дроби »

числитель и знаменатель дроби

  • 1. правило разложения чисел на простые множители нахождение НОД и НОК чисел?
    2. основное свойство дроби-значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю?


    Решение: 1. Алгоритм разложения числа на простые множители следующий:
    Текущий делитель = 2.
    Проверяем, делится ли число на текущий делитель. Если делится, то делим и проверяем снова. Если не делится, то увеличиваем текущий делитель на 1. Повторяем до тех пор, пока в результате деления не получим 1 или пока результат деления не совпадет с делителем.
    Пример:
    72 = 2 * 36 = 2 * 2 * 18 = 2 * 2 * 2 * 9 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3;
    На первых трех шагах делили на 2, пока не получили в результате деления 18 на 2 число 9. Оно не делится на два, проверяем следующий делитель = 3. В это примере результат деления совпал с текущим делителем.
    Если же число простое, например 17, то
    17 = 17 * 1;
    мы остановимся, когда в результате деления увидим единичку.
    НОД нескольких чисел найти  несложно. Раскладываем каждое на простые множители, как описано выше, затем выбираем из разложения те, которые повторяются для ВСЕХ чисел.
    Пример:
    16 = 2 * 2 * 4 = 2 * 2 * 2 * 2
    42 = 2 * 21 = 2 * 3 * 7
    24  = 2 * 12 = 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 3
    Общей для всех является только одна 2, значит, НОД = 2.
    Если бы вместо 42 было число 84
    84 = 2 * 42 = 2 * 2 * 21 = 2 * 2 * 3 * 7
    то НОД был бы 2 * 2, т. к. в этом случае ОБЩИМИ были бы уже две двойки
    НОК можно найти используя НОД: произведение всех чисел делим на НОД.
    2. Да, это верно. Оно используется при приведении дробей к общему знаменателю.
    3. Это не совсем дробь, корректнее назвать это частью числа или процентами числа. Перевод частей в проценты так же не составляет сложности - просто умножаем число частей на 100. Например, 0.23 = 0.23 * 100 = 23 процента.
    0.23 * 200 - нахождение 23 процентов от числа 200.

  • Выберите верное утверждения.
    1) Если числитель и знаменатель дроби умножить на 5, то дробь не изменится.
    2) Если знаменатель положительный дроби увеличить в 2 раза, то дробь уменьшится в 2 раза.
    3) При умножении двух нецелых чисел всегда получается нецелое число.
    4) Если к числителю и знаменателю дроби прибавить 2, то дробь не изменится.


    Решение: 1) верно
    2) верно
    3) неверно.
    Пример: 0,2*0,5=1 (0,2 и 0,5 - нецелые числа, но их произведение - целое число)
    4) неверно.
    Пример:
    Возьмём дробь 5/7.
    Если к числителю и знаменателю одновременно прибавить 2, получим дробь 7/9. Приведём дроби к одному знаменателю: 5*9/7*9=45/63   
                                                                         7*7/9*7=49/63
                                                                         45<49
                                                                          45\63< 49\63
                                                                          5|7 < 7|9  => 5/7≠7/9

  • Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Как изменится дробь, если числитель увеличить на 17%, а знаменатель уменьшить на 48%


    Решение: 1) X/Y - начальная дробь 
    2) Числитель увеличиваем на 17% : 
      Х + 0,17Х = 1,17Х 
    3) Знаменатель уменьшим на 48 % : 
      Y - 0,48Y = 0,52Y
    4) получим дробь: 
      ( 1,17X ) /( 0,52Y ) = ( 2,25X) / Y 
    5) как изменится дробь ? 
      ( 2,25Х )/ Y ) : ( X/Y ) = 2,25 ( раз )
    ОТВЕТ увеличится в 2,25 раза

    Пусть числитель дроби х, знаменатель у, Числитель увеличили на 17%, он стал 1,17х, знаменатель уменьшили на 48% и он стал 0,52у
    1,17х:0,52у=2,25 (х/у) 
    Дробь увеличилась в 2,25 раза

  • Числитель и знаменатель дроби-положительные числа. Как изменится дробь, если числитель увеличит на 32%, а знаменатель увеличить на 10%?


    Решение: Если числитель увеличить на 32%, а знаменатель на 10%, то вся дробь увеличится в 32/10=3,2.

    Ответ: дробь изменится в 3,2.

    Если числитель увеличить на а знаменатель на то вся дробь увеличится в . Ответ дробь изменится в ....

  • Числитель и знаменатель дроби-положительные числа. Как изменится дробь, если числитель увеличится на 32%, а знаменатель увеличить на 65%


    Решение: Допустим дробь имеет вид $$ \frac{x}{y} $$, где х>0 и y >0

    Увеличим числитель и знаменатель $$ \frac{0,32x + x}{0,65y + y} = \frac{1,32x}{1,65y} $$ получим $$ 0,8 \frac{x}{y} $$

    Дробь уменьшится до 80%

    Определённой дроби у нас в условии нет (чисел), так что возьмём универсал - переменные.)

    Имеется дробь:

    $$ \frac{x}{y} $$

    Даже сделаем так: 

    И в числителе и в знаменателе - числа, которые составляют 100% каждое по отдельности, то есть:

    $$ \frac{x}{y}= \frac{100\%}{100\%} $$

    И эти числа, кстати, да - положительные, т. е. оба > 0.

    Теперь смотрим условия: числитель увеличивается на 32%, а знаменатель - на 65%. Что это означает? Это означает, что сначала нужно найти сколько составляет 32% от 100% и 65% - от 100%. Есть формула. Хотя она здесь, честно говоря, и не нужна, но всё-таки приведу для справки: 

    $$ b = \frac{a}{100}\cdot p $$

    b - это то, что мы получим

    a - это число от которого считаем

    p - это проценты, которые мы по сути и переводим в конкретное число.

    У нас:

    b - это то, что мы получим

    a - это числа, которые стоят в числителе и знаменателе (для удобства возьмём сотни ("100") за эти числа)

    p - это проценты, которые указаны в условии задачи (32% и 65%).

    Итак:

    b₁ (числитель) = 100 : 100 × 32 = 32

    b₂ (знаменатель) = 100 : 100 × 65 = 65

    А теперь ещё раз читаем условие задачи: ". если числитель увеличится на 32%, а знаменатель увеличить на 65%". Надо те результаты, которые мы получили, прибавить к числам, от которых находили эти самые результаты:

    1. 100 + 32 = 132 (числитель)

    2. 100 + 65 = 165 (числитель)

    Мы получили изменённую дробь:

    $$ \frac{132}{165} $$

    Остааётся только разделить полученную дробь на первоначальную, и тогда мы узнаем, на сколько же они различны, вернее ВО сколько:

    $$ \frac{132}{165}:\frac{100}{100}= \frac{132}{165}\cdot 1 = \frac{132}{165}=\\\\ =\frac{132\cdot 2}{165\cdot 2}=\frac{264}{330}=\frac{264:6}{330:6}=\frac{44}{55}=\frac{44:11}{55:11}=\frac{4}{5}=0,8=\frac{8}{10} $$

    0,8 - это и есть ответ. Дробь изменилась в 0,8 раз или уменьшилась до 80% (или, другими словами: уменьшилась на 20%, так как 100 - 80 = 20). Давайте проверим:

    Возьмём, допустим, такую дробь:

    $$ \frac{10}{15} $$

    Изменяем числитель и знаменатель согласно условиям:

    Теперь разделим получившуюся дробь на первоначальную:

    $$ \frac{8}{15}: \frac{10}{15}=\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{10}=\frac{8}{10} =0,8 $$

    И так с любыми числами, стоящими в числителе и знаменателе.)

    Ответ: в 0,8 раз или на уменьшится 20%.

  • Запишите числитель и знаменатель дроби в виде целых чисел и сократите
    1)(-0,25)*0,51/0,05*0,17
    2)(5,7+1,9)*1,44/(-1,9)*0,48
    3)(8-1,5)*(-0,8)/(-0,2)*1,3
    4)(9,5-6)*0,9/(-0,1)*0,7


    Решение: 1)
    (-0,25) * 0,51 / 0,05 * 0,17 = (сокращаем -0,25 с 0,05 и 0,51 с 0,17) = (-5 * 3) / (1 * 1) = -15,
    2)
    (5,7+1,9) * 1,44 / (-1,9) * 0,48 = 7,6 * 1,44 / (-1,9) * 0,48 = (сокращ. 7,6 с -1,9 и 1,44 с 0,48) = (4 * 3) / (-1 * 1) = -12,
    3)
    (8 - 1,5) * (-0,8) / (-0,2) * 1,3 = 6,5 * (-0,8) / (-0,2) * 1,3 = (сокращ. 6,5 с 1,3 и -0,8 с -0,2) = (5 * 4) / (1 * 1) = 20,
    4)
    (9,5 - 6) * 0,9 / (-0,1) * 0,7 = 3,5 * 0,9 / (-0,1) * 0,7 = (сокращ. 3,5 с 0,7 и -0,1 с 0,9) = (5 * 9) / (-1 * 1) = 45

  • Разложите числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократите её: 1)462 798 2)78 468


    Решение: 78468=2*2*3*13*503

    (это способ деление числа, чтобы найти его множители: мы постепенно делим число, начиная с 2 и наращиваем это число(2,3,4,5,) до тех пор, когда получиное число будет делиться на 1 или на самого себя(в нашем случае 503 и 25711))

    462798=2*3*3*25711

    значит 462798\78468= 2 3 3 25711\ 2 2 3 13 503 = 77133\13078

  • Не вычисляя числитель и знаменатель дроби 143*256+50/144*255-60, установить является ли данная дробь правильной? Ответ обосновать


    Решение:

  • Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то получим дробь \( \frac{3}{5} \). А если числитель и знаменатель дроби увеличить на 1, то получим дробь \( \frac{1}{2} \). Найдите эту дробь.
    Периметр прямоугольника равен 68 см. Если ширину прямоугольника уменьшить на 2 см и его длину уменьшили в 2 раза, то периметр уменьшится на 12 см. Найдите стороны прямоугольника.


    Решение: Пусть х см - длина, у см - ширина.
    P=2*(х+у)=68 см, значит х+у=34;
    (у-2) см - новая ширина
    х/2 см - новая длина
    68-12=56 см - новый периметр
    Значит: 2*((у-2)+х/2)=56
    (у-2)+х/2=28
    у+х/2=30 (избавимся от знаменателя 2)
    2у+х=60
    у+(у+х)=60 (т. к. х+у=34)
    у=60-34=26 (см) - исходная ширина
    х=34-26=8 (см) - исходная длина
    Ответ: 26 см, 8 см.

  • Применяя метод выделения полного квадрата, разложите числитель и знаменатель дроби на множители и сократите дробь.
    \( \frac{ 8x^{2} - 2x - 1 }{-6 x^{2} + 5x - 1} \)


    Решение: $$ \dfrac{ 8x^{2} - 2x - 1 }{-6 x^{2} + 5x - 1} \\ 8x^{2} - 2x - 1 =8(x^2- \frac{1}{4} x- \frac{1}{8} )=8(x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{8} +( \frac{1}{8} )^2-( \frac{1}{8} )^2- \frac{1}{8} )= \\\ =8((x-\frac{1}{8} )^2- \frac{1}{64} - \frac{8}{64} )= 8((x-\frac{1}{8} )^2 - \frac{9}{64} )=8((x-\frac{1}{8} )^2 - (\frac{3}{8})^2 )= \\\ =8(x-\frac{1}{8} -\frac{3}{8})(x-\frac{1}{8} +\frac{3}{8})= 8(x-\frac{4}{8} )(x+\frac{2}{8})=8(x-\frac{1}{2} )(x+\frac{1}{4}) \\ -6 x^{2} + 5x - 1=-6(x^2- \frac{5}{6} x+ \frac{1}{6} )= \\\ =-6(x^2- 2\cdot x\cdot \frac{5}{12}+( \frac{5}{12} )^2-( \frac{5}{12} )^2+ \frac{1}{6} )= \\\ =-6((x- \frac{5}{12} )^2- \frac{25}{144} + \frac{24}{144} )= -6((x- \frac{5}{12} )^2- \frac{1}{144} )= \\\ =-6((x- \frac{5}{12} )^2- (\frac{1}{12})^2 )= -6(x- \frac{5}{12} -\frac{1}{12})(x- \frac{5}{12} +\frac{1}{12})= \\\ =-6(x- \frac{6}{12})(x- \frac{4}{12} )= -6(x- \frac{1}{2})(x- \frac{1}{3} ) \\ \dfrac{ 8x^{2} - 2x - 1 }{-6 x^{2} + 5x - 1} = \dfrac{ 8(x-\frac{1}{2} )(x+\frac{1}{4})}{-6(x- \frac{1}{2})(x- \frac{1}{3} )} = -\dfrac{ 4(x+\frac{1}{4})}{3(x- \frac{1}{3} )} =-\dfrac{ 4x+1}{3x- 1} $$

1 2 3 > >>