числа »

примеры с рациональными числами

  • Каков порядок выполнения действий и какова значимость скобок в вычислениях с рациональными числами?


    Решение: Если выражение записано без скобок, то порядок выполнения действий таков. Сначала вычисляются степени, логарифмы, тригонометрические и прочие функции (всё перечисленное имеет одинаковый приоритет и может вычисляться в любом порядке). Затем выполняется умножение и деление, которые имеют одинаковый приоритет и могут вычисляться в любом порядке. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание, которые имеют одинаковый приоритет и могут вычисляться в любом порядке.
    Скобки меняют порядок действий. Поэтому сначала выполняется действие записанное в скобках. Если между скобками несколько действий, они выполняются по вышеописанному приоритету. В скобках может быть несколько действий. Тогда сначала выполняются они, а потом все другие действия по вышеописанному приоритету.

  • Среднее арифметическое двух рациональных чисел m и n меньше нуля, сравните модули чисел m и n, если известно что m больше n.


    Решение: Среднее арифм <0, значит и сумма чисел <0, 
    Случай, когда m>0, n>0, или m>0, n<0, не подходит, т. к. в этих случаях m+n>0 ( из условия m>n)
    Случай m<0, n>0 также не подходит, т. к. противоречит условию m>n,
    Случай m<0, n<0, подходит, m+n<0, Из условия m>n, m<0, n<0 следует, что |m|<|n|.

  • Найти рациональное число
    Какое из чисел является рациональным ?
    √0,169, √1,69, √1690 распишите как находить


    Решение: В случае, если под корнем после запятой чётное количество знаков или нулей (до запятой и после неё, например √0,04, соответственно), то число рациональное.
    Вот и всё правило! Делаем выводы: первое не подходит, число нулей нечётное, да ещё и после запятой нечётное число знаков(3).
    Третье отпадает - после запятой(она после целого числа) вообще нуль знаков.
    А вот 2 - подходит к нашему условию, после запятой 2 знака.
    А тут даже видно:1,3*1,3 = 1,69 (сначала перемножаем числа без запятых, а потом с полученного числа, с целой части, двигаем запятую на сумму чисел после запятых множителей.

  • Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? Например \( \frac{10}{9}= \frac{2*5}{3*3*3} \)


    Решение: Верно.
    Покажем, что любое натуральное число N можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде).
    Если N = 1, можно написать, например, N = 2! / 2!
    По основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей:
    $$ N=p_{\alpha_1}^{\beta_1}p_{\alpha_2}^{\beta_2}\dots p_{\alpha_k}^{\beta_k} $$
    (alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания)
    Докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k.
    База: Для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2!
    Переход. Пусть для всех alpha_k < m утверждение задачи выполнено. Пусть N = Q * p^l, причем номер p равен m и Q не делится на p.
    1) Q по предположению представимо в нужном виде.
    2) Заметим, что p = p! / (p-1)! (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. Тогда и p!/(p-1)! представимо в нужном виде.
    3) Остается перемножить дробь для Q и l дробей для p.
    Переход доказан.

  • Докажите, что для любой пары рациональных чисел q1 и q2, существует такое рациональное число, q что множества {a*q1+b*q2| a, b - целые} и {n*q| n - целое} совпадают


    Решение: Всегда можно записать q₁=l/k, q₂=m/k. Пусть d=НОД(l,m). Тогда положим q=d/k и обозначим A={aq₁+bq₂|a,b∈Z} и B={nq|n∈Z}.
    1) Для любых а,b верно aq₁+bq₂=(al+bm)/k=nd/k=nq при некотором n, т. к. d делит l и m. Т. е. A⊆B.
    2) Теперь докажем, что B⊆A. Для этого воспользуемся тем, что для любых целых l и m существуют целые u и v, такие, что ul+vm=НОД(l,m) (В физ-мат школах этот факт должны знать. Если нет, могу доказать, он короткий). Итак, для любого n∈Z при некоторых u,v верно
    nq=nd/k=n(ul+vm)/k=nu·(l/k)+nv·(m/k)=aq₁+bq₂, где a=nu, b=nv.
    Т. е. это значит, что B⊆A. Отсюда, A=B.

  • Для некоторого числа х разность любых двух из чисел x^3 x^4 и х^5 - целое число. а) Докажите, что х - целое число. б) Докажите, что х - рациональное число


    Решение: Сначала докажем б) как более слабое утверждение.
    Из условия следует что x^5-x^4=x^4(x-1)=a, где a - целое, и
    x^4-x^3=x^3(x-1)=b также целое => x=a/b - рациональное по определению рациональных чисел.
    а) Пусть x=p/q - несократимая дробь причем p, q - целые и q>1(ну это мы записали что число x - рациональное нецелое число) Тогда x^4-x^3=
    =x^3(x-1)=$$ \frac{p^3(p-q)}{q^3}=a $$. Но так как НОД(p,q)=1, то и
    НОД(p-q,q)=1, соответственно и НОД(p-q, q^4)=1, что значит $$ \frac{p^3(p-q)}{q^3} $$ нецелое число - противоречие

  • Докажите, что если два числа и сумма их корней - числа рациональные, то корень каждого из этих чисел - также число рациональные


    Решение: Пусть x = r1, y = r2, x^1/2 + y^1/2 = r3 - заданные в условии рациональные числа.

    Тогда

    x - y = (x^1/2 - y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) - по формуле разложения для разности квадратов. Поскольку x - y = r1 - r2 = r4 - разность двух рациональных чисел есть число рациональное, и x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию), то x^1/2 - y^1/2 = r4/r3 = r5 - частное двух рациональных чисел есть также число рациональное.

    Итак,

    x^1/2 - y^1/2 = r5 - рациональное число (1)

    x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию) (2)

    Слкладывая обе части уравнений (1) и (2) получим, что х^1/2 = (r3 + r5)/2 - рациональное число (как сумма и частное рациональных чисел).

    Аналогично, вычтя обе части уравнения (2) из обеих частей уравнения (1) получим, что y^1/2 = (r3 - r5)/2 - рациональное число (как разность и частное рациональных чисел).

    Таким образом мы доказали, что числа х^1/2 и y^1/2 являются рациональными.

  • Укажите среди чисел:
    0;1;-1;6/11(шесть одиннадцатых);-1 9/17(минус одна целая девять семнадцатых);0,32;-56,903;7,4(5);-2,(45)
    1) натуральные числа
    2) целые числа
    3) рациональные числа
    4) целые неотрицательные числа
    5) рациональные неположительные числа


    Решение: 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    1) натуральные числа 1    903
    2) целые числа    0;   1;  -1;       -56,     903;  
    3) рациональные числа 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    4) целые неотрицательные числа  0;   1;       903;
    5) рациональные неположительные числа 0;    -1;     -1 9/17;       -56,2,(45)

  • Как обозначается множество натуральных, целых, рациональных и действительных чисел?


    Решение: Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий».). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,}

    Целые числа – это числа из множества {0, 1,1, 2,2,}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, чтоZ={1,2,3,}.

    Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. 

  • 1) Обьясните, какие числа входят в множество целых, рациональных и действительных чисел. Приведите примеры. Изобразите cоответствующие точки на координатной прямой 2) Обьясните как сравнивают действительные числа 3) Сформулируйте свойства модуля действительного числа


    Решение: 1). 
    Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа "ноль": -1,2,3,0,1,2,3,
    Число называют рациональным, если его можно представить в виде дроби p/q, где p - целое число, q - натуральное: 2/3, 5/13, 6/19.
    Действительное число - это число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 2,4; 2,(3); 0,(8).
    2). Со сравнениями нам все объясняли жутко сложно. В общем, нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную по формуле суммы убывающей геометрической прогрессии или правилом:
    Для того, чтобы записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо в числителе записать разность числа до второго периода и числа до первого периода, в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
    . и сравнить как обычные десятичные дроби.
    3). Модуль числа a равен a, если a больше или равно 0
    Модуль числа а равен -а, если а меньше нуля.

1 2 3 > >>