числа »

рациональное число - страница 8

  • Как записывать в виде рационального числа периодическую дробь?


    Решение: Периодическая дробь - это такая дробь, у которой, начиная с некоторого знака после запятой, повторяется определённая упорядоченная совокупность цифр бесконечное число раз. Такая совокупность называется периодом. 
    Например: 0,33333333. 
    Сразу же после запятой повторяются \одни тройки бесконечное число раз. (3) - это период дроби 
    Или ещё: 
    42,345276276276276. 
    Начиная с третьего знака мы видим повторяющуюся структуру (276). Это - период дроби. 
    Такую дробь можно записать сокращённо, записывая сначала неповторяющиеся знаки после запятой, а потом в скобках - период. 
    Так, 0,333333. можно записать как 0,(3) - читается ноль целых и три в периоде. 
    42,345276276276. = 42,345(276) - читается сорок два целых триста сорок пять тысячных и двести семьдесят шесть в периоде. 
    Можно записывать периодические дроби, просто записав несколько знаков после запятой включая несколько повторяющихся периодов, а затем добавить многоточие. В таких ситуациях ясно, что период повторяется. 
    Бывают и непериодические десятичные дроби. В них нельзя выделить ни одну повторяющуюся структуру. Это, например, т. н. число е = 2,718281828459045235. Несмотря на то, что некоторые цифры здесь повторяются, но для периодичности дроби необходимо, чтобы определённая совокупность цифр повторялась бесконечное число раз. 
    Дроби бывают конечными и бесконечными. Так, дробь 0,3333. бесконечная десятичная периодическая. Если дробь можно представить в виде дроби с конечным числом знаков после запятой, она яляется конечной. Такова, например, дробь 1,746. Её можно представить в виде 1,74600000.= 1,746(0), т. е. периодической дроби с периодом 0. 
    С другой стороны 1,7460000000 = 1,7459999999. = 1,745(9) (строгое равенство!). Таким образом, периодические дроби с нулём или девяткой в периоде являются конечными, а остальные - бесконечными. 
    Все десятичные периодические дроби являются рациональными числами, т. е. такими, которые можно представить в виде отношения целого и натурального числа q = m/n, где m - целое, n - натуральное. Это - запись обыкновенной дроби. Каждую обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и притом единственным образом (исключая рассмотрение случая периодической дроби с девяткой в периоде) и обратно, каждую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби - тоже единственным способом. 
    Пример 1/3 - обыкновенная дробь. Если воспользоваться методом деления столбиком, в остатке будет всё время получаться 1, а в записи числа - новые тройки, так что 1/3 = 0,333333. = 0,(3). 
    Пусть теперь дана дробь 42,345276276276. Нужно представить её в виде обыкновенной дроби. Пусть 42,345276276276. = х. Умножим число на 1000, чтобы период начинался сразу же после запятой: 1000х = 42345,276276276. 
    Умножим ещё раз на 1000, тогда запятая сместится ровно на один период: 1000000х = 42345276,276276276.
    Теперь 
    1000000х - 1000х = 42345276,276276276.42345,276276276. = 42302931 
    999000х = 42302931 
    х = 42302931 / 999000 

<< < 678