числа »

комплексные числа - страница 2

  • Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию.
    модуль(z-2)>=модуль(z+2*i) (графически)


    Решение: Если z - точка комплексной плоскости, то
    |z-2| - расстояние от точки z до точки 2. (в координатах х, у на плоскости это точка (2,0)).
    |z+2i| - расстояние от точки  z до точки -2i. (в координатах х, у на плоскости это точка (0,2)).
    Значит нас интересует множество точек плоскости, которые находятся дальше от точки (2,0) чем от (0,2). Равноудаленные от них - это точки лежащие на серединном перпендикуляре, который есть прямая с уравнением y=-x. Значит удовлетворяют все точки ниже этой прямой и на ней.

  • Найти действительную и мнимую части комплексных чисел. Указать противоположные и сопряженные. Вычислить модули и изобразить комплексные числа на координатной оси.
    Найти их сумму, разность, произведение, частное и вторую степень первого числа, то есть возвести в квадрат Z1.
    1) Z1=i-2
    2) Z2=1+4i


    Решение: 1) i - 2 = -2 + i (действительная часть = -2, мнимая часть  = i
     противоположное число =  2 - i
    сопряжённое = - 2 - i
     2) 1 + 4i (действительная часть = 1, мнимая часть  = 4 i
     противоположное число = -1 -4 i   
    сопряжённое = 1 - 4i  
     сумма = -1 + 5i
    разность = -2 + i - (1 +4i) = -2 + i - 1 - 4i = -3 -3i
    произведение = ( -2 + i ) * (1 +4i) = -2 + i -8i -4i² = 2 - 7i
    частное = ( -2 + i )/ (1 +4i)   = (-2 +i)(1 - 4i)|(1 + 4i)(1 - 4i) =
    = (-2 +i +8i -4i²)/(1 - 16i³) = (2 + 9i)/17
    (-2 +i)² = 4 - 4i + i² = 3 - 4i
     

  • Найти модуль комплексного числа
    z=4i^9+3i^-18+2i^23+9


    Решение: Следует помнить свойства мнимой единицы: i²=-1. В связи с этим можно записать:
    z=4*i*i^8 +3/i^18 + 2*i*i^22+9=4i*(i^2)^4 +3/(i^2)^9 + 2i*(i^2)^11 + 9=4i(-1)^4 +3/(-1)^9+2i*(-1)^11+9=[-1 в чётной степени = 1, а в нечётной -1]=4i-3-2i+9=2i+6
    Модуль комплексного числа находится по формуле:
    a+ib=√(a²+b²)=√(2²+6²)=√(4+36)=√(4*(1+9))=2√10 - это и будет ответ.

  • Изобразить графически комплексное число и найти модуль и главное значение аргумента: z=1-2i


    Решение: z=1-2i

    1- это вещественная часть числа 

    2i мнимая часть на графике 

    Число обохзначается точкой (1; -2) на координатной плоскости

    Модуль: $$ р=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} $$

    Артумент: $$ cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ sin\alpha =- \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    Ответ: $$ р=\sqrt{5} $$ и $$ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    z - i - это вещественная часть числа  i мнимая часть на графике  Число обохзначается точкой - на координатной плоскости Модуль р sqrt - sqrt Артумент cos alpha frac sqrt sin...

  • Даны два комплексных числа z1=a+bi и z2=c+di. Найти модуль числа z=2z1z2+z1/z2
    a4 b1 c1 d-1


    Решение: Z=2(a+bi)(c+di)+(a+bi)/(c+di)
    z=2((a*с - b*d)+(ad + bc)i)+((a*с+b*d)/(c^2 + d^2)+(c*b - d*a)/(c^2 + d^2)i)
    z=2((4*1 - 1*(-1))+(4*(-1) + 1*1)i))+((4*1 + 1*(-1))/(1^2 + (-1)^2)+(1*1 - 4*(-1))/(1^2 + (-1)^2)i))
    z=2((4 + 1)+(-4 + 1)i))+((4 -1)/(1 + 1)+(1 + 4)/(1 + 1)i))
    z=2((5-3i))+((3)/(2)+(5)/(2)i))
    z=10-6i + 3/2 + 5/2i
    z=(23/2)+(-7/2)i
    z= 23/2 -7/2i
    z= |23/2 -7/2i|
    z= V((23/2)^2 + (7/2)^2)
    z= V(132.25 + 12.25)
    z= V(132.25 + 12.25)
    z= V(144.5)
    z=12.02

  • Вычислить интеграл функции комплексного
    переменного.
    ∫ Rezdz
    │z-a│=R


    Решение: Подвинем начало координат в центр окружности, получится интеграл по окружности |z|<R от Re(z - a) dz. 
    Вспоминая, что Re(z - a) = Re z - Re a, а также интеграл по окружности от dz равен нулю, получаем, что надо посчитать
    $$ \displaystyle\int\limits_{|z-a|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,(z-a)\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz $$
    Параметризация: z = R * exp(i*phi), 0 <= phi <= 2pi
    $$ \displaystyle\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_0^{2\pi}R\cos\varphi\cdot iRe^{i\varphi}\,d\varphi=iR^2\int\limits_0^{2\pi}e^{i\varphi}\cos\varphi\,d\varphi=\\=iR^2\int\limits_0^{2\pi}(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,\cos\varphi\,d\varphi=iR^2(\pi+0)=iR^2\pi $$

  • 1) приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    2)) приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    3) укажите хотя бы одно значение параметра "а", при котором у уравнения 3x^2+аx+6=0: укажите все значения "а", при которых действительных корней нет
    вычислите:
    4) j^17+j^2005
    5)(-j)^3
    6) найдите значение многочлена z^2+361 при заданном значении переменной z=j
    7) найдите значение многочлена z^3+3z при заданном значении переменной z=(-j)
    8) для комплексных чисел z1 и z2 найдите их суму и разность если z1=1+j,z2=1-j


    Решение: 1) 0x - 2 = 0
    2) x^2 + x + 1 = 0
    3) 3x^2 + ax + 6 = 0
    D = a^2 - 4*3*6 = a^2 - 72
    Если у квадратного уравнения нет корней, то D < 0
    a^2 - 72 < 0
    a^2 < 72
    -√72 < a < √72
    -6√2 < a < 6√2
    Целые а на этом промежутке: -8,7,6, 6, 7, 8
    4) j^17 + j^2005 = j^16*j + j^2004*j = 1*j + 1*j = 2j
    5) (-j)^3 = (-j)^2*(-j) = -1(-j) = j
    6) z = j; z^2 = j^2 = -1; z^2 + 361 = -1 + 361 = 360
    7) z = -j; z^3 + 3z = (-j)^3 - 3j = j - 3j = -2j (см. п. 5))
    8) z1 = 1 + j; z2 = 1 - j
    z1 + z2 = 1 + j + 1 - j = 2
    z1 - z2 = 1 + j - 1 + j = 2j

  • F(x)=x^4-5x^3+3x^2+5x^-4 комплексные числа, разложить многочлен на линейные множители


    Решение: Сгруппируем: (х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1);
    (х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 - 1) - 5(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) = (х^2 - 1)(x - 4)(x - 1)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.
    f(x)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.

    = (х^4 + 3x^2 -4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 -1) - 5 (x^2 - 1) = 
    = (x^2 - 1) (x^2 - 5x + 4) = (х^2 -1)(x-4)(x-1) = (x -4) (x +1) (x -1)^2
    Разложим на множители первую скобку
    х1^2 + x2^2 = - 3
    x1 *x2 = -4 
    x1 = -4 x2 = 1
    Разложим на множители х^2 - 5x +4
    x1 + x2 = 5
    x1 * x2 = 4, Тогда х1 = 4 х2 = 1

  • Разложить многочлен (x³+4х²+4х) на простейшие действительные множители?
    Варианты ответов: а) х(х+2)²; б) х(х+2)(х+4); в)(х(х+4)+4) х; г) х(х²+4(х+1)); д) х(х²+4х+4)
    2 Какой из многочленов имеет действительные корни, равные (-1) и (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (-i)?
    Варианты ответов: а)(х²+х-2)(х²+1); б)(х+1)(х²-4)(х²+1); в)(х+1)(х+2)²(х²+1); г)(х+1)(х-2)²(х+i)(x-i); д)(х-1)(х+2)²(х-i)²


    Решение: X^3 + 4x^2 + 4x  =  x(x^2 + 4x + 4)  =  x(x + 2)^2
    Ответ.  а
    №  2
    Ответ.  в)  (х  +  1)(x  +  2)^2(x^2  +  1)
    (x +1)(x +2)^2(x^2 + 1)  =  0
    1)  x +1 = 0 ->  x_1  =  -1
    2)  (x +2)^2 = 0  ->  x + 2 = 0  ->  x_2  =  -2
    3)x^2 + 1 = 0 ->  x^2  =  -1  -> x_3  =  -i, x_4  =  i 

    1. x^3+4x^2+4x = x(x^2+4x+4) = x(x+2)^2
    2. Ответ  - в  - (х+1)(х+2)^2(x^2+1)
    первые два сомножителя имеют корни-1 и -2
    корни третьего ч квадрат + 1 равны i и (-i).

  • Найдите частное двух комплексных чисел?i/1- корень из 3i это все дробь


    Решение: -i/(1 - √3i)=-i(1 + √3i)/(1 - √3i)(1 + √3i) = -i(1 + √3i)/(1 - √9i²) = -i(1 + √3i)/(1-3i)=
    =-i(1 + √3i)(1 + 3i) /(1 - 9i²) = -i(1 + √3i)(1 + 3i)/10= (1 + √3i)(-i - 3i²)/10 =
    = (1 + √3i)(-i+3)/10 = (3 - i)(1 + √3i)/10
    (дважды пришлось умножать числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, т. е. на число, которое отличается от знаменателя только знаком. И всё это для того, чтобы получить в знаменателе разность квадратов)

<< < 12