числа »

примеры с рациональными числами

  • Каков порядок выполнения действий и какова значимость скобок в вычислениях с рациональными числами?


    Решение: Если выражение записано без скобок, то порядок выполнения действий таков. Сначала вычисляются степени, логарифмы, тригонометрические и прочие функции (всё перечисленное имеет одинаковый приоритет и может вычисляться в любом порядке). Затем выполняется умножение и деление, которые имеют одинаковый приоритет и могут вычисляться в любом порядке. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание, которые имеют одинаковый приоритет и могут вычисляться в любом порядке.
    Скобки меняют порядок действий. Поэтому сначала выполняется действие записанное в скобках. Если между скобками несколько действий, они выполняются по вышеописанному приоритету. В скобках может быть несколько действий. Тогда сначала выполняются они, а потом все другие действия по вышеописанному приоритету.

  • Среднее арифметическое двух рациональных чисел m и n меньше нуля, сравните модули чисел m и n, если известно что m больше n.


    Решение: Среднее арифм <0, значит и сумма чисел <0, 
    Случай, когда m>0, n>0, или m>0, n<0, не подходит, т. к. в этих случаях m+n>0 ( из условия m>n)
    Случай m<0, n>0 также не подходит, т. к. противоречит условию m>n,
    Случай m<0, n<0, подходит, m+n<0, Из условия m>n, m<0, n<0 следует, что |m|<|n|.

  • Найти рациональное число
    Какое из чисел является рациональным ?
    √0,169, √1,69, √1690 распишите как находить


    Решение: В случае, если под корнем после запятой чётное количество знаков или нулей (до запятой и после неё, например √0,04, соответственно), то число рациональное.
    Вот и всё правило! Делаем выводы: первое не подходит, число нулей нечётное, да ещё и после запятой нечётное число знаков(3).
    Третье отпадает - после запятой(она после целого числа) вообще нуль знаков.
    А вот 2 - подходит к нашему условию, после запятой 2 знака.
    А тут даже видно:1,3*1,3 = 1,69 (сначала перемножаем числа без запятых, а потом с полученного числа, с целой части, двигаем запятую на сумму чисел после запятых множителей.

  • Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? Например \( \frac{10}{9}= \frac{2*5}{3*3*3} \)


    Решение: Верно.
    Покажем, что любое натуральное число N можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде).
    Если N = 1, можно написать, например, N = 2! / 2!
    По основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей:
    $$ N=p_{\alpha_1}^{\beta_1}p_{\alpha_2}^{\beta_2}\dots p_{\alpha_k}^{\beta_k} $$
    (alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания)
    Докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k.
    База: Для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2!
    Переход. Пусть для всех alpha_k < m утверждение задачи выполнено. Пусть N = Q * p^l, причем номер p равен m и Q не делится на p.
    1) Q по предположению представимо в нужном виде.
    2) Заметим, что p = p! / (p-1)! (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. Тогда и p!/(p-1)! представимо в нужном виде.
    3) Остается перемножить дробь для Q и l дробей для p.
    Переход доказан.

  • Докажите, что для любой пары рациональных чисел q1 и q2, существует такое рациональное число, q что множества {a*q1+b*q2| a, b - целые} и {n*q| n - целое} совпадают


    Решение: Всегда можно записать q₁=l/k, q₂=m/k. Пусть d=НОД(l,m). Тогда положим q=d/k и обозначим A={aq₁+bq₂|a,b∈Z} и B={nq|n∈Z}.
    1) Для любых а,b верно aq₁+bq₂=(al+bm)/k=nd/k=nq при некотором n, т. к. d делит l и m. Т. е. A⊆B.
    2) Теперь докажем, что B⊆A. Для этого воспользуемся тем, что для любых целых l и m существуют целые u и v, такие, что ul+vm=НОД(l,m) (В физ-мат школах этот факт должны знать. Если нет, могу доказать, он короткий). Итак, для любого n∈Z при некоторых u,v верно
    nq=nd/k=n(ul+vm)/k=nu·(l/k)+nv·(m/k)=aq₁+bq₂, где a=nu, b=nv.
    Т. е. это значит, что B⊆A. Отсюда, A=B.

1 2 3 > >>