дроби »

периодическую дробь в обыкновенную - страница 4

  • Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной; а) 1,0(1); б) 1,5(4) в) 8,7(5)


    Решение: Такое решается с помощью бесконечной геометрической пргрессии по ф-ле ее суммы S=b1/(1-q) где b1,q - перый член и знменатель г. п.
    1,0(1)=1+1/100+1/1000 +. b1=1/100 q=1/10
    сумма (1/100):(1-1/10)= (1/100)*10/9=1/90
    1+1/90= 1 1/90
    ====
    1,5 (4) =1,5+ 4/100+4/1000+. 1,5+4/100*(1/(1-1/10)=
    1 1/2+4/100*10/9=11/2+4/90 = 3/2+4/90=1 49/90
    ====
    8,7(5)=8 7/10+5/90 (как и в предыдущем, заменив 4 на 5) =
    = 8 34/45

  • Объясните подробно как представить бесконечную периодическую десятичную дробь например такую 0,2(18)


    Решение: $$ 0,2(18)= \frac{2}{10}+\frac{18}{1000}+\frac{18}{100000}+ \\ \frac{18}{1000}, \frac{18}{100000}, $$ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, $$ b1=\frac{18}{1000} $$,$$ q=\frac{1}{100} \\ S=\frac{b1}{1-q}=\frac{\frac{18}{1000}}{\frac{99}{100}}=\frac{1}{55} \\ 0,2(18)=\frac{2}{10}+\frac{1}{55}=\frac{24}{110}=\frac{12}{55} $$ 

    Десятичную дробь можно представить так:

    0,2(18)=0,218181818181818181818.

  • Переобразуйте обыкновенную дробь 5/6 в бесконечную периодическую десятичную дробь.


    Решение:

    Делите на калькуляторе или "с уголком" вручную, после запятой 50 на 6 берем по 8 - это получили восемь десятых, далее 50-48 = 2, 20 делим на 6 берем 3, 3*6 = 18, 20-18=2 и далее бесконечно
    5 : 6 = 0,8(3), читается такая дробь как "Ноль целых восемьдесят три сотых и три в периоде"

  • Доказать что дробь вида n/(2n^2+1) превращается в чистую периодическую десятичную дробь


    Решение: Предположим что данная дробь является конечной, тогда тк  любое конечное положительное рациональное число рациональное число представимо в виде выражения:
    N/10^k тогда верно что:
    n/2n^2+1=N/10^k
    n*10^k/2n^2 +1=N
    число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей.
    Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые  делители числа n, то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей, тк это число будет давать на все эти делители остаток 1, тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей. Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p,m-натуральные числа (p<=k m<=k)
    делитель 2^m четный, а число 2n^2+1 всегда нечетно, то делитель 2^m у них быть общим не может. Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p, то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5. Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
    тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p.
    Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей, тогда эта дробь несократима, а тк из равенства
     n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу, а такое невозможно, то есть мы пришли к противоречию, значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n. Теперь самое трудное. Необходимо доказать, что эта дробь чисто периодическая (без примесей)
    Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n)
    представимо в виде: N/(10^k  -1) где k-длина его периода N cам этот период без нулей в начале, если таковые присутствуют.
    Положим теперь что наша дробь смешанная, тогда верно что
    n/2n^2+1=N/10^s +M

  • Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной а ) 8,7 (5) ; б) -3,(31) ; в) 2,2(02) очень


    Решение: А) пусть х=8,75555. тогда 10х=87,5555. 100х=875,5555.
    Отнимем 100х-10х=875,555. 87,555.=875-87=788
    Значит 90х=788, тогда х=788/90=8 целых 68/90=8 34/45
    б) х=3,313131. 100х=331,313131. 100х-х=331,3131.3,3131.=328
      99х=328 х=328/99=3+31/99 Ответ: -(3+31/99)
    в) х=2,20202. 10х=22,0202. 1000х=2202,0202.
    1000х-10х=2202,0202.22,0202. =2180
    990х=2180 х=2180/990=2+200/990=2+20/99

<< < 234 5 > >>