числа »

натуральные числа - страница 2

  • 1. Каждое ли натуральное число является целым?
    2. Верно ли что если число рациональное то оно является целым?
    3. Каждое ли целое число является рациональным?
    6. Какие числа называют целыми?
    7. Как иначе называют целые положительные числа?
    8. Верно ли, что если рациональное число не является натуральным, то оно дробное?
    9. Верно ли, что если рациональное число не является дробным, то оно целое?


    Решение: 1. Любое натуральное число является целым.
    2. Неверно, например, ⅓ - рациональное, но не целое число.
    3. Любое целое число является рациональным.
    6. Целые числа - множество, состоящее из всех натуральных чисел, обратных им по знаку и нуля.
    7. Целые положительные числа то же самое, что и натуральные числа.
    8. Неверно, например,3 - рациональное, не натуральное, но и не дробное.
    9. Верно.

  • Натуральное число называют красивым, если оно равно произведение факториалов простых чисел (не обязательно различных). Положительное рациональное число называется практичным, если оно равно отношение двух красивых натуральных чисел. Докажите, что любое положительное рациональное число — практичное.


    Решение: Любую дробь вида 1/n можно представить, как (n-1)! / n!
    Любое натуральное число k можно представить, как k! / (k-1)!
    Любую дробь вида k/n = k*1/n можно представить, как
    k! / (k-1)! * (n-1)! / n! = [k!*(n-1)!] / [(k-1)!*n!]
    То есть равно отношению двух красивых чисел.
    Что и требовалось доказать.

  • 1. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения(637+635) ^{2 } - 4 *635*637
    894 ^{2} - 893*895
    2. Покажите, что значение выражения (4+3а)^{2} + 2(4-3a)(3a+1)+(3a+1)^{2} не зависит от переменной. Укажите это значение.
    3. Разложите трёхчлен x^{n+2} - 5^{n+1} + 6^{n} на произведение одночлена и двух двучленов (n - натуральное число).
    4. Найдите числа х и у, для которых выполнено равенство 5x^{2}+ y^{2} - 4x + 4x = 0.
    5. Известно, что х и у - целые числа, разность которых кратна 5. Будет ли значение многочлена 3x^{2} +9x - 3xy - 9y кратно 15? Ответ обоснуйте.


    Решение: 1. Упростим числитель.
    (637+635) ² - 4 *635*637= (636-1+636+1)² - 4*(636-1)(636+1)=
    4*636²-4*(636²-1)=4*636²-4*636²+4=4
     Упростим знаменатель.
    894 ² - 893*895= 894²- (894-1)*(894+1)=894²-894²+1=1
    Поделим числитель на знаменатель. 4:1=4.
    2.(4+3а)² + 2(4-3a)(3a+1)+(3a+1)²
    Очень подозреваю, что в условии задачи допущена ошибка, и речь идет об упрощении выражения (4+3а)² - 2(4+3a)(3a+1)+(3a+1)²
    Здесь все просто. Мы видим квадрат разности двух выражений ((4+3а)-(3а
    +1))²=(4+3а-3а-1)²=3²=9.
    3. Способов разложения на множители не вижу.
    4. Проверьте, правильно ли Вы переписали задание. В том виде, в каком сейчас записано задание, решение очень простое.
    5x²+ y² - 4x + 4x = 0.
    5x²+ y²  = 0.
    Сумма квадратов двух числе равна нулю только тогда, когда каждое их них равно нулю. Отсюда х=0, у=0.5.
    5.3x² +9x - 3xy - 9y=3х²-3ху+9х-9у= 3х*(х-у)+9*(х-у)=(х-у)*(3х+9)=3*(х-у)*(х+3)
    Наше выражение произведением двух множителей, один из которых равен 3, второй кратен 5. Значит, наше выражение кратно 3*5=15.

  • Верно ли утверждение: 1) всякое натуральное число является целым 2) всякое целое число является натуральным 3) всякое целое число является рациональным 4) всякое иррациональное число является действительным 5) всякое действительное является рациональным


    Решение: 1) всякое натуральное число является целым

    2) всякое целое число является натуральным

    3) всякое целое число является рациональным

    4) всякое иррациональное число является действительным

    5) всякое действительное является рациональным

    1) Да

    2) Нет например -7

    3) Да

    4) Да

    5) Нет например корень(2)

  • Между числами 4/7 и 5/7 найти натуральное число, являющееся квадратом рационального числа


    Решение: Натуральных чисел, меньших 1, не существует, поэтому условие задачи некорректно. 

    Если имелось в виду рациональное число, подойдёт дробь 400/676=(10/13)^2. Подобрать его несложно: заметим, что 4/7=400/700, 5/7=500/700, нас устроит дробь, находящаяся между этими двумя, у которой числитель и знаменатель - квадраты натуральных чисел. Очевидно, что 400/676>400/700, а также 400/676<500/700 (4/676<5/700, 2800<3380)

  • 1) Я задумал некоторое натуральное число. Затем я умножил предшествующее ему число на следующие за задуманным и получил 168, какое число я задумал.
    2) преобразуй выражение в многочлен:
    (0,6-у) в 2 степени
    (-2-n) в 2 степени
    (а в 2 степени/5 (а пятых)-15b) в 2 степени.
    3) представь произведение в виде многочлена:
    (А-8)(А+8)
    (3в в 2 степени+5а)(5а-3в в 2 степени)
    4) Является ли данный многочлен стандартного вида кубом двучлена?
    в в 3 степени -6 в в 2 степени +12в -8
    27х в 3 степени-108х в 2 степени у+144ху в 2 степени-64 у в 3 степени
    5) упростите выражение:
    (в-2а) в 2 степени -(2в+а)(2в-а)


    Решение: 1) х задуманное число

    (х-1) предшествующее число

    (х+1) следующее число

    (х-1)(х+1)=168

    х²-1=168

    х²=169

    х=13 задуманное число

    2) преобразуй выражение в многочлен:
    (0,6-у)²=0,36-1,2y+y²
    (-2-n)²=4+4n+n²
    (а²/5-15b)²=a⁴/25-6a²b+225b²

    3) представь произведение в виде многочлена:
    (А-8)(А+8)=a²-64
    (3в²+5а)(5а-3в²)=25a²-9b⁴

    4) Является ли данный многочлен стандартного вида кубом двучлена?
    в³-6в² +12в -8=b³-3*b²*2+3*b*2²-2³=(b-2)³
    27х³-108х²у+144ху²-64 у³=(3x)³-3*9x²*4y+3*3x*16y²-(4y)²=(3x-4y)³
    5) упростите выражение:
    (в-2а)² -(2в+а)(2в-а)=b²-4ab+4a²-4b²+a²=5a²-4ab-3b²

  • Деление десятичных дробей (сотые)
    Замени деление на натуральное число и вычисли.
    0,2:0,05=


    Решение: вот решение 0,2=2/10 0,05=5/100 При делении дробь на которую делим переворачивается, соответственно получается 100/5 Затем сокращаем крест на крест, получаем 20/5=4

    вот решение При делении дробь на которую делим переворачивается соответственно получается Затем сокращаем крест на крест получаем...

  • 1. Сложение обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем.
    2. Сложение обыкновенных дробей с разным знаменателем.
    3. Вычитание обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем.
    4. Вычитание обыкновенных дробей с разным знаменателем.
    5. Отыскание части от целого и целого по его части.
    6. Основное свойство дроби.
    7. Сложение и вычитание смешанных чисел.
    8. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.
    9. Деление обыкновенной дроби на натуральное число.
    10. Умножение и деление десятичной дроби на 10,100,1000 и т. д.
    11. Сложение и вычитание десятичных дробей.
    12. Умножение десятичных дробей.
    13. Деление десятичных дробей.
    14. Среднее арифметическое.
    15. Нахождение процента от числа.
    16. Нахождение числа по его проценту.


    Решение: 1) складываете числители и получаете результат. знаменатель тот же
    1/4+3/4=4/4
    2) находите общий знаменатель. домножаете. складываете.
    1/2+1/4=2/4+1/4=3/4
    3) вычитаете числители.
    3/4-2/4=1/4
    4) общий знаменатель. домножаем. вычитаем.
    1/2-1/4=2/4-1/4=1/4
    7) переводим в неправильную дробь. общий знаменатель. выполняем действие.
    1 1/2 +1 3/4=3/2+7/4=6/4+7/4=13/4=3 1/4
    14) складываем все числа и делим на их количество
    (2+4+6)/3=4 среднее арифметическое

    1. складываем числители, а знаменатель остается тот же
    2. привести дроби к наименьшему ОБЩЕМУ знаменателю.(числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на нужный множительт)
    3. вычитаем из большего числителя меньший, знаменатель остается
    4. приводим к общему знаменателю и из большего числителя вычитаем.
    5. если находим число по части, то делим число на эту дробь (на эту часть)
    чтобы найти часть от числа, умножаем число на дробь
    6. Если числитель и знаменатель этой дроби мы умножим или разделим на одно и то же число (не 0), то величина дроби не изменится.
    7. приводим к общему знаменателю, складываем или вычитаем целые числа, потом дробные, которые приведены к общему знаменателю.
    8. умножаем на натуральное число числитель, знаменатель оставляем как был
    9. знаменатель умножаем на натуральное число, числитель остается тот же
    10. умножение: переносим запятую вправо на столько, сколько нулей. деление: переносим влево.
    11. приравняем числа, то есть после запятой нужно, чтобы было одинаковое количество цифр, если их не хватает добавляем нули. И складываем и вычитаем как обычно
    12. умножаем не смотря на запятые, потом в ответе отсчитаем место где поставить запятую, отделяя столько знаков сколько в двух десятичных дробях.
    13. при делении: делим и не смотрим на запятую, если закончится деление целой части, то ставим запятую.
    14. складываем все данные числа и делим результат на количество сложенных чисел
    15. число умножаем на данный процент и делим на 100
    15. число разделить на % и умножить на 100

  • 1 задание. Какую дробь называют десятичной? Приведите примеры таких дробей и назовите по порядку первые четыре разряда, стоящие в десятичной дроби справа от запятой. Изменится ли десятичная дробь, если к ней справа приписать один или несколько нулей? Как представить обыкновенную дробь в виде десятичной ? Приведите пример.
    2 задание. По какому правилу выполняется:
    а) сложение (вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
    б) сложение (вычитание ) десятичных дробей.
    в) умножение десятичных дробей.
    г) умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д
    д) деление десятичной дроби на натуральное число.
    е) деление числа на десятичную дробь.
    ж) умножение десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0, 001 и т. д
    з) деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д
    и) деление десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т. д.
    вас, , .


    Решение: Задание 1
    1. Десятичной дробью называют обыкновенную дробь, знаменателем которой является единица с последующими нулями или же десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т. д. частей. 
    Прим.: 1,3; 25,96 ; 1,203 и т. д
    Разряды после запятой по порядку: десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч
    Основное свойство десятичной дроби
    Свойство: Если к десятичной дроби справа дописать несколько нулей, то величина десятичной дроби не изменится.
    Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, просто выполните деление - разделите числитель данной дроби на знаменатель. прим 2/4=0,5
    Задание 2
    а) чтобы сложить(вычесть) 2 дроби с одинаковыми знаменателями, нужно просто сложить(вычесть) числитель первой дроби с(из) числителем второй дроби, а знаменатель оставить тот же.
    б) сложение (вычитание ) десятичных дробей проводится по разрядам, десятки складываются с десятками, единицы с единицами, запятая сохраняет свое место, число после запятой так же складываются по разрядам.
    в) Умножение двух десятичных дробей выполняется так:  
      1)   числа перемножаются без учета запятых.  
      2)   запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа  
      столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях  
      вместе взятых.
    г) При умножении десятичной дроби на   10, 100,   1000   и т. д. надо  
    в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей  
    стоит в множителе.
    д) Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: 
      1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;  
      2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.  
    е) При делении на десятичную дробь, сначала переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. А затем выполняем деление на натуральное число.  
    ж) Вместо умножения любого числа на   0,1 ;   0,01 ;   0,001,  
    можно разделить это число на   10 ;   100 ; или   1000   соответственно. 
    з) при делении десятичной дроби на 10,100 и тд, нужно просто переместить запятую настолько знаков влево, сколько нулей в делителе( 10 значит на 1 знак)
    и) деление десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т. д нужно перенести запятуна на столько знаков вправо, сколько чисел после запятой делителя

  • № Теория к зачету по десятичным дробям
    1 Как короче записывают дроби, знаменатель которых единица с несколькими нулями?
    2 Сколько цифр будет стоять после запятой в десятичной записи дроби 18 ?
    3 Какое число будет в этой записи после запятой и какое до запятой?
    4 Как складывают и как вычитают десятичные дроби?
    5 Назовите первые три разряда после запятой в десятичных дробях.
    6 Как сравнивают десятичные дроби по разрядам ?
    7 Сформулируйте правило округления чисел.
    8 Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на натуральное число.
    9 Как умножить десятичную дробь на 10; на 100; на 1000?
    10 Как делят десятичную дробь на натуральное число?
    11 Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000?
    12 Как обратить обыкновенную дробь в десятичную?
    13 Как умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001?
    14 Сформулируйте правило умножения на десятичную дробь.
    15 Сформулируйте правило деления десятичной дроби: на десятичную дробь; на 0,1; 0,01; 0,001.


    Решение: 1. обыкновенную в форме десятичной
    2. лучше допиши вопрос 18 это целое число
    3.
    4. Дробь не изменится, потому что произойдёт сокращение дроби
    5. единицы десятки сотые тысячные
    6. Сравнение дробной части десятичной дроби производится по разрядам от меньшего к большему разряду. Та десятичная дробь больше (меньше), у которой величина числа в разряде больше (меньше).
    7. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
    8. Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).
    9. нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей содержится в множителе.
    10. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую, поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части
    11. надо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, 
    сколько нулей в делителе
    12. надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления
    13. в множимом перенести запятую на столько знаков сколько их после запятой во множителе
    14.
    15. надо перенести в ней запятую на столько цифр вправо, сколько стоит нулей перед единицей в делителе (или умножить делимое и делитель на 10, 100, 1000и т. д.).

<< < 12 3 4 > >>