числа »

комплексные числа - страница 2

  • Найти все значения корня 4 степени из -1 (комплексные числа)


    Решение: |z|=√(0+1)=1
    argz=arctg(0/(-1))=arctg0=-3π/2
    zk=cos[(-3π/2+2πk)/4]+isin[(-3π/2+2πk)/4]
    k=0;1;2;3
    z0=cos(-3π/8)+isin(-3π/8)
    z1=cosπ/8+isinπ/8
    z2=cos5π/8+isin5π/8
    z3=cos9π/8+isin9π/8z argz arctg - arctg - zk cos - k isin - k k z cos - isin - z cos isin z cos isin z cos isin...

  • Корень 3 степени из (-8), найти все значения этого корня, при условии, что это комплексное число


    Решение: Пусть
    $$ \sqrt[3]{-8}=a+bi $$
    Причём a и b - действительные числа.$$ \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {3a^2bi-b^3i=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {bi(3a^2-b^2)=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {b(a\sqrt3-b)(a\sqrt3+b)=0}} \right. \\ b=0\Rightarrow a^3=-8\Rightarrow a = -2\\ b=a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\ b=-a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(-a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\ \sqrt[3]{-8}=-2\\ \sqrt[3]{-8}=1+i\sqrt3\\ \sqrt[3]{-8}=1-i\sqrt3 $$
    Тогда возведём в куб:
    $$ -8 = (a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i $$
    Далее группируем действительные и мнимые части... и т.д.

  • Y=x^4+x^2+1Найти наибольшее и наименьшее значение на промежутке [1,3) с помощью комплексных чисел


    Решение:

    Так как переменная в чётной степени, то все значения функции положительны.
    График биквадратной функции - парабола.
    Минимальное значение её - в вершине при х = 0, у = 1.
    На заданном промежутке минимальное значение
    при х = 1, у = 1+1+1 = 3.
    Максимальное - при х = 3, у = 81 + 9 + 1 = 91.

  • 1. Сумма (разность) сопряженных комплексных чисел равна 1) а
    2) 2bi
    3) bi
    4) 2a

    2. Для сопряженных комплексных чисел в алгебраической (тригонометрической) форме r^2 есть результат произведенного над ними действия

    1) умножения
    2) сложения
    3) возведения в степень
    4) деления

    3. В формуле Муавра значение (z^n вычисляется по формуле Муавра, если) r равно

    1) 2
    2) 0
    3) -1
    4) 1

    4. Для комплексных чисел в тригонометрической форме коэффициент определяется как \( r_{1} * r_{2} ( \frac{r_{1} }{r_{2} } ) \) при выполнении действия

    1) вычитания
    2) деления
    3) умножения
    4) сложения


    Решение: 1)z=a+ib z*=a-ib z+z*=a+ib+a-ib=2a z-z*=a+ib-a+ib=2ib
    2)z=r(cosφ+isinφ) z*=r(cosφ-isinφ) zz*=r²(cosφ+isinφ)(cosφ-isinφ)=
    r    ²(cos²φ-i²sin²φ)=r²(cos²φ-(-1)sin²φ)=r²(cos²φ+sin²φ)=r²
    3)z^n=(r(cosφ+isinφ))^n=(r^n)((cosnφ+isinnφ), т.е. r>0
    4)r₁(cosφ₁+isinφ₁)×r₂(cosφ₂+isinφ₂)=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂))
      r₁(cosφ₁+isinφ₁):r₂(cosφ₂+isinφ₂)=(r₁/r₂)(cos(φ₁-φ₂)+isin(φ₁-φ₂))

    z a ib z a-ib z z a ib a-ib a z-z a ib-a ib ib z r cos isin  z r cos -isin zz r cos isin cos -isin r cos -i sin r cos - - sin r cos sin r z n r cos isin n r n cosn isinn т.е....

  • Тема: комплексные числа
    Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3-2i, и разностью, равной -1+i.
    а) составьте формулу n-го члена прогрессии;
    б) найдите значение 15-го члена прогрессии;
    в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;
    г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.


    Решение: $$ a_1=3-2i;d=-1+i $$
    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
    формула n-го члена
    $$ a_n=(3-2i)+(n-1)*(-1+i)=\\\\3-2i+1-i+(i-1)*n=4-3i+(i-1)*n $$
    ищем 15-й член
    $$ a_{15}=4-3i+(i-1)*15=4-3i+15i-15=-11+12i $$
    $$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
    сумма первых 2-ти членов
    $$ S_{20}=\frac{2*(3-2i)+(20-1)*(-1+i)}{2}*20=\\\\(6-4i+19i-19)*10=-130+150i $$
    сумма с 10 по 40 равна
    $$ a_{10}+a_{11}+...a_{40}=\\=(a_1+a_2+a_3+...+a_9+a_{10}+a_{11}+.+a_{40})-(a_1+a_2+.+a_9) \\ S_{40}-S_9=\\ \frac{2*(3-2i)+(40-1)*(-1+i)}{2}*40-\frac{2*(3-2i)+(9-1)*(-1+i)}{2}*9=\\=(6-2i+39i-39)*20-(3-2i+8i-8)*9=\\=740i-660+54i-45=794i-705 $$

<< < 12 3 4 > >>