натуральные числа

Найдите наибольшее натуральное число, которые есть решением неравенства (x^2-10x+25)(x+3)^9(4-x)>=0

Назовем натуральное число n-богатым,если сумма всех его натуральных делителей больше 2n.например ,12 -число богатое,т.к.1+2+3+4+6+12 больше 24.Каким неможет быть богатое число?
А)точным квадратом
Б)числом,кратным 2013
В)больше миллиона
г)степень. числа 3
д)каждое из свойств А-Г -возможно.

     n^2+n+1 >= n + n + 1 > n

г) 3^n

    3 + 3^2 + ... + 3^n = 3(1+3+...+3^n-1) = 3*(3^n -1)/(3-1) = 3/2*3^n - 3/2 < 2*3^n

Из того, что необходимо выбрать один вариант, и вариант д) оказался невозможным в силу того, что в варианте г) степень числа трех не может быть n-богатым, остаётся г)

Вариант г)

1) Я задумал некоторое натуральное число. Затем я умножил предшествующее ему число на следующие за задуманным и получил 168, какое число я задумал.
2)преобразуй выражение в многочлен:
(0,6-у)в 2 степени
(-2-n)в 2 степени
(а в 2 степени/5 (а пятых)-15b)в 2 степени.
3)представь произведение в виде многочлена:
(А-8)(А+8)
(3в в 2 степени+5а)(5а-3в в 2 степени)
4)Является ли данный многочлен стандартного вида кубом двучлена?
в в 3 степени -6 в в 2 степени +12в -8
27х в 3 степени-108х в 2 степени у+144ху в 2 степени-64 у в 3 степени 5) упростите выражение: (в-2а)в 2 степени -(2в+а)(2в-а)

(х-1) предшествующее число

(х+1) следующее число

(х-1)(х+1)=168

х²-1=168

х²=169

х=13 задуманное число

2)преобразуй выражение в многочлен:
(0,6-у)²=0,36-1,2y+y²
(-2-n)²=4+4n+n²
(а²/5-15b)²=a⁴/25-6a²b+225b²

3)представь произведение в виде многочлена:
(А-8)(А+8)=a²-64
(3в²+5а)(5а-3в²)=25a²-9b⁴

4)Является ли данный многочлен стандартного вида кубом двучлена?
в³-6в² +12в -8=b³-3*b²*2+3*b*2²-2³=(b-2)³
27х³-108х²у+144ху²-64 у³=(3x)³-3*9x²*4y+3*3x*16y²-(4y)²=(3x-4y)³
5)упростите выражение:
(в-2а)² -(2в+а)(2в-а)=b²-4ab+4a²-4b²+a²=5a²-4ab-3b²

Доказать, что если натуральное число при делении на 4 дает в остатке 2, то это число четное. У к а з а н и е. Рассматриваемое число представить в виде4n+2, где n- частное от деления этого числа на 4. Натуральное число а при делении на 3 дает в остатке 1, а натуральное число b при делении на 3 дает в остатке 2. Доказать, что сумма чисел a и b кратка трем. Доказать, что сумма двух последовательных четных степеней числа 3 оканчивается нулем. Доказать, что это же справедливо и для суммы двух последовательных нечетных степеней числа 3.

2)Из условия следует что a=3n+1, а b=3k+2. Их сумма=3n+1+3k+2=3n+3k+3=3(n+k+1), значит их сумма кратна 3

3)все четные числа представляются в виде 2n. Нам нужно доказать что $$ 3^{2n}+3^{2(n+1)} $$ оканчивается на 0, то есть делится на 10.

Но$$ 3^{2n}+3^{2(n+1)}=9^n+9^{n+1}=9^n(1+9)=9^n*10 $$

4)все нечетные числа представляются в виде 2n+1. Нам нужно доказать что оканчивается на 0, то есть делится на 10.

Но

$$ 3^{2n+1}+3^{2(n+1)+1}=3^{2n+1}+3^{2n+3}=3^{2n+1}(1+3^2)= $$

$$ =10*3^{2n+1} $$

Докажите,что число (√2-1)в сотой степени можно представить в виде √m+1-√m,где m натуральное число.

Если в числе $$ ( \sqrt{2} -1)^{100} $$  раскрыть 100-ую степень по биному Ньютона, то получится сумма слагаемых вида  $$ C_{100}^k(\sqrt{2})^{k}(-1)^{100-k} $$ по k от 0 до 100. При четных k эти слагаемые будут натуральными числами, а при нечетных k они имеют вид $$ -a\sqrt{2} $$, где а - натуральное. Значит, $$ ( \sqrt{2} -1)^{100}=A-B\sqrt{2} $$, при некоторых натуральных $$ A $$ и $$ B $$. (для решения задачи нет нужды их явно вычислять). Опять же из бинома Ньютона понятно, что тогда $$ ( \sqrt{2} +1)^{100}=A+B\sqrt{2} $$, т.к. в нем будут те же слагаемые, только все со знаком плюс. Перемножив эти два соотношения, получим $$ A^2-2B^2=(A-B\sqrt{2})(A+B\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)^{100}(\sqrt{2}+1)^{100}=1 $$, то есть $$ A^2=2B^2+1 $$. Поэтому, если положим \( m=2B^2 \), то получим, что \( \sqrt{m+1}-\sqrt{m}=\sqrt{2B^2+1}-\sqrt{2B^2}=\sqrt{A^2}-\sqrt{2B^2}=\\=A-B\sqrt{2}=( \sqrt{2} -1)^{100}.\)

Найдите натуральное число "а" если известно что из трёх утверждений два верно а одно неверно.
1)а-одно из чисел 11 12 13 16
2)последняя цифра 6
3)при делении а в 25 степени на 10 в остатке получается 5

Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равна 21. найдите прогрессию, если известно, что ее второй член-натуральное число

d - разность прогрессии

а2+а5=а+d+а+4d=2a+5d

a2*a3=(a+d)(a+2d)=a^2+da+2da+2d^2

Получаем систему уравнений:

2a+5d=18

a^2+3ad+2d^2=21

Выразим из первого уравнения а:

a=(18-5d)/2=9-2,5d

Подставим во второе уравнение:

(9-2,5d)(9-2,5d)+3(9-2,5d)d+2d^2-21=0

Когда раскроем все скобки и сведем все члены, получим квадр. уравнение вида:

0,75d^2-18d+60=0

Решив это уравнение, получим 2 корня d=20 и d=4

d=20 - не подходит, т. к. получается, что второй член не является натуральным числом (-21), что противоречит условию.

Подставим d=4 в первое уравнение:

2а+20=18

2а=-2

а=-1

Ответ: а1=-1, d=4

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4б) длиной 5в) длиной k, где k ‐ любое натуральное число?

Запишите число, составленное из номеров верных утверждений.
1. Натуральное число m называют кратным натуральному числу n, если m нацело делится на n.
2. Число 742 кратно числу 7.
3. Число 8 является делителем числа 260.
4. Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел, называют наибольший из их общих делителей.
5. НОД(14;49)= 7.
6. Если у числителя и знаменателя дроби есть общий делитель, отличный от единицы, то она сократима.
7. Дробь 18/33 сократима.
8. Число 45 делится на 10.
9. У числа 10 всего три делителя 1, 2, 5.
10. НОК (7; 9)=63.

Выберите верные утверждение:
1. любое натуральное число является элементом множества целых чисел.
2. любое целое число является элементом множества натуральных чисел
3. любое рациональное число является элементом множество целых чисел
4. любое целое число является элементом множество рациональных чисел
5. число 0 является элементом множества рациональных чисел