$ \left \{ {{x>-\frac{7}{6} } \atop {6x=7^{4}-7}} \right. $$

    $$ \left \{ {{x>-\frac{7}{6} } \atop {x=\frac{7}{6}*(7^{3}-1)}} \right. $$

    $$ x=\frac{7*342}{6}=7*57=399 $$ - ответ

    Проверка:
    $$ 2^{log_{16}(6*399+7)}=2^{log_{16}(2401)}=2^{log_{2}(\sqrt[4]{2401})}=\sqrt[4]{2401}=7 $$   - верно

    Ответ: x=399

<< < 456 7 > >>