график функции »

найти координаты точки пересечения графиков - страница 16

  • А(4;-6) В(6;4 корень из 6)
    В задачах 36—40 даны координаты точек А (х1; у1) и В (х2;y2). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность


    Решение: 1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6)
    Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
    $$ \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 $$.
    Подставим координаты известных точек:
    $$ \frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2}=1, \\ \frac{36}{a^2}- \frac{96}{b^2}=1. $$
    Приводим к общему знаменателю и получаем систему:
    {16b² - 36a² = a²b²,
    {36b² - 96a² = a²b².
    Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a² 
      60a² = 20b²
      b² = 3a².
    Заменим b² в уравнении гиперболы:
    $$ \frac{16}{a^2}- \frac{36}{3a^2} =1, \\ \frac{16}{a^2}- \frac{12}{a^2}=1, $$
    a² = 4,
    b² = 3*4 = 12.
    Ответ: $$ \frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 $$
    2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
    a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы.
    Они уже найдены: a² = 4, а = +-2
    b² = 3*4. b = +-2√3.
    c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4.
    Координаты фокусов:
    F₁(-4;0), F₂(4;0).
    Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.
    Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2
    Асимптоты y = +-(b / a).
    y₁ = (2√3) / 2 = √3
    y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
    3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
    Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности.
    $$ \left \{ {{\frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 } \atop {x^2+y^2=16}}\right. $$
    Ответ: х = +-√7
      у = +-3.
    4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).

  • Найти уравнение перпендикулярных прямой 2х-у+5=0, проходящий через точки пересечения с данной прямой с осями координат соответственно


    Решение: 2х-у+5=0, приведем к стандартному виду уравнения прямой
    у=2х+5 - уравнение прямой
    к=2 - угловой коэффициент
    при х=0 у= 2*0+5; у=5, значит
      А(0;5) - точка пересечения с осью У
    при у=0  0 =2х+5; 2х=-5; х=-2,5, значит
      В(-2,5;0) - точка пересечения с осью Х
    Точек пересечения две, значит и прямых будет две
    у=кх+b - общее уравнение прямой,
    условие перпендикулярности прямых: к=-к
    у=-2х+b - уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой
    подставим А(0;5) 
    5=0+b; b=5
    у=-2х+5 - первое искомое уравнение
    подставим В(-2,5; 0)
    0=-2*(-2,5)+b
    0=5+b
    b=-5
    у= -2х-5 - второе искомое уравнение
    Запишем уравнение данной прямой через угловой коэффициент
    у=2х+5. определим угловой коэффициент для искомых прямых.
    k1=2.
    k2=-0,5, должно выполняться условие перпендикулярности прямых: k1·k2=-1.
    Уравнение искомой прямой принимает вид:
    у=-0,5х+b.
    Определим значение для b.
    Так как данная прямая проходит через точку (0; 5). то по условию искомая прямая проходит через эту точку. Подставим координаты (0;5) в уравнение искомой прямой
    5=-0,5·0+b, b=5.
    Уравнение первой искомой прямой будет у=-0,5х+5.
    Другая искомая прямая пройдет через точку (-2,5;0), снова подставим эти координаты в уравнение у=-0,5х+b.
    0=-0,5·(-2,5)+b,
    b =-1,25.
    Другое искомое уравнение будет у=-0,5х-1,25.
    Ответ: у=-0,5х+b;
      у=-0,5х-1,25

  • Определить, пересекается ли парабола у=1/5х^ и прямая у=20-3х. Если точки пересечения существуют, то найти их координаты.


    Решение: Чтобы определить точку пересечения, нужно приравнять две функции. $$ \frac{1}{5}x^2=20-3x \\ x_{1} =20 \\ x_{2}=5 $$

    следовательно имеет две точки пересечения. Подставив х во второе уравнение получим

    $$ y_{1}=-40 \\ y_{2}=5 $$

    1-я точка пересечения (20;-40)

    2-я (5;5)

    будут пересекаться в точке (5;5)

<< < 141516