числа »

примеры с рациональными числами - страница 2

  • Для некоторого числа х разность любых двух из чисел x^3 x^4 и х^5 - целое число. а) Докажите, что х - целое число. б) Докажите, что х - рациональное число


    Решение: Сначала докажем б) как более слабое утверждение.
    Из условия следует что x^5-x^4=x^4(x-1)=a, где a - целое, и
    x^4-x^3=x^3(x-1)=b также целое => x=a/b - рациональное по определению рациональных чисел.
    а) Пусть x=p/q - несократимая дробь причем p, q - целые и q>1(ну это мы записали что число x - рациональное нецелое число) Тогда x^4-x^3=
    =x^3(x-1)=$$ \frac{p^3(p-q)}{q^3}=a $$. Но так как НОД(p,q)=1, то и
    НОД(p-q,q)=1, соответственно и НОД(p-q, q^4)=1, что значит $$ \frac{p^3(p-q)}{q^3} $$ нецелое число - противоречие

  • Докажите, что если два числа и сумма их корней - числа рациональные, то корень каждого из этих чисел - также число рациональные


    Решение: Пусть x = r1, y = r2, x^1/2 + y^1/2 = r3 - заданные в условии рациональные числа.

    Тогда

    x - y = (x^1/2 - y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) - по формуле разложения для разности квадратов. Поскольку x - y = r1 - r2 = r4 - разность двух рациональных чисел есть число рациональное, и x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию), то x^1/2 - y^1/2 = r4/r3 = r5 - частное двух рациональных чисел есть также число рациональное.

    Итак,

    x^1/2 - y^1/2 = r5 - рациональное число (1)

    x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию) (2)

    Слкладывая обе части уравнений (1) и (2) получим, что х^1/2 = (r3 + r5)/2 - рациональное число (как сумма и частное рациональных чисел).

    Аналогично, вычтя обе части уравнения (2) из обеих частей уравнения (1) получим, что y^1/2 = (r3 - r5)/2 - рациональное число (как разность и частное рациональных чисел).

    Таким образом мы доказали, что числа х^1/2 и y^1/2 являются рациональными.

  • Укажите среди чисел:
    0;1;-1;6/11(шесть одиннадцатых);-1 9/17(минус одна целая девять семнадцатых);0,32;-56,903;7,4(5);-2,(45)
    1) натуральные числа
    2) целые числа
    3) рациональные числа
    4) целые неотрицательные числа
    5) рациональные неположительные числа


    Решение: 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    1) натуральные числа 1    903
    2) целые числа    0;   1;  -1;       -56,     903;  
    3) рациональные числа 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    4) целые неотрицательные числа  0;   1;       903;
    5) рациональные неположительные числа 0;    -1;     -1 9/17;       -56,2,(45)

  • Как обозначается множество натуральных, целых, рациональных и действительных чисел?


    Решение: Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий».). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,}

    Целые числа – это числа из множества {0, 1,1, 2,2,}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, чтоZ={1,2,3,}.

    Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. 

  • 1) Обьясните, какие числа входят в множество целых, рациональных и действительных чисел. Приведите примеры. Изобразите cоответствующие точки на координатной прямой 2) Обьясните как сравнивают действительные числа 3) Сформулируйте свойства модуля действительного числа


    Решение: 1). 
    Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа "ноль": -1,2,3,0,1,2,3,
    Число называют рациональным, если его можно представить в виде дроби p/q, где p - целое число, q - натуральное: 2/3, 5/13, 6/19.
    Действительное число - это число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 2,4; 2,(3); 0,(8).
    2). Со сравнениями нам все объясняли жутко сложно. В общем, нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную по формуле суммы убывающей геометрической прогрессии или правилом:
    Для того, чтобы записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо в числителе записать разность числа до второго периода и числа до первого периода, в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
    . и сравнить как обычные десятичные дроби.
    3). Модуль числа a равен a, если a больше или равно 0
    Модуль числа а равен -а, если а меньше нуля.

<< < 12 3 4 > >>