числа »

комплексные числа - страница 4

  • Вычислить интеграл функции комплексного
    переменного.
    ∫ Rezdz
    │z-a│=R


    Решение: Подвинем начало координат в центр окружности, получится интеграл по окружности |z|<R от Re(z - a) dz. 
    Вспоминая, что Re(z - a) = Re z - Re a, а также интеграл по окружности от dz равен нулю, получаем, что надо посчитать
    $$ \displaystyle\int\limits_{|z-a|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,(z-a)\,dz=\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz $$
    Параметризация: z = R * exp(i*phi), 0 <= phi <= 2pi
    $$ \displaystyle\int\limits_{|z|=R}\mathrm{Re}\,z\,dz=\int\limits_0^{2\pi}R\cos\varphi\cdot iRe^{i\varphi}\,d\varphi=iR^2\int\limits_0^{2\pi}e^{i\varphi}\cos\varphi\,d\varphi=\\=iR^2\int\limits_0^{2\pi}(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,\cos\varphi\,d\varphi=iR^2(\pi+0)=iR^2\pi $$

  • 1) приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    2)) приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    3) укажите хотя бы одно значение параметра "а", при котором у уравнения 3x^2+аx+6=0: укажите все значения "а", при которых действительных корней нет
    вычислите:
    4) j^17+j^2005
    5)(-j)^3
    6) найдите значение многочлена z^2+361 при заданном значении переменной z=j
    7) найдите значение многочлена z^3+3z при заданном значении переменной z=(-j)
    8) для комплексных чисел z1 и z2 найдите их суму и разность если z1=1+j,z2=1-j


    Решение: 1) 0x - 2 = 0
    2) x^2 + x + 1 = 0
    3) 3x^2 + ax + 6 = 0
    D = a^2 - 4*3*6 = a^2 - 72
    Если у квадратного уравнения нет корней, то D < 0
    a^2 - 72 < 0
    a^2 < 72
    -√72 < a < √72
    -6√2 < a < 6√2
    Целые а на этом промежутке: -8,7,6, 6, 7, 8
    4) j^17 + j^2005 = j^16*j + j^2004*j = 1*j + 1*j = 2j
    5) (-j)^3 = (-j)^2*(-j) = -1(-j) = j
    6) z = j; z^2 = j^2 = -1; z^2 + 361 = -1 + 361 = 360
    7) z = -j; z^3 + 3z = (-j)^3 - 3j = j - 3j = -2j (см. п. 5))
    8) z1 = 1 + j; z2 = 1 - j
    z1 + z2 = 1 + j + 1 - j = 2
    z1 - z2 = 1 + j - 1 + j = 2j

  • F(x)=x^4-5x^3+3x^2+5x^-4 комплексные числа, разложить многочлен на линейные множители


    Решение: Сгруппируем: (х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1);
    (х^4 + 3x^2 - 4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 - 1) - 5(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 - 5x + 4) = (х^2 - 1)(x - 4)(x - 1)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.
    f(x)=(x - 4)(x + 1)(x - 1)^2.

    = (х^4 + 3x^2 -4) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x^2 -1) - 5 (x^2 - 1) = 
    = (x^2 - 1) (x^2 - 5x + 4) = (х^2 -1)(x-4)(x-1) = (x -4) (x +1) (x -1)^2
    Разложим на множители первую скобку
    х1^2 + x2^2 = - 3
    x1 *x2 = -4 
    x1 = -4 x2 = 1
    Разложим на множители х^2 - 5x +4
    x1 + x2 = 5
    x1 * x2 = 4, Тогда х1 = 4 х2 = 1

  • Разложить многочлен (x³+4х²+4х) на простейшие действительные множители?
    Варианты ответов: а) х(х+2)²; б) х(х+2)(х+4); в)(х(х+4)+4) х; г) х(х²+4(х+1)); д) х(х²+4х+4)
    2 Какой из многочленов имеет действительные корни, равные (-1) и (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (-i)?
    Варианты ответов: а)(х²+х-2)(х²+1); б)(х+1)(х²-4)(х²+1); в)(х+1)(х+2)²(х²+1); г)(х+1)(х-2)²(х+i)(x-i); д)(х-1)(х+2)²(х-i)²


    Решение: X^3 + 4x^2 + 4x  =  x(x^2 + 4x + 4)  =  x(x + 2)^2
    Ответ.  а
    №  2
    Ответ.  в)  (х  +  1)(x  +  2)^2(x^2  +  1)
    (x +1)(x +2)^2(x^2 + 1)  =  0
    1)  x +1 = 0 ->  x_1  =  -1
    2)  (x +2)^2 = 0  ->  x + 2 = 0  ->  x_2  =  -2
    3)x^2 + 1 = 0 ->  x^2  =  -1  -> x_3  =  -i, x_4  =  i 

    1. x^3+4x^2+4x = x(x^2+4x+4) = x(x+2)^2
    2. Ответ  - в  - (х+1)(х+2)^2(x^2+1)
    первые два сомножителя имеют корни-1 и -2
    корни третьего ч квадрат + 1 равны i и (-i).

  • Найдите частное двух комплексных чисел?i/1- корень из 3i это все дробь


    Решение: -i/(1 - √3i)=-i(1 + √3i)/(1 - √3i)(1 + √3i) = -i(1 + √3i)/(1 - √9i²) = -i(1 + √3i)/(1-3i)=
    =-i(1 + √3i)(1 + 3i) /(1 - 9i²) = -i(1 + √3i)(1 + 3i)/10= (1 + √3i)(-i - 3i²)/10 =
    = (1 + √3i)(-i+3)/10 = (3 - i)(1 + √3i)/10
    (дважды пришлось умножать числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, т. е. на число, которое отличается от знаменателя только знаком. И всё это для того, чтобы получить в знаменателе разность квадратов)

<< < 234