числа »

рациональных чисел

  • Среднее арифметическое двух рациональных чисел m и n меньше нуля, сравните модули чисел m и n, если известно что m больше n.


    Решение: Среднее арифм <0, значит и сумма чисел <0, 
    Случай, когда m>0, n>0, или m>0, n<0, не подходит, т. к. в этих случаях m+n>0 ( из условия m>n)
    Случай m<0, n>0 также не подходит, т. к. противоречит условию m>n,
    Случай m<0, n<0, подходит, m+n<0, Из условия m>n, m<0, n<0 следует, что |m|<|n|.

  • Найти рациональное число
    Какое из чисел является рациональным ?
    √0,169, √1,69, √1690 распишите как находить


    Решение: В случае, если под корнем после запятой чётное количество знаков или нулей (до запятой и после неё, например √0,04, соответственно), то число рациональное.
    Вот и всё правило! Делаем выводы: первое не подходит, число нулей нечётное, да ещё и после запятой нечётное число знаков(3).
    Третье отпадает - после запятой(она после целого числа) вообще нуль знаков.
    А вот 2 - подходит к нашему условию, после запятой 2 знака.
    А тут даже видно:1,3*1,3 = 1,69 (сначала перемножаем числа без запятых, а потом с полученного числа, с целой части, двигаем запятую на сумму чисел после запятых множителей.

  • Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? Например \( \frac{10}{9}= \frac{2*5}{3*3*3} \)


    Решение: Верно.
    Покажем, что любое натуральное число N можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде).
    Если N = 1, можно написать, например, N = 2! / 2!
    По основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей:
    $$ N=p_{\alpha_1}^{\beta_1}p_{\alpha_2}^{\beta_2}\dots p_{\alpha_k}^{\beta_k} $$
    (alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания)
    Докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k.
    База: Для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2!
    Переход. Пусть для всех alpha_k < m утверждение задачи выполнено. Пусть N = Q * p^l, причем номер p равен m и Q не делится на p.
    1) Q по предположению представимо в нужном виде.
    2) Заметим, что p = p! / (p-1)! (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. Тогда и p!/(p-1)! представимо в нужном виде.
    3) Остается перемножить дробь для Q и l дробей для p.
    Переход доказан.

  • Докажите, что для любой пары рациональныхчисел q1 и q2, сущесвует такое рациональное число, q что множества {a*q1+b*q2| a, b - целые} и {n*q| n - целое} совпадают


    Решение: Всегда можно записать q₁=l/k, q₂=m/k. Пусть d=НОД(l,m). Тогда положим q=d/k и обозначим A={aq₁+bq₂|a,b∈Z} и B={nq|n∈Z}.
    1) Для любых а,b верно aq₁+bq₂=(al+bm)/k=nd/k=nq при некотором n, т. к. d делит l и m. Т. е. A⊆B.
    2) Теперь докажем, что B⊆A. Для этого воспользуемся тем, что для любых целых l и m существуют целые u и v, такие, что ul+vm=НОД(l,m) (В физ-мат школах этот факт должны знать. Если нет, могу доказать, он короткий). Итак, для любого n∈Z при некоторых u,v верно
    nq=nd/k=n(ul+vm)/k=nu·(l/k)+nv·(m/k)=aq₁+bq₂, где a=nu, b=nv.
    Т. е. это значит, что B⊆A. Отсюда, A=B.

  • Для некоторого числа х разность любых двух из чисел x^3 x^4 и х^5 - целое число. а) Докажите, что х - целое число. б) Докажите, что х - рациональное число


    Решение: Сначала докажем б) как более слабое утверждение.
    Из условия следует что x^5-x^4=x^4(x-1)=a, где a - целое, и
    x^4-x^3=x^3(x-1)=b также целое => x=a/b - рациональное по определению рациональных чисел.
    а) Пусть x=p/q - несократимая дробь причем p, q - целые и q>1(ну это мы записали что число x - рациональное нецелое число) Тогда x^4-x^3=
    =x^3(x-1)=$$ \frac{p^3(p-q)}{q^3}=a $$. Но так как НОД(p,q)=1, то и
    НОД(p-q,q)=1, соответственно и НОД(p-q, q^4)=1, что значит $$ \frac{p^3(p-q)}{q^3} $$ нецелое число - противоречие

  • Докажите, что частное двух рациональных чисел есть число рациональное.


    Решение: т. к. рациональное число - это число которое можно представить в виде дроби m/n, где m - целое, а n -натуральное

    т. о. частное двух рациональных чисел

    $$ \frac{m1}{n1} / \frac{m2}{n2} = \frac{m1}{n1} * \frac{n2}{m2} = \frac{m1*n2}{n1*m1} $$

    однако результатом умножения целого числа на натуральное является целое число, а не натальное, таким образом наше частное представляется в виде дроби из двух ЦЕЛЫХ чисел - это не удовлетворяет определению рационального числа.

    Вывод: частное двух рациональных чисел НЕ есть число рациональное

    пример первое число 1/2 - рациональное, второе число 0/5 - рациональное, частное 5/0 - не в коей мере рациональным не является

  • Сумма какого из следующих чисел с числом 2 корень из 5 рациональна?
    1) (Корень из 5 - 1)*(Корень из 5 + 1) 2)( Корень из 5 - 1) в квадрате 3) (корень из 5 - 2) в квадрате 4) корень из 2 - корень из 5 Напишите с решением


    Решение: Рациональное число - это число, которое можно представить обыкновенной дробью.
    раскроем скобки в предложенных вариантах и ссуммируем с числом $$ 2 \sqrt{5} $$
    1) $$ ( \sqrt{5}-1)*( \sqrt{5}+1)=5-1=4 \\ 4+2 \sqrt{5} $$
    число  $$ 4+2 \sqrt{5} $$ невозможно представить дробью
    2) $$ ( \sqrt{5}-1)^2=5-2 \sqrt{5}+1=6-2 \sqrt{5} \\ 6-2 \sqrt{5}+2 \sqrt{5}=6 $$
    число 6 можно представить обыкновенной дробью, например 12/2
    3) $$ ( \sqrt{5}-2)^2=5-4 \sqrt{5}+4=9-4 \sqrt{5} \\ 9-4 \sqrt{5}+2 \sqrt{5}=9-2 \sqrt{5} $$
     число  $$ 9-2 \sqrt{5} $$ невозможно представить дробью
    4) $$ \sqrt{2}- \sqrt{5}+2 \sqrt{5}= \sqrt{2}+ \sqrt{5} $$
     число невозможно представить дробью
    ответ под цифрой 2) 

  • Докажите, что если два числа и сумма их корней - числа рациональные, то корень каждого из этих чисел - также число рациональные


    Решение: Пусть x = r1, y = r2, x^1/2 + y^1/2 = r3 - заданные в условии рациональные числа.

    Тогда

    x - y = (x^1/2 - y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) - по формуле разложения для разности квадратов. Поскольку x - y = r1 - r2 = r4 - разность двух рациональных чисел есть число рациональное, и x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию), то x^1/2 - y^1/2 = r4/r3 = r5 - частное двух рациональных чисел есть также число рациональное.

    Итак,

    x^1/2 - y^1/2 = r5 - рациональное число (1)

    x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию) (2)

    Слкладывая обе части уравнений (1) и (2) получим, что х^1/2 = (r3 + r5)/2 - рациональное число (как сумма и частное рациональных чисел).

    Аналогично, вычтя обе части уравнения (2) из обеих частей уравнения (1) получим, что y^1/2 = (r3 - r5)/2 - рациональное число (как разность и частное рациональных чисел).

    Таким образом мы доказали, что числа х^1/2 и y^1/2 являются рациональными.

  • Натуральное число называют красивым, если оно равно произведение факториалов простых чисел (не обязательно различных). Положительное рациональное число называется практичным, если оно равно отношение двух красивых натуральных чисел. Докажите, что любое положительное рациональное число — практичное.


    Решение: Любую дробь вида 1/n можно представить, как (n-1)! / n!
    Любое натуральное число k можно представить, как k! / (k-1)!
    Любую дробь вида k/n = k*1/n можно представить, как
    k! / (k-1)! * (n-1)! / n! = [k!*(n-1)!] / [(k-1)!*n!]
    То есть равно отношению двух красивых чисел.
    Что и требовалось доказать.

  • Укажите среди чисел:
    0;1;-1;6/11(шесть одиннадцатых);-1 9/17(минус одна целая девять семнадцатых);0,32;-56,903;7,4(5);-2,(45)
    1) натуральные числа
    2) целые числа
    3) рациональные числа
    4) целые неотрицательные числа
    5) рациональные неположительные числа


    Решение: 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    1) натуральные числа 1    903
    2) целые числа    0;   1;  -1;       -56,     903;  
    3) рациональные числа 0;   1;  -1;    6/11;   -1 9/17;     0,32;    -56,     903;     7,4(5);     -2,(45)
    4) целые неотрицательные числа  0;   1;       903;
    5) рациональные неположительные числа 0;    -1;     -1 9/17;       -56,2,(45)

1 2 3 > >>