координаты »

найти координаты вершины параболы

  • Найти кординаты вершины параболы и нули функции;
    y= 2(x+5)^2-8


    Решение: 1.1) Упростим функцию: у=2(х+5)^2-8=2(x^2+10x+25)-8=2x^2+20x+50

    2) Формула абсциссы точки, в которой находится вершина: -b/2a; х вершины=-20/4=-5. Чтобы найти у вершины, надо подставить значение х вершины в функцию: у=2*(-5)^2+20*(-5)+50=50-100+50=0

    (-5;0)-координаты вершины параболы.

    2. НАйдем нули функции:

    2х^2+20x+50=0

    D=400-400=0, значит уравнение имеет один корень.

    х=-20+0/4=-5

    Представим в обычном виде ур-не

    у=(х^2+10x+25)2-8

    y=2х^2+20x+50-8

    y=2x^2+20x+42

    x вершина=-b/2a=-20/2*2=-5

    у вершина=-8

    Чтобы найти нули функции решим это ур-не 

    2x^2+20x+42=0

    Делим на 2, получаем

    x^2+10x+21=0

    D=100-84=4^2

    x1=(-10+4)/2=-3

    x2=(-10-4)/2=-7

  • Квадратичная функция задана формулой y= -2x²+4x+6. Необходимо найти координаты вершины параболы, определить куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и объяснить почему, найти координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс


    Решение: Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при х² отрицательный.
    Выделим полный квадрат
    -2х²+4х+6=-2(х²-2х-3)=-2(х²-2х+1-4)=-2(х-1)² +8
    (1;8)- координаты вершины.
    Находим точки пересечения параболы с осью Ох.
    Уравнение оси Ох: у=0
    Приравниваем правые части:
    -2х²+4х+6=0
    2х²-4х-6=0
    D=16-4·2·(-6)=16+48=64
    x=(4-8)/4=-1  x=(4+8)/4=3
    (-1;0) и (3;0) - точки пересечения параболы с осью Ох.

  • Y=x²+3 найти координаты вершины параболы


    Решение: X вершины= -b/2a= 0; при X=0 Y=3 => (0;3); Ещё можно сказать, что парабола получается из Гу=х² сдвигом вдоль оси Оу на 3 ед. вверх, а тк вершина параболы у=х²- (0;0), то у у=х²+3 - (0,3).

    Ось симметрии графика функции -в/2а = 0, так как в =0. Парабола смещена пр оси у вверх на три единицы, следовательно координаты вершины параболы (0; 3). Ответ (0; 3)

  • Найти координаты вершины параболы
    у=3-х^2


    Решение: Координаты (0;3).

    Вы наверняка имеете понятие о стандартном виде представления квадратичной функции
    y=yвершины+k(x-x вершины)^2
    Функция уже представлена в стандартном виде, поэтому можно смело сказать, что x_вершины=0, y_вершины=3

  • Найти координаты вершины параболы: у=(х-3)²-2


    Решение: Чтобы найти вершину параболы нужно пользоваться формулой -b/2a
    Здесь эта формула не работает, т. к. уравнение здесь такого вида:
    y=(x-m)^2-n
    Ответ здесь координаты (m;-n)
    Вобщем, ответ уравнения y=(x-3)^2-2 будет (3;-2)
    Я перепроверял. строил график. Все верно
    Ответ: (3;-2)

  • Найти координаты вершины параболы y= (x-3) в квадрате и построить ее график
    Алимов. Проверь себя. стр. 172.


    Решение: Чтобы найти координаты вершины параболы необходимо взять первую производную функции и приравнять ее к нулю.
    $$ ((x-3)^2)’=2(x-3)=2x-6 \\ 2x-6=0 \\ 2x=6 \\ x=3 $$
    график смотри

  • Найти координаты вершины параболы y=(x-3)^2 и построить её график


    Решение: Раскроем (x-3)^2 по формуле квадрат разности и получим x^2-6*x+9, откуда по формуле -b/2*a найдем x координату вершины, она будет равна трем, далее подставив 3 вместо x в первоначальное ур-ние получим y координату вершины. Постороить график можно просто подставляя по очереди разные значения x 1 2 3 4 5 6, если не знаете систему построения.

  • Найти координаты вершины параболы:
    y=/-(x+1) квадрате +3/
    y=/-(x-1) квадрате +2/


    Решение: Вершина параболы — однозначно её экстремум.

    Поэтому ищем производные и приравниваем нулю (необходимое условие экстремума; точек, в которых производная не существует, у параболы нет).

    1)

    $$ y’ = -2(x + 1) = 0 \; \Rightarrow \; x = -1 $$

    2)

    $$ y’ = -2(x - 1) = 0 \; \Rightarrow \; x = 1 $$

    Координаты (y) находим подстановкой в исходные функции:

    1)

    $$ y(-1) = -(-1 + 1)^2 + 3 = 0 + 3 = 3 $$

    2)

    $$ y(1) = -(1 - 1)^2 + 2 = 0 + 2 = 2 $$

  • Найти координаты вершины параболы и определить направление ветви : у =х^2-4х+3


    Решение: $$ y=x^2-4x+3 $$
    Это уравнение вида:
    $$ y=ax^2+bx+c $$
    Знак числа a зависит от направления ветвей. Если он положителен, ветви стремятся вверх, если отрицателен, ветви стремятся вниз.
    В нашем случае, перед иксом стоит единица:
    $$ y=1*x^2-4x+3 $$
    И единица положительна. Значит ветви стремятся вверх.
    Теперь найдем координаты вершины параболы (m;n):
    $$ m= \frac{-b}{2a}= \frac{4}{2}=2 $$
    Подставим данное значение в уравнение и получим координату по игреку:
    $$ y=4-8+3 \\ y=-1 $$
    Получаем следующие координаты:
    $$ (m;n)=(2;-1) $$

  • Найти координаты вершины параболы
    1)y=(x-4)^2+4
    2)y=x^2+x
    3)y=x^2-4x+3
    4)y=2x^2-3x-2
    5)y=(x+4)^2-4
    6)y=x^2-x
    7)y=x^2+6x+8
    8)y=3+5x+2x^2


    Решение: Формула абсциссы вершины:  х0  =  -b / 2a
    Ордината  равна   y0 = f(x0)
      
    1)y=(x-4)^2+4 = х² - 8х + 16 + 4 = х² - 8х + 20
       х0  =  8 /2 = 4
       y0 = f(4)  =  4² - 8*4 + 20  = 16 - 32 + 20 =  4
       Координаты вершины:  ( 4 ;  4 )
    2) y = x² + x
     
      х0  =  -1 /2
        y0 = f(-1 /2)  =  (-1 /2)² -1 /2  = 1/4 - 1 /2  = 1/4 - 2 / 4  =  - 1/4 
      Координаты вершины:  ( -1 /2 ;   - 1/4 )
    3)y = x²-4x+3
      х0  =  4 / 2  = 2
       y0 = f(2)  =  2² - 4*2 + 3  = 4 - 8 + 3 =  -1
       Координаты вершины:  ( 2 ;  -1 )
    4)y = 2x² - 3x - 2
       х0  =  3 /4 = 0,75
       y0 = f(3 /4)  =  2*(3 /4)² - 3*3 /4 - 2  = 2*8 /16 - 9 /4  - 2  =   1 - 9 /4  - 2  = 
    =  - 3  1/4 = -3,25
      Координаты вершины:  ( 0,75 ;   - 3,25 )
    5)y=(x+4)²-4 = х² + 8х + 16 - 4 = х² + 8х + 12
       х0  =  -8 / 2  = -4
       y0 = f(-4)  = ( -4)² + 8* ( -4) + 12  = 16 - 32 + 12 =  28
       Координаты вершины:  (  -4 ;  28 )
    6)y = x² - x
       х0  =  1 /2
        y0 = f(1 /2)  =  (1 /2)² - 1 /2  = 1/4 - 1 /2  = 1/4 - 2 / 4  =  - 1/4 
      Координаты вершины:  ( 1 /2 ;   - 1/4 )
    7)y=x²+6x+8
       х0  =  -6 / 2  = -3
       y0 = f(-3)  = ( -3)² + 6* ( -3) + 8  = 9 - 18 + 8 =  -1
       Координаты вершины:  (  -3 ;  -1 )
    8)y= 3+5x+2x²  = 2x² + 5x + 3
       х0  =  -5 / 4  = - 1  1/4 = - 1,25
       y0 = f( - 1,25)  = 2*(  - 1  1/4)² + 5* ( - 1  1/4) + 3 = 2*(25/16) - 5*5/4  + 3 =
    =  25/ 8  -  25/4 + 3 =   25/ 8  -  50/8 + 3 = -25/ 8  +  3 = - 3  1/4  +  3  =  - 1/4 = - 0,25 
    Координаты вершины:  (  - 1,25 ;   - 0,25 )

1 2 > >>